第三章飞行器的运动方程(0901)

第三章飞行器的运动方程 3 1 刚体动力学方程的推导 1 刚体飞行器运动的假设 1 认为飞行器不仅是刚体 而且质量是常数 2 假设地面为惯性参考系 即假设地面坐标为惯性坐标 3 忽略地面曲率 视地面为平面 4 假设重力加速度不随飞行高度而变化 5 假设机体坐标系的平面为飞行器对称平面 且飞行器不仅几何zox 外形对称 而且内部质量分布亦对称 惯性积0 zyxy II 2 旋转坐标系中向量的导数 设活动坐标系具有角速度 见图 3 1 1 向量在此坐标系中的 bbb zyOx 分量为 即rqp 3 1 1 kr j q i p 其中 是 轴的单位向量 i j k b x b y b z b x b y b z O i j k 图 3 1 1 设有一个可变的向量 它在此坐标系中的分量为 即 ta zyx aaa 3 1 2 kajaiaa zyx 由上式求向量对时间 的导数 ta t 3 1 3 dt kd a dt j d a dt i d ak dt da j dt da i dt da dt ad zyx z y x 从理论力学知 当一个刚体绕定点以角速度旋转时 刚体上任何一点 P 的速度为 3 1 4 r dt rd 其中是从 O 点到 P 点的向径 r 现在 把单位向量 看作是活动坐标系中一点 P 的向径 于是可得 i 3 1 5 i dt i d 同理可得 3 1 6 j dt j d 3 1 7 k dt kd 将式 3 1 5 3 1 6 及 3 1 7 代入式 3 1 3 中 可得 3 1 8 kajaiak dt da j dt da i dt da dt ad zyx z y x 或写为 3 1 9 a t a dt ad 其中k dt da j dt da i dt da t a z y x 称为在活动坐标系中的 相对导数 相当于站在此活动坐标系中的观 t a 察者所看到的向量的变化率 而则称为 绝对导数 相当于站在固定坐a dt ad 标系中的观察者所看到的向量的变化率 例如 若是某点的向径 则代a a t a 表该点的相对速度 相对于动坐标系 而则代表该点的绝对速度 dt ad 3 在机体坐标系 活动坐标系 中刚体飞行器质心动力学方程 由牛顿第二定律得 3 1 10 i Vm dt d F 式中 外力F 物体的质量m 物体的速度V 表示相对于惯性坐标系 i 在图 3 1 2 中 考察飞机上的一个质量元 m b x b y b z O c V r 图 3 1 2 飞机上的质量元 列出牛顿第二定律方程 3 1 11 dt Vd mF 式中 作用在质量元上的外力F 质量元相对惯性坐标系的速度V 作用在飞机上总的外力是这些微元的和 即 3 1 12 FF 质量元的速度为 3 1 13 dt rd VV c 式中 飞机的质心的速度 c V 微元相对于质心的速度 dt rd 将式 3 1 13 代入式 3 1 11 两边求和得 3 1 14 m dt rd V dt d FF c 假设飞机的质量是常数 式 3 1 14 可改写为 3 1 15 m dt rd dt d dt Vd mF c 或 3 1 16 mr dt d dt Vd mF c 2 2 由于是从质心度量 所以和式 式 3 1 16 简化为r 0 mr 3 1 17 dt Vd mF c 这个方程把作用在飞机上的外力和飞机质心的运动联系起来 由式 3 1 9 得 3 1 18 cB c Vm dt Vd mF 用机体坐标系上的分量表示为 VF 3 1 19 kFjFiFF zyx 3 1 20 kr j q i p 3 1 21 kwj vi uVc 则有 3 1 22 qupvwmF pwruvmF rvqwumF z y x 这就是在机体坐标系 活动坐标系 下刚体飞行器质心动力学方程 4 在机体坐标系 活动坐标系 中刚体飞行器绕质心转动的力矩方程 由牛顿第二定律得 3 1 23 i H dt d M 式中 外力矩M 物体的动量矩 角动量 H 表示相对于惯性坐标系 i 用类似方法 对于质量微元 力矩方程可以写为m 3 1 24 mVr dt d H dt d M 质量微元的速度可以用质心的速度和质量元相对于质心的速度表达 即 3 1 25 rV dt rd VV cc 总的动量矩可以写作 3 1 26 mrrmVr mrVrmVrHH c c 速度对于求和来说是常数 可以拿到求和符号的外面 即 c V 3 1 27 mrrVmrH c 式 3 1 27 中的第一项为 0 因为 前面已经解释过 0 mr 设 3 1 