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面积射影定理面积射影定理 射影定理是我们初中时就接触了的几何定理 它是由古 希腊数学家欧几里得提出的一个重要定理 在它的帮助下 我们不仅可以证明勾股定理 还可以快捷地解决许多几何 问题 在这里我想介绍一下同样由他提出的一个重要定理 面积射影定理 定理的叙述如下 平面图形射影面积等于被射影图形的 面积乘以该图形所在平面与射影面所夹角的余弦 即 原 射 S S cos 相信大家对这个定理一定不会感到陌生 因为在学习立 体几何时我们就曾用它来求二面角的余弦值 但是定理的 相关证明并没给出 所以在这里提供一种方法 可能不是 很靠谱 本着由特殊到一般的理念 我们就先从三角形开始吧 如图 从图中我们可以看到 两个三角形所在平面成 角 而为了方便 不妨将它们平移 至特殊位置 如图 于是易知 而对于无法平移至一边重合的三角形 cos DE CE ABDS ABCS 我们可以采用延长一边的办法补全两个三角形 再结合相 似知识 同样可以得证 如图 接下来我们开始讨论一般图形了 一般图形所具有的特 点是没有明显的高和宽 这就迫使我们不得不转变思路 所以 我们可以尝试将图形分割 并且可以想象 当图形 被等分成无限多块时 如果每一小块都符合定理 那么整 个图形也就同样符合了 因此 我们以一个不规则图形为 D B A C E 例进行说明 如图 在图示的心形图形中 我们将图形用正方形网格进行分 割 当网格数趋于无穷大时 图形将被分割为无限多块面 积相等的小正方形 就如同构成影像的像素 所以证明一 般图形就转为证明正方形了 在证明正方形时我们则可以 将正方形分成两个三角形 再结合上开头的结论 这样 证明就完成了 关于面积射影定理的应用 当属大家所熟知的求二面角 余弦值了 但是在其他地方它也可以大显身手 比如求椭 圆的面积 我们知道椭圆是圆柱体被一斜平面所截时产生的图形 如图 所以由图可知椭 2a 2b 2r 2r 圆面与圆柱底面成 角 由面积射影定理得 cos 圆 椭圆 S S 即 又因为 所以 cos 2 r S 椭圆 rb r a22 cos 2 2 ab abr S cos cos cos 2 椭圆 影子不仅为人们提供了阴凉 还将完整的物体展现给 了我们 我们学习立体几何的过程实际上也是在加深我们 对
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