控制系统的数学模型.ppt

2020年3月31日星期二 第二章控制系统的数学模型 本章知识点 线性系统的输入 输出传递函数描述建立机电系统数学模型的机理分析法传递函数的定义与物理意义典型环节的数学模型框图及化简方法信号流程图与梅逊公式应用非线性数学模型的小范围线性化 2020年3月31日星期二 第一节线性系统的输入 输出时间函数描述 物理模型 任何元件或系统实际上都是很复杂的 难以对它作出精确 全面的描述 必须进行简化或理想化 简化后的元件或系统称为该元件或系统的物理模型 简化是有条件的 要根据问题的性质和求解的精确要求来确定出合理的物理模型 数学模型 物理模型的数学描述 是指描述系统输入 输出以及内部各变量之间动态关系的数学表达式 数学建模 从实际系统中抽象出系统数学模型的过程 2020年3月31日星期二 建立物理系统数学模型的方法 机理分析法对系统各部分的运动机理进行分析 按照它们遵循的物理规律 化学规律列出各物理量之间的数学表达式 建立起系统的数学模型 实验辩识法对系统施加某种测试信号 如阶跃 脉冲 正弦等 记录基本输出响应 时间响应 频率响应 估算系统的传递函数 2020年3月31日星期二 确定系统的输入量 输出量 根据物理定律列写原始方程 消去中间变量 写出表示系统输入 输出关系的线性常微分方程 机理分析法建立系统数学模型的步骤 2020年3月31日星期二 例2 1 1图2 1 1所示为一弹簧阻尼系统 图中质量为m的物体受到外力F的作用 产生位移y 求该系统的输入 输出关系 解 首先确定输入为外力F 输出为位移y 系统中有弹簧和阻尼器 所以有弹簧阻力FS和粘性摩擦阻力Ff 由牛顿定律知 机理分析法建立系统数学模型举例 2020年3月31日星期二 整理得表示输入输出关系的微分方程为 代入 2020年3月31日星期二 例2 1 3图2 1 3所示为电阻 电感 电容串联网络 其中U为输入电压 求以电容两端电压uc为输出的微分方程 解 由电压定律得 代入上式得 2020年3月31日星期二 例2 3 图2 3为RC四端无源网络 试列写以U1 t 为输入量 U2 t 为输出量的网络微分方程 解 设回路电流i1 i2 根据克希霍夫定律 列写方程组如下 1 2 3 4 5 2020年3月31日星期二 由 4 5 得 由 2 导出 将i1 i2代入 1 3 则得 4 5 2 2020年3月31日星期二 这就是RC四端网络的数学模型 为二阶线性常微分方程 3 整理得 2020年3月31日星期二 第二节线性系统的输入 输出传递函数描述 一 传递函数定义 线性定常系统的传递函数 定义为零初始条件下 系统输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比 零初始条件是指 当t 0时 系统r t c t 以及它们的各阶导数均为零 线性系统微分方程的一般形式为 2020年3月31日星期二 当初始条件均为0时 对上式两边求拉氏变换 得系统的传递函数 整理得 2 2 3 2020年3月31日星期二 也即线性微分方程特征方程的特征值 传递函数G S 是复变函数 是S的有理函数 且有m n 极点 传递函数分母s多项式的根 零点 传递函数分子s多项式的根 特征方程 2 2 3 2020年3月31日星期二 传函是由微分方程在初始条件为零时进行拉氏变换得到的 如果已知系统的传递函数和输入信号 则可求得初始条件为零时输出量的拉氏变换式C s 对其求拉氏反变换可得到系统的响应c t 称为系统的零状态响应 系统响应的特性由传递函数决定 而和系统的输入无关 传递函数则由系统的结构与参数决定 传递函数的分母多项式即为微分方程的特征多项式 为1 开环传递函数 2020年3月31日星期二 同一系统对不同的输入 可求得不同的传递函数 但其特征多项式唯一 在给定输入和初始条件下 解微分方程可以得到系统的输出响应 包括两部分 系统响应 零输入响应 零状态响应零输入响应 在输入为零时 系统对零初始状态的响应 零状态响应 在零初始条件下 系统对输入的响应 2020年3月31日星期二 传递函数的几点性质 传递函数G s 是复变量s的有理真分式函数 m n 且所有系数均为实数 传递函数G s 取决于系统或元件自身的结构和参数 与输入量的形式 幅度与大小 无关 传递函数G s 描述了系统输出与输入之间的关系 但它不提供系统的物理结构信息 具有相同传递函数的不同物理系统称为相似系统 2020年3月31日星期二 