高等数学习题集及答案

第一章第一章 函数函数 一 选择题 1 1 下列函数中 不是奇函数 A B xxy tanyx C D 1 1 xxyx x y 2 sin 2 2 2 下列各组中 函数与一样的是 xf xg A B 33 xxgxxf xxxgxf 22 tansec 1 C D 1 1 1 2 x x xgxxf 2 ln ln2 xxgxxf 3 3 下列函数中 在定义域内是单调增加 有界的函数是 A B arctanyxx cosyx C D arcsinyx sinyxx 4 4 下列函数中 定义域是 且是单调递增的是 A B arcsinyx arccosyx C D arctanyx arccotyx 5 5 函数的定义域是 arctanyx A B 0 2 2 C D 2 2 6 6 下列函数中 定义域为 且是单调减少的函数是 1 1 A B arcsinyx arccosyx C D arctanyx arccotyx 7 7 已知函数 则函数的定义域是 arcsin 1 yx A B 1 1 C D 2 0 8 8 已知函数 则函数的定义域是 arcsin 1 yx A B 1 1 C D 2 0 9 9 下列各组函数中 是相同的函数 A 和 B 和 2 lnf xx 2lng xx f xx 2 g xx C 和 D 和 f xx 2 g xx sinf xx arcsing xx 10 10 设下列函数在其定义域内是增函数的是 A B cosf xx arccosf xx C D tanf xx arctanf xx 11 11 反正切函数的定义域是 arctanyx A B 2 2 0 C D 1 1 12 12 下列函数是奇函数的是 A B arcsinyxx arccosyxx C D arccotyxx 2 arctanyxx 13 13 函数的复合过程为 53 sinlnxy A B xwwvvuuysin ln 35 xuuysinln 53 C D xuuysin ln 53 xvvuuysin ln 35 二 填空题 1 函数的定义域是 5 arctan 5 arcsin xx y 2 的定义域为 2arcsin 3 x f xx 3 函数的定义域为 1 2arcsin 3 x f xx 4 4 设 则 3xf x sing xxx g f x 5 设 则 2 f xx lng xxx f g x 6 则 2xf x lng xxx f g x 7 设 则的值域为 arctanf xx f x 8 设 则定义域为 2 arcsinf xxx 9 函数的定义域为 ln 2 arcsinyxx 10 函数是由 复合而成 2 sin 31 yx 第二章第二章 极限与连续极限与连续 一 选择题一 选择题 1 1 数列有界是数列收敛的 n x n x A 充分必要条件 B 充分条件 C 必要条件 D 既非充分条件又非必要条件 2 2 函数在点处有定义是它在点处有极限的 xf 0 x 0 x A 充分而非必要条件 B 必要而非充分条件 C 充分必要条件 D 无关条件 3 3 极限 则 2 0 lim 1 k x x xe k A B C D 22 2 e 2 e 4 4 极限 sin2 lim x x x A B C 不存在 D 2 0 5 5 极限 x x x 1 0 sin1 lim A B C 不存在 D 1 e 6 6 函数 下列说法正确的是 23 1 2 2 xx x xf A 为其第二类间断点 B 为其可去间断点1 x1 x C 为其跳跃间断点 D 为其振荡间断点2 x2 x 7 7 函数的可去间断点的个数为 sin x f x x A B C D 0123 8 8 为函数的 1 x 23 1 2 2 xx x xf A 跳跃间断点 B 无穷间断点 C 连续点 D 可去间断点 9 9 当时 是的 0 x 2 x 2 xx A 低阶无穷小 B 高阶无穷小 C 等价无穷小 D 同阶但非等价的的无穷小 10 10 下列函数中 定义域是 且是单调递减的是 1 1 A B arcsinyx arccosyx C D arctanyx arccotyx 11 11 下列命题正确的是 A 有界数列一定收敛 B 无界数列一定收敛 C 若数列收敛 则极限唯一 D 若函数在处的左右极限都存在 则在此点处的极限存在 f x 0 xx f x 12 12 当变量时 