28 kzj yi xr 将式 3 1 20 和 3 1 28 代入 3 1 27 得 3 1 29 kmyxrmyzqmxzp jmyzrmzxqmxyp imxzrmxyqmzypH 22 22 22 如果定义 3 1 30 mzyIx 22 mxyIxy mzxIy 22 3 1 31 xzdmIxz myxIz 22 myzIyz 则有 3 1 33 zyzxzz yzyxyy xzxyxx rIqIpIH rIqIpIH rIqIpIH 由式 3 9 得 3 1 34 H dt Hd M B 设 3 1 35 kNjMiLM 将式 3 20 3 35 代入式 3 34 则有 3 1 36 xyz zxy yzx qHpHHN pHrHHM rHqHHL 因为假设平面是飞机的对称平面 所以xz 3 1 37 0 xyyz II 将式 3 1 33 3 1 37 代入 3 1 36 得 3 1 37 qrIIIpqrIpIN rpIIIrpqIM pqIIIqrrIpIL xzxyzxz xzzxy xzyzxzx 22 3 2 飞行器的运动学方程 3 2 1 飞行器的线运动方程 1 由地面坐标系绕轴转动偏航角到过渡坐标系 转换关系 g S g z zyOxS 为 3 2 1 g g g z y x z y x 100 0cossin 0sincos 2 由过渡坐标系绕轴转动到过渡坐标系 转换关 zyOxS y zyOxS 系为 3 2 2 cos0sin 010 sin0cos z y x z y x 3 由过渡坐标系绕轴转动滚转角到机体坐标系 转换关 zyOxS x b S 系为 3 2 3 cossin0 sincos0 001 z y x z y x 由地面坐标系到机体坐标系 转换关系为 g S b S g g g g g g z y x z y x z y x coscossincoscossinsinsinsincoscossin sincoscoscossinsinsincossinsincossin sinsincoscoscos 100 0cossin 0sincos cos0sin 010 sin0cos cossin0 sincos0 001 3 2 4 由机体坐标系到地面坐标系 转换关系为 b S g S z y x z y x z y x T g g g coscossincossin sincoscossinsincoscossinsinsinsincos sinsincoscossincossinsincossincoscos coscossincoscossinsinsinsincoscossin sincoscoscossinsinsincossinsincossin sinsincoscoscos 3 2 5 对式 3 2 5 两边对 求导得 t dt dz dt dy dt dx dt dz dt dy dt dx g g g coscossincossin sincoscossinsincoscossinsinsinsincos sinsincoscossincossinsincossincoscos 3 2 6 或 w v u dt dz dt dy dt dx g g g coscossincossin sincoscossinsincoscossinsinsinsincos sinsincoscossincossinsincossincoscos 3 2 7 由速度坐标系的定义可建立速度坐标系与地轴系间的转换关系 g g g a a a z y x z y x coscossincoscossinsinsinsincossincos sincoscoscossinsinsincossinsinsincos sincossincoscos 3 2 8 由速度坐标系的定义可建立速度坐标系与机体轴系间的转换关系 3 2 9 z y x z y x a a a cos0sin sinsincossincos cossinsincoscos 式 3 2 9 中的转换矩阵右乘 3 2 4 的转换矩阵也表示从地轴系向速 度轴系的转换 与式 3 2 8 中转换矩阵相等 由此可得下列几何关系式 cos sincoscossin sinsinsincoscossin sinsinsincos cossin sinsincossincos cossincossincoscoscossin cos sinsincoscos sinsincoscossin 3 2 10 3 2 2 飞行器的角运动方程 