传递函数的几点性质 4 如果系统的传递函数未知 给系统加上某种输入 可根据其输出 确定其传递函数 5 系统传递函数是系统单位脉冲响应g t 的拉氏变换L g t 系统建模依据 2020年3月31日星期二 通过微分方程直接求传递函数 已知该电路的微分方程为 两端求零初始状态下的拉氏变换 整理得 2020年3月31日星期二 不通过微分方程直接求传递函数 直接利用复阻抗的概念 2020年3月31日星期二 例2 4求例2 3系统的传递函数 已知其输入 输出微分方程 设初始状态为零 对方程两边求拉氏变换 得 2020年3月31日星期二 此即为RC四端网络的传递函数 整理得 两端求拉氏变换得 2020年3月31日星期二 图2 3RC组成的四端网络 如何不通过微分方程直接求传递函数 Z1 Z 先求复阻抗 2020年3月31日星期二 第三节非线性数学模型的小范围线性化 严格讲 任何实际系统都存在不同程度的非线性 对于非本质非线性数学模型 可采用小范围线性化方法 设一非线性数学模型如图所示 2020年3月31日星期二 设函数y f x 在 x0 y0 点附近连续可微 此即为非线性系统数学模型线性化的条件 则可将函数f x 在 x0 y0 附近展开成泰勒级数 2 29 2020年3月31日星期二 式中 比例系数 是随工作点A x0 y0 不同而不同的常数 具有两个以上输入量的非线性系统线性化处理方法与前述方法相似 求线性化微分方程的步骤 按物理和化学定律 列出系统的原始方程式 确定平衡点处各变量的数值 找出原始方程式中间变量与其它因素的关系 若为非线性函数 在原平衡点邻域内 各阶导数存在并且是唯一的 则可进行线性化处理 将非线性特性展开为泰勒级数 忽略偏差量的高次项 留下一次项 求出它的系数值 消去中间变量 在原始方程式中 将各变量用平衡点的值用偏差量来表示 2020年3月31日星期二 注意 1 线性化方程中的常数与选择的静态工作点的位置有关 工作点不同时 相应的常数也不相同 2 泰勒级数线性化是小范围线性化 当输入量的变化范围较大时 用上述方法建立数学模型引起的误差较大 因此只有当输入量变化较小时才能使用 3 若非线性特性不满足连续可微的条件 则不能采用前述处理方法 4 线性化方法得到的微分方程是增量化方程 2020年3月31日星期二 由微分方程直接得出的传递函数是复变量s的有理分式 对于实际物理系统 传递函数的分子 分母多项式的所有系数均为实数 而且分母多项式的阶次n不低于分子多项式的阶次m 分母多项式阶次为n的传递函数称为n阶传递函数 相应的系统称为n阶系统 传递函数可表示成复变量s的有理分式 传递函数可表示成零 极点表示 第四节典型环节的数学模型 2020年3月31日星期二 系统传递函数有时还具有零值极点 设传递函数中有v个零值极点 并考虑到零极点都有实数和共轭复数的情况 则传递函数的后两种表示的一般形式为 2020年3月31日星期二 可见 系统传递函数是由一些常见基本因子 如式上中的 js 1 1 Tis 1 等组成 即系统传递函数表示为上式时 系统传递函数是这些常见基本因子的乘积 这些常见基本因子代表的环节称为典型环节 任何复杂的系统都可以用若干典型环节构成 具有相同基本因子传递函数的元件 可以是不同的物理元件 但都具有相同的运动规律 从传递函数的表示式中可以看到 传递函数的基本因子对应的典型环节有比例环节 积分环节 微分环节 惯性环节 振荡环节和延迟环节等 2020年3月31日星期二 比例环节又称为放大环节 其输出量与输入量之间的关系为固定的比例关系 即它的输出量能够无失真 无延迟地按一定的比例关系复现输入量 l 比例环节 2020年3月31日星期二 时域中的代数方程为 c t Kr t t 0式中K为比例系数或传递系数 有时也称为放大系数 L 变换C S KR S 完全理想的比例环节是不存在的 对某些系统当做比例环节是一种理想化的方法 所以比例环节的传递函数为 2020年3月31日星期二 2 惯性环节 式中K 比例系数 惯性环节的时间常数 衡量输出量跟随输入量的变化 惯性环节又称为非周期环节 其输入量和输出量之间的关系可用下列微分方程来描述 L 变换 传递函数 2020年3月31日星期二 属于这一环节的例子如下图所示的RC电路 惯性环节的特点是属于该种环节的物理系统含有一种储能元件 因能量的储存与释放需要一个过程 所以当输入信号突变时 输出量不能突变 2020年3月31日星期二 