与等价的无穷小量是 0 x 2 x A B C D sin x1cos2x 2 ln 1x 2 1 x e 13 13 是函数的 1x 2 2 1 x f x x A 无穷间断点 B 可去间断点 C 跳跃间断点 D 连续点 14 14 下列命题正确的是 A 若 则 B 若 则 0 f xA 0 lim xx f xA 0 lim xx f xA 0 f xA C 若存在 则极限唯一 D 以上说法都不正确 0 lim xx f x 15 15 当变量时 与等价的无穷小量是 0 x 2 x A B C D tan x1cos2x 2 ln 1x 2 1 x e 16 16 是函数的 0 x 2 1 1cos2 x f x x A 无穷间断点 B 可去间断点 C 跳跃间断点 D 连续点 17 17 与都存在是在连续的 0 0 f x 0 0 f x f x 0 x A 必要条件 B 充分条件 C 充要条件 D 无关条件 18 18 当变量时 与等价的无穷小量是 0 x 2 x A B C D arcsin x1cos2x 2 ln 1x 2 1 x e 19 19 是函数的 2x 2 2 1 32 x f x xx A 无穷间断点 B 可去间断点 C 跳跃间断点 D 连续点 20 20 收敛是有界的 n u n u A 充分条件 B 必要条件 C 充要条件 D 无关条件 21 21 下面命题正确的是 A 若有界 则发散 B 若有界 则收敛 n u n u n u n u C 若单调 则收敛 D 若收敛 则有界 n u n u n u n u 22 22 下面命题错误的是 A 若收敛 则有界 B 若无界 则发散 n u n u n u n u C 若有界 则收敛 D 若单调有界 则收敛 n u n u n u n u 23 23 极限 1 0 lim 1 3 x x x A B 0 C D 3 e 3 e 24 24 极限 1 0 lim 1 3 x x x A B 0 C D 3 e 3 e 25 25 极限 2 0 lim 1 2 x x x A B 1 C D 4 e 2 e 4 e 26 26 是函数的 1x 3 2 2 xx f x xx A 连续点 B 可去间断点 C 无穷间断点 D 跳跃间断点 27 27 是函数的 2x 3 2 2 xx f x xx A 连续点 B 可去间断点 C 无穷间断点 D 跳跃间断点 28 28 是函数的 2x 2 2 4 2 x f x xx A 连续点 B 可去间断点 C 无穷间断点 D 跳跃间断点 29 29 下列命题不正确的是 A 收敛数列一定有界 B 无界数列一定发散 C 收敛数列的极限必唯一 D 有界数列一定收敛 30 30 极限的结果是 2 1 1 lim 1 x x x A B C D 不存在22 0 31 31 当 x 0 时 是 1 sinx x A 无穷小量 B 无穷大量 C 无界变量 D 以上选项都不正确 32 32 是函数的 0 x sin x f x x A 连续点 B 可去间断点 C 跳跃间断点 D 无穷间断点 33 33 设数列的通项 则下列命题正确的是 1 1 n n x n A 发散B 无界 C 收敛 D 单调增加 n x n x n x n x 34 34 极限的值为 2 1 lim x xx x A B C D 不存在11 0 35 35 当时 是的 0 x sinxx x A 高阶无穷小 B 同阶无穷小 但不是等价无穷小 C 低阶无穷小 D 等价无穷小 36 36 是函数的 0 x 1 1 x f x e A 连续点 B 可去间断点 C 跳跃间断点 D 无穷间断点 37 37 观察下列数列的变化趋势 其中极限是 1 的数列是 A B 1 n n x n 2 1 n n x C D 1 3 n x n 2 1 1 n x n 38 38 极限的值为 0 lim x x x A B C D 不存在11 0 39 39 下列极限计算错误的是 A B sin lim1 x x x 0 sin lim1 x x x C D 1 lim 1 x x e x 1 0 lim 1 x x xe 40 40 是函数的 1x 2 2 2 xx f x xx A 连续点 B 可去间断点 C 无穷间断点 D 跳跃间断点 41 41 当时 arctanx 的极限 x A B C D 不存在 2 2 42 42 下列各式中极限不存在的是 