角速度分量 与姿态角变化率 之间的几何关系如图rqp 3 2 1 所示 q y g y O p x g x r z g z y y z z x x 图 3 2 1 角速度分量 与姿态角变化率 之间的几何关rqp 系 飞机三个姿态角变化率的方位如下 沿轴的向量 向下为正 g oz 在水平面内与轴在水平面内投影线相垂直 向右为正 ox 沿轴的向量 向前为正 ox 为了得到姿态角变化率与绕机体轴三个角速度间的转换关系 将三个姿态 角变化率向机体轴上投影 得 3 2 11 coscossin sincoscos sin r q p 或 3 2 12 coscossin0 sincoscos0 sin01 r q p 从式 3 2 12 可以解出姿态角变化率 3 2 13 r q p seccossecsin0 sincos0 tancostansin1 积分这个方程可以求出欧拉角 姿态角 应当指出 和在一般情况下并不是互相垂直的正交向量 但却互 rqp 相垂直的正交 并有 3 2 14 kr j q i p 3 3 重力和推力 重力通过质心作用在飞机上 由于机体坐标系固定在质心上所以重力不产生 力矩 它作为外力作用在飞机上 并沿机体坐标轴产生分量 重力沿机体坐标轴的分量为 3 3 1 coscos sincos sin mgG mgG mgG z y x 推进系统产生的推力可能沿体坐标轴的各方向产生分量 此外 如果推力 不通过质心 也可能产生力矩 图 3 3 1 表示推进系统可能产生的力矩的例子 gc T TT TzM 1 T 2 T TT yTTN 21 T z T y gc 图 3 3 1 推力系统产生的力和力矩 作用在机体坐标系的推力和力矩为 3 3 2 TPx XF TPy YF TPz ZF 现将飞行器的动力学方程和运动学方程总结如下 力方程 3 3 3 sincos sincos sin qupvwmmgZ pwruvmmgY rvqwummgX 力矩方程 3 3 4 qrIIIpqrIpIN rpIIIrpqIM pqIIIqrrIpIL xzxyzxz xzzxy xzyzxzx 22 绕质心转动的运动学方程 机体角速度用欧拉角和欧拉角速度表示 3 3 5 coscossin0 sincoscos0 sin01 r q p 欧拉角速度用欧拉角和机体角速度表示 3 3 6 r q p seccossecsin0 sincos0 tancostansin1 飞行器质心运动的运动学方程 w v u dt dz dt dy dt dx g g g coscossincossin sincoscossinsincoscossinsinsinsincos sinsincoscossincossinsincossincoscos 3 3 7 3 4 小扰动原理 3 1 节导出的方程可以通过小扰动原理进行线性化 在小扰动原理中 需 假定飞机的运动只在稳定飞行条件附近具有小的偏离 很明显 这个原理不能 用于大幅度运动的问题 但是在很多情况下 小扰动原理对于实际工程能得到 足够的精度 动力学方程中的所有变量用一个基准值加上一个偏差或扰动代替 即 3 4 0 000 000 000 000 LLLNNNMMM ZZZYYYXXX rrrqqqppp wwwvvvuuu 1 作为一个例子 考虑方向力方程 即x 3 4 2 sinrvqwummgX 把小扰动变量代入上面方程 得 sin 0000000 vvrrwwqquu dt d mmgXX 3 4 3 如果忽略扰动量的乘积 并假定 3 4 4 0 0000000 rqpvw 则有 3 4 5 ummgXX sin 00 因为 sincoscossin sin 000 假设比较小 可以认为 sin 1cos 所以式 3 4 6 可化为 3 4 7 ummgXX cos sin 000 如果假定上式中的扰动量为 0 得到基准飞行条件为 3 4 8 0sin 00 mgX 用上式代入 3 4 7 得 3 4 8 ummgX 0 cos 其中是方向的空气动力和推力 可以用台劳级数展开 X x 如果假定只是的函数 则可以表示为X Te wu X 3 4 9 T T e e XX w w X u u X X 其中 为稳定性导数 在基准飞行条件下计算 u X w X e X T X e 分别为升降舵角度和油门位置的变化 T 将式 3 4 9 代入式 3 4 8 得 3 4 10 ummg XX w w X u u X T T e e 0 cos 整理后得 3 4 11 T T e e XX mgw w