A B 3 2 7 lim 1 x xx x 2 2 1 1 lim 21 x x xx C D sin3 lim x x x 2 0 1 limcos x xx x 43 43 无穷小量是 A 比 0 稍大一点的一个数 B 一个很小很小的数 C 以 0 为极限的一个变量 D 数 0 44 44 极限 1 0 lim 1 x x x A B 1 C D 1 ee 45 45 是函数的 1 x 2 1 1 x f x x A 可去间断点 B 跳跃间断点 C 无穷间断点 D 连续点 46 46 是函数的 0 x 1 sin0 10 x xx f xx ex A 连续点 B 可去间断点 C 跳跃间断点 D 无穷间断点 47 47 的值为 0 1 lim sin x x x A 1 B C 不存在 D 0 48 48 当时下列函数是无穷小量的是 x A B C D cos xx x sin x x 2 sin xx x 1 1 x x 49 49 设 则下列结论正确的是 2 10 210 xx f x xx A 在处连续 B 在处不连续 但有极限 f x0 x f x0 x C 在处无极限 D 在处连续 但无极限 f x0 x f x0 x 二 填空题二 填空题 1 当时 是的 无穷小量 0 xxcos1 2 x 2 是函数的 间断点 0 x x x xf sin 3 x x x 2 0 1 1 lim 4 函数的间断点是 x 1 1 arctan x xf 5 xx ex x x sin 1 lim 2 0 6 6 已知分段函数连续 则 sin 0 0 x x f xx xa x a 7 由重要极限可知 1 0 lim 1 2 x x x 8 已知分段函数连续 则 sin 0 2 0 x x f xx xa x a 9 由重要极限可知 1 lim 1 2 x x x 10 知分段函数连续 则 sin1 1 1 1 x x f x x xb x b 11 由重要极限可知 1 0 lim 12 x x x 12 当 x 1 时 与相比 是高阶无穷小量 23 3 xx 2 lnxx 13 25 1 lim 1 2 n n n 14 函数的无穷间断点是 x 2 2 1 23 x f x xx 15 0 tan2 lim 3 x x x 16 35 1 lim 1 2 n n n 17 函数的可去间断点是 x 2 2 1 23 x f x xx 18 2 0 1cos lim x x x 19 25 3 lim 1 2 n n n 20 函数的可去间断点是 x 2 2 1 34 x f x xx 21 21 当时 与相比 是高阶无穷小量 0 x sin x 3 x 22 计算极限 22 1 lim 1 n n n 23 设函数 在处连续 则 21 0 0 xx f x xax 0 x a 24 若当时 是的等价无穷小 则 1x f x1x 1 lim 1 1 x f x xx 25 计算极限 1 lim 1 x x x 26 设 要使在处连续 则 e 0 0 x x f x xax f x0 x a 27 当 x 0 时 与相比 是高阶无穷小量 sinxx x 28 计算极限 45 1 lim 1 1 x x x 29 为使函数在定义域内连续 则 2 2 0 0 xx f x xax a 30 当 x 0 时 与相比 是高阶无穷小量 xcos1 sin x 31 当 x 0 时 与相比 是高阶无穷小量 2 4x 3 sin x 32 当 x 1 时 与相比 是高阶无穷小量 2 1x sin1 x 33 若 则 3 lim 1 x x k e x k 34 函数的无穷间断点是 x 2 1 34 x f x xx 35 极限 2 0 11 lim x x x 36 设求 2 sin fxx x lim x f x 37 设函数在处连续 则 cos 0 0 xx f x axx 0 x a 38 是函数的 填无穷 可去或跳跃 间断点 0 x x x xf sin 39 函数的可去间断点是 x 2 1 23 x f x xx 40 2 lim 1 x x x 三 计算题三 计算题 1 求极限 3 2 2 24 lim 4 x xx x 2 求极限 2 0 cos3cos2 lim ln 1 x xx x 3 求极限 2 0 1 lim ln 1 6 x x e xx 4 4 求极限 0 1 sin lim ln 1 6 x x ex xx 5 5 求极限 2 0 1 cos sin lim ln 1 6 x xx xx 6 6 求极限 2 0 1 cos lim 1 x x x x e 7 7 求极限 2 0 1 cos lim ln 1 x x x 8 求极限 1 1 1 2 lim 2 1 xx x 第三章第三章 导数与微分导数与微分 一 选择题一 选择题 1 1 设函数f x 可导 则 h xfhxf h 3 lim 0 A B C D 3 fx 1 3 fx 3 fx 1 3 fx 2 2 设函数 f x 可导 则 0 1 1 lim 2 x ffx x A B C D 2 1 f 1 1 2 f 2 1 f 1 1 2 f 3 3 函数在处的导数 xy 0 x A 不存在 B C D 101 4 4 设 则 x exf 2 0 f A B C D 8201 5 5 设 则 xxxfcos fx A B xxsincos xxxsincos C D xxxsin2cos xxxsin2cos 6 6 设函数 f x 可导 则 0 2 lim h f xhf x h A B C D 2 fx 1 2 fx 2 fx 1 2 fx 7 7 设 其中是可导函数 则 sin yf x f x y A B cos f xsin fx C D cos fx cos f xfx 8 8 设函数 f x 可导 则 0 2 lim h f xhf x h A B C D 2 fx 1 2 fx 2 fx 1 2 fx 9 9 设 其中是可导函数 则 arctan yfx f x y A B arctan fx 2 arctan 1 fxx C D 2 arctan 1fxx 2 arctan 1 fx x 10 10 设 其中是可导函数 则 sin yfx f x y A B sin fx cos fx C D sin cosfxx cos cosfxx 11 11 设函数 f x 可导 则 0 3 lim 2 h f xhf x h A B C D 3 fx 2 3 fx fx 3 2 fx 12 12 设 y sinx 则 y 10 x 0 A 1 B 1 C 0D 2n 13 13 设函数 f x 可导 则 0 4 lim 2 h f xhf x h A B C D 2 fx 4 fx 3 fx 1 2 fx 14 14 设 y sinx 则 y 7 x 0 A 1 B 0 C 1D 2n 15 15 设函数 f x 可导 则 0 4 lim 2 h f xhf x h A B C D 4 fx 2 fx 2 fx 4 fx 16 16 设 y sinx 则 7 x y A 1 B 0 C 1D 2n 17 17 已知函数在的某邻域内有定义 则下列说法正确的是 f x 0 xx A 若在连续 则在可导 f x 0 xx f x 0 xx B 若在处有极限 则在连续 f x 0 xx f x 0 xx C 若在连续 则在可微 f x 0 xx f x 0 xx D 若在可导 则在连续 f x 0 xx f x 0 xx 18 18 下列关于微分的等式中 正确的是 A B 2 1 d arctan d 1 x x x d 2 ln2 2 d xx x C D 2 11 d dx xx d tan cot dxx x 19 19 设 则 2 0 0 sin lim4 x f xfx x 0 f A B C D 不存在34 4 3 20 20 设函数在可导 则 f x 0 xx 00 0 2 lim h f xhf x h A B C D 0 2 fx 0 fx 0 2 fx 0 fx 21 21 下列关于微分的等式中 错误的是 A B 2 1 d arctan d 1 xx x 2 11 d dx xx C D dcosxsin dx x d sin cos dxx x 22 22 设函数 则 cosf xx 6 0 f A 0 B 1 C 1 D 不存在 23 23 设 则 x f xe 0 1 1 lim x fxf x A B C D 1e2e 2 e 24 24 设函数在可导 则 f x 0 xx 00 0 2 lim h f xhf x h A B C D 0 2 fx 0 fx 0 2 fx 0 fx 25 25 下列关于微分的等式中 错误的是 A B 2 1 d arctan d 1 xx x 2 11 d dx xx C D dcosxsin dx x d sin cos dxx x 26 26 设函数在在处可导 且 则 f x 0 xx 0 fxk 00 0 2 lim h f xhf x h A B C D 2k 1 2 k2 k 1 2 k 27 27 设函数在在可导 则 f x 0 x 00 0 4 lim h f xhf x h A B C D 0 4 fx 0 1 4 fx 0 4 fx 0 1 4 fx 28 28 设函数在可导且 则 f x 0 x 0 2 fx 00 0 2 lim h f xhf xh h A 2 B 1 C 6 D 3 29 29 下列求导正确的是 A B 2 sin2 cos xxxsincos 44 C D coscos xx ee 1 ln5 x x 30 30 设 且 则 xxxfln 2 0 x f 0 xf A B e C D 1 e 2 2 e 31 31 设 则 y 8 sin yx A B C D sin xcosxsin xcos x 32 32 设是可微函数 则 xfy d cos fx A B cos dfxx cos sin dfxx x C D sin cos dfxx x cos sin dfxx x 33 33 已知则 ln yxx 6 y A B 5 1 x 5 1 x C D 5 4 x 5 4 x 二 填空题二 填空题 1 1 曲线在点处的切线方程是 1 2 1 2 xy 3 2 2 函数的微分 ln 1 x ye dy 3 设函数有任意阶导数且 则 xf 2 xfxf fx 4 曲线在点处的切线方程是 xycos 2 1 3 5 函数的微分 sin2x ye dyxd 6 曲线在点处的切线方程是 xxxy lnex 7 函数的微分 1 2 xydy 8 某商品的成本函数 则时的边际成本是 2 1 1100 1200 CQ 900Q 9 设函数由参数方程所确定 则 yf x cos sin x y d d y x 10 函数的微分 9 25 yx dy 11 曲线在点处的法线方程是 lnf xx 1 0 12 设函数由参数方程所确定 则 yf x cos sin xat ybt d d y x 13 函数的微分 2 lnsinyx dy 14 某商品的成本函数 则时的边际成本是 2 1 201600 100 CQQ 500Q 15 设函数由参数方程所确定 则 yf x sin 1 cos xtt yt d d y x 16 函数的微分 2 arctan 1yx dy 17 曲线在点处的切线与轴的交点是 ln1yx 2ey 18 函数的微分 2 cos3ln2 x yex dy 19 曲线在点处的切线与轴的交点是 2ln1yx 3ey 20 函数的微分 2 sin3ln2 x yex dy 21 曲线在点处的切线与轴的交点是 2 2ln1yx 1 1y 22 函数的微分 2 sin36 x yex dy 23 已知 则 0 1fx 00 0 2 lim 3 h f xhf x h 24 已知函数 则 2x ye y 25 函数的微分 2 ln 1 yx dy 26 已知函数 则 sinyx 6 y 27 函数的微分 2 x yxe dy 28 已知曲线的某条切线平行于轴 则该切线的切点坐标为 2 22yxx x 29 函数的微分 ln cos2 yx dy 30 已知曲线在处的切线的倾斜角为 则 yf x 2x 5 6 2 f 31 若 则 1 2 yx xx 0 y 32 函数的微分 arctan2yx dy 33 已知函数是由参数方程确定 则 yf x cos sin xat ybt d d y x 34 函数的微分 2 ln 1yx dy 35 函数的微分 lnsinyx dy 36 由参数方程所确定的函数的导数 sin 1 cos xtt yt d d y x 三 计算题三 计算题 1 1 设函数 求 2 ln 1 yxx 1 d x y 2 2 求由方程所确定的隐函数的导数 xye yx 2 xyy y 3 求曲线在相应点处的切线与法线方程 tty tx 2 1 0 t 4 设函数 求 2 1yxx dy 5 设是由方程所确定的隐函数 求 y20 y xye 0 d d d d x x y x y 6 求椭圆在相应点处的切线与法线方程 ty tx sin2 cos4 4 t 7 7 设函数 求 arctanyxx dy 8 设是由方程所确定的隐函数 求 y0 yx eexy 0 d d d d x x y x y 9 求摆线在相应点处的切线与法线方程 ty ttx cos1 sin 2 t 10 10 设函数 求及 2 ln 1 yxx 0 y 2 2 d d y x 11 11 求由方程所确定的隐函数的导数sin yxy y d d y x 12 12 设函数 求sinlnsin2 x yxex 2 2 d d y x 13 13 求由方程所确定的隐函数的导数 y exye y 0 y 14 14 设函数 求 2 ln1yxx 2 2 d d y x 15 15 求由方程所确定的隐函数在处的导数 22 1xy y3x 3 y 16 16 设函数 求微分 2 arctan 1cos2yxx dy 17 17 设函数 求微分 2 ln 1 sin2 x yex dy 18 18 设函数 求微分 3 sin1ln x yxe dy 19 19 求由方程所确定的隐函数的导数sin1 x y yxe y 0 dd dd x yy xx 并求 20 20 求由方程所确定的隐函数的导数sin1 x y yxe y 0 dd dd x yy xx 并求 21 21 求由方程所确定的隐函数的导数cos1 x y yxye y 0 dd dd x yy xx 并求 22 22 设函数在处可导 求的值 2 21 1 x e f x xbx 0 0 x x 0 x b 23 23 已知方程所确定的隐函数 求sin ln 1 ln1xyxy yy x 0 d d x y x 24 24 已知函数 求函数在处的微分 2 arctan 1yx 0 x dy 25 25 用对数求导法求函数的导数 cos 0 x yxx 26 26 求由方程所确定的隐函数 求函数在处的微分 0 xy xyee y0 x dy 27 27 设其中是可微函数 求 2 sin2 yfx f y 28 28 设求 2 cos3 x yex dy 29 29 求由方程所确定的隐函数的导数 x y xyey 1 1 dd ddx y yy xx 30 30 求由方程所确定的隐函数的导数 sin xy eexyy 0 dd dd x yy xx 31 设函数 求和 2 ln 1 f xxx fx 0 f 32 求曲线在相应点处的切线方程与法线方程 2 t t xe ye 0 t 33 33 已知是由方程所确定的隐函数 求的导数以及该方程表示的ysin0 y yxey d d y x 曲线在点处切线的斜率 0 0 34 34 设函数 求 xxy3sincos3 dy 四 综合应用题 1 求在相应点处的切线与法线方程 2 ln2 2 xtt yt 1t 2 求在相应点处的切线与法线方程 2 ln3 1 xtt yt 1t 3 求在相应点处的切线与法线方程 1 ln3 t xtt yet 1t 第四章第四章 微分中值定理与导数应用微分中值定理与导数应用 一 选择题一 选择题 1 1 设函数在上满足罗尔中值定理的条件 则罗尔中值定理的结论中的 sinf xx 0 A B C D 2 3 4 2 2 下列函数中在闭区间上满足拉格朗日中值定理条件的是 1 e A B C D xlnxlnln xln 1 2ln x 3 3 设函数 则方程有 3 2 1 xxxxf0 xf A 一个实根 B 二个实根 C 三个实根 D 无实根 4 4 下列命题正确的是 A 若 则是的极值点 0 0fx 0 x f x B 若是的极值点 则 0 x f x 0 0fx C 若 则是的拐点 0 0fx 00 xfx f x D 是的拐点 0 3 43 23f xxx 5 5 若在区间上 则曲线 f x 在上 I 0 0 fxfx I A 单调减少且为凹弧 B 单调减少且为凸弧 C 单调增加且为凹弧 D 单调增加且为凸弧 6 6 下列命题正确的是 A 若 则是的极值点 0 0fx 0 x f x B 若是的极值点 则 0 x f x 0 0fx C 若 则是的拐点 0 0fx 00 xfx f x D 是的拐点 0 3 43 23f xxx 7 7 若在区间上 则曲线 f x 在上 I 0 0 fxfx I A 单调减少且为凹弧 B 单调减少且为凸弧 C 单调增加且为凹弧 D 单调增加且为凸弧 8 8 下列命题正确的是 A 若 则是的极值点 0 0fx 0 x f x B 若是的极值点 则 0 x f x 0 0fx C 若 则是的拐点 0 0fx 00 xfx f x D 是的拐点 0 3 43 23f xxx 9 9 若在区间上 则曲线 f x 在上 I 0 0 fxfx I A 单调减少且为凹弧 B 单调减少且为凸弧 C 单调增加且为凹弧 D 单调增加且为凸弧 10 10 函数在闭区间上满足罗尔定理 则 2 56 yxx 2 3 A 0 B C D 2 1 2 5 2 11 11 函数在闭区间上满足罗尔定理 则 2 2yxx 1 2 A 0 B C 1 D 2 1 2 12 12 函数在闭区间上满足罗尔定理 则 2 1 yx 2 2 A 0 B C 1 D 2 1 2 13 13 方程至少有一个根的区间是 4 10 xx A B C D 0 1 2 1 2 1 2 3 1 2 14 14 函数 在闭区间上满足罗尔定理的条件 由罗尔定理确定的 1 yx x 1 0 A 0 B C 1 D 1 2 1 2 15 15 已知函数在闭区间 0 1 上连续 在开区间 0 1 内可导 则拉格朗日 3 2 f xxx 定理成立的是 A B C D 1 3 1 3 1 3 1 3 16 16 设 那么在区间和内分别为 27 3 xy 3 1 A 单调增加 单调增加 B 单调增加 单调减小 C 单调减小 单调增加 D 单调减小 单调减小 二 填空题 1 曲线的拐点为 53 23 xxxf 2 曲线的凹区间为 x xexf 2 3 曲线的拐点为 535 23 xxxxf 4 函数的单调增区间是 2 2lnyxx 5 函数的极小值点为 1 x yex 6 函数的单调减区间是 32 29123yxxx 7 函数的极小值点为 2 2lnyxx 8 函数的单调增区间是 x yex 9 函数的极值点为 2xyx 10 曲线在区间的拐点为 43 26yxx 0 11 曲线在区间的拐点为 32 31yxx 0 12 曲线的拐点为 32 36yxx 13 13 函数的拐点坐标为 32 26128yxxx 14 函数在 有极大值 23 32xxy x 15 曲线在处的切线方程是 xxyarctan 0 x 16 曲线在区间的拐点为 43 341 yxx 0 17 过点且切线斜率为的曲线方程是 3 1 x2y 三 计算题三 计算题 1 1 求极限 1 11 lim 0 x x ex 2 2 求极限 0 11 lim sin x xx 3 3 求极限 2 0 1 lim ln 1 x x ex x 4 4 求极限 1 1 lim 1ln x x xx 5 5 求极限 2 0 11 lim sin x xxx 6 6 求极限 1 11 lim 0 x x ex 7 7 求极限 2 0 sin lim 1 x x xx x e 四 综合应用题四 综合应用题 1 1 设函数 求 32 234f xxx 1 函数的单调区间 2 曲线的凹凸区间及拐点 yf x 2 2 设函数 求 32 33f xxx 1 函数的单调区间 2 曲线的凹凸区间及拐点 yf x 3 3 设函数 求在在上的最值 32 391f xxxx f x 0 4 4 设函数 求 32 4 123f xxx 1 函数的单调区间与极值 2 曲线的凹凸区间及拐点 yf x 5 5 某企业每天生产件产品的总成本函数为 已知此产品x 2 02 04502000 xxxC 的单价为 500 元 求 1 当时的成本 50 x 2 当到时利润变化多少 50 x 60 x 3 当时的边际利润 并解释其经济意义 50 x 6 6 设生产某种产品个单位的总成本函数为 问 为多少时能使x 2 2900 xxxC x 平均成本最低 最低的平均成本是多少 并求此时的边际成本 解释其经济意义 7 7 某商品的需求函数为 为需求量 P P为价格 问该产品售出多少时得pq3300 q 到的收入最大 最大收入是多少元 并求时的边际收入 解释其经济意义 30 q 8 某工厂要建造一个容积为 300的带盖圆桶 问半径和高如何确定 使用的材料 2 mrh 最省 9 某商品的需求函数为 Q 为需求量 P 为价格 1 10 2 QP 1 求时的需求弹性 并说明其经济意义 2P 2 当时 若价格 P 上涨 1 总收益将变化百分之几 是增加还是减少 3P 10 求函数在上的最大值及最小值 cos x f xex 11 某商品的需求函数为 Q 为需求量 P 为价格 2 1 80 100 QPP 1 求时的需求弹性 并说明其经济意义 5000P 2 当时 若价格 P 上涨 1 总收益将变化百分之几 是增加还是减少 5000P 12 某商品的需求函数为 Q 为需求量 P 为价格 2 658QPP 1 求时的边际需求 并说明其经济意义 5P 2 求时的需求弹性 并说明其经济意义 5P 3 当时 若价格 P 上涨 1 总收益将如何变化 5P 14 14 某商品的需求函数为 Q 为需求量 P 为价格 2 402QPP 1 求时的边际需求 并说明其经济意义 5P 2 求时的需求弹性 并说明其经济意义 5P 3 当时 若价格 P 上涨 1 总收益将如何变化 5P 15 15 某商品的需求函数为 Q 为需求量 P 为价格 2 354QPP 1 求时的边际需求 并说明其经济意义 5P 2 求时的需求弹性 并说明其经济意义 5P 3 当时 若价格 P 上涨 1 总收益将如何变化 5P 16 16 设函数 求 32 4 123f xxx 1 函数的单调区间与极值 2 曲线的凹凸区间及拐点 yf x 17 17 设某企业每季度生产的产品的固定成本为 1000 元 生产单位产品的可变成本为x 元 如果每单位产品的售价为 30 元 试求 2 0 0110 xx 1 边际成本 收益函数 边际收益函数 2 当产品的产量为何值时利润最大 最大的利润是多少 18 18 设函数 求 32 391f xxxx 1 函数的单调区间与极值 2 曲线的凹凸区间及拐点 yf x 19 19 某商品的需求函数为 Q 为需求量 P 为价格 2 1882QPP 1 求时的边际需求 并说明其经济意义 6P 2 求时的需求弹性 并说明其经济意义 6P 3 当时 若价格 P 上涨 1 总收益将变化百分之几 是增加还是减少 6P 20 20 求函数在上的极值 sincosf xxx 0 21 21 某商品的需求函数为 Q 为需求量 P 为价格 1005QP 1 求总收益函数和边际收益 R P 2 求时的需求弹性 并说明其经济意义 8P 3 当价格为多少时 总收益最大 P 22 22 试求的单调区间 极值 凹凸区间和拐点坐标 3 3 f xxx 23 23 某商品的需求函数为 Q 为需求量 P 为价格 试求 2 Q1502p 1 求时的边际需求 并说明其经济意义 P6 2 求时的需求弹性 并说明其经济意义 P6 3 当时 若价格 P 下降 1 总收益将变化百分之几 是增加还是减少 P6 22 22 某商品的需求函数为 Q Q为需求量 P P为价格 1 求总收益和边际收1005QP R 益 2 求时的需求弹性 并说明其经济意义 3 当价格为多少时 总收益8P P 最大 23 23 某商品的需求函数为 Q 为需求量 单位为台 P 为价格 单位为元 试 3 Q162P 求 1 求时的边际需求 并说明其经济意义 P1 2 求时的需求弹性 并说明其经济意义 P1 3 当时 若价格 P 上涨 1 总收益将变化百分之几 是增加还是减少 P1 五 证明题 1 1 证明 当时 x0 xx arctan 2 2 应用拉格朗日中值定理证明不等式 当时 ba 0 a ab a b b ab ln 3 3 设在上可导 且 证明 存在 使成 xf 1 0 0 1 f 1 0 0ff 立 4 设在闭区间 0 上连续 在开区间 0 内可导 f x 1 在开区间 0 内 求函数的导数 sin g xx f x 2 试证 存在 使 0 cot 0ff 5 5 设在闭区间上连续 在开区间内可导 且 f x a b a b 0 f af b 1 在开区间内 求函数的导数 a b kx g xef x 2 试证 对任意实数 存在 使 k a b fkf 6 6 求函数的导函数 arctanf xx 2 证明不等式 其中 提示 可以用中值定理 2121 arctanarctanxxxx 21 xx 7 证明方程有且只有一个大于 1 的根 52 31010 xxx 8 证明方程有且只有一个大于 1 的根 52 481xxx 9 证明方程有且只有一个大于 1 的根 52 371xxx 10 设在上连续 在内二阶可导 且存在点使 f x a b a b 0f af b ca b 证明 至少存在一点 使 0f c a b 0f 11 设在上连续 在内可导 且 f x 0 1 0 1 0 0f 1 1 f 证明 1 存在 使得 0 1 1 f 2 存在两