惯性环节的单位阶跃响应如下图所示 当输入为单位阶跃时 求拉氏反变换得 2020年3月31日星期二 3 积分环节 积分环节的动态方程为 上式说明 只要有一个恒定的输入量作用于积分环节 其输出量就与时间成比例地无限增加 积分环节具有一个零值极点 即极点位于S平面上的坐标原点处 称为积分时间常数 从传递函数表达式易求得在单位阶跃输入时的输出为 输出量与输入量的积分成比例 系数为K 积分环节的传递函数为 2020年3月31日星期二 2020年3月31日星期二 4 微分环节 微分是积分的逆运算 按传递函数的不同 微分环节可分为三种 理想微分环节 一阶微分环节 也称为比例加微分环节 和二阶微分环节 相应的微分方程为 相应的传递函数分别为 2020年3月31日星期二 理想微分环节的单位阶跃响应为 拉氏反变换为 单位脉冲响应为 面积 脉宽为零 幅值为无穷大 理想微分环节是物理不可实现的 2020年3月31日星期二 单位阶跃响应为 图2 4 5为一个RC的微分环节 图2 4 5微分RC电路 传递函数为 相当于微分环节与惯性环节的串联 这种电路在输入信号为恒值的情况下 经过一段时间后 输出为零 故串联电路难于应用 下面给出一个实用电路 2020年3月31日星期二 传递函数为 单位阶跃响应为 相当于比例微分作用 零 极点分部 2020年3月31日星期二 5 振荡环节 振荡环节的微分方程是 相应的传递函数为 式中 时间常数 阻尼系数 阻尼比 且0 1 振荡环节的传递函数具有一对共轭复数极点 在复平面S上的位置见图2 8所示 K 1时传递函数可改写为 无阻尼自然振荡频率 2020年3月31日星期二 共轭复数极点为 为有阻尼自然振荡频率 单位阶跃响应为 2020年3月31日星期二 2020年3月31日星期二 2020年3月31日星期二 6 延迟环节 延迟环节又称为纯滞后环节 时滞环节 其输出信号比输入信号迟后一定的时间 就是说 延迟环节的输出是一个延迟时间 后 完全复现输入信号 即 单位阶跃输入时 延迟环节的输出响应如右图示 根据拉氏变换的延迟定理 可得延迟环节的传递函数为 式中 纯延迟时间 2020年3月31日星期二 典型环节数学模型注意三点 1 系统的典型环节是按数学模型的共性去建立的 它与系统中采用的元件不是一一对应的 2 分析或设计控制系统必先建立系统或被控对象的数学模型 将其与典型环节的数学模型对比后 即可知其由什么样的典型环节组成 将有助于系统动态特性的研究和分析 3 典型环节的概念只适用于能够用线性定常数学模型描述的系统 2020年3月31日星期二 作业 P462 1 2 1a 2 1b 2 2 2020年3月31日星期二 补充 2020年3月31日星期二 2020年3月31日星期二 2020年3月31日星期二 框图与信号流图方法是自动控制系统的两种图形研究方法 是分析系统的有力工具 一 框图的基本概念 控制系统的方框图又称为方块图或结构图 是系统各元件特性 系统结构和信号流向的图解表示法 它用一个方框表示系统或环节 如上图所示 框图的一端为输入信号r t 另一端是经过系统或环节后的输出信号c t 图中箭头指向表示信号传递的方向 方框中用文字表示系统或环节 也可以填入表示环节或系统输出和输入信号的拉氏变换之比 传递函数 这是更为常用的框图 第五节框图及其化简方法 2020年3月31日星期二 六种典型环节的框图如下 2020年3月31日星期二 方框图的组成 信号线 用带有箭头的直线表示信号线 箭头表示信号的传递方向 如图2 15 a X s a 图2 15方框图的基本组成单元 信号引出点 分离点 分支点 信号引出或测量的位置 从同一位置引出的信号 在数值和性质方面完全相同 如图2 15 b 2020年3月31日星期二 比较点 汇合点 对两个以上的信号进行加减运算 号通常可以省略 如图2 15 c 图2 15方框图的基本组成单元 2020年3月31日星期二 1 考虑负载效应分别列写系统各元部件的微分方程或传递函数 并将它们用方框表示 2 根据各元部件的信号流向 用信号线依次将各方块连接起来 便可得到系统的框图 系统框图也是系统数学模型的一种表示 框图的绘制 2020年3月31日星期二 解 根据基尔霍夫电压定律及电容元件特性可得 对其进行拉氏变换得 例 画出下列RC电路的方块图 2020年3月31日星期二 将图 b 和 c 组合起来即得到图 d 图 d 为该一阶RC网络的框图 图2 19 66 2020年3月31日星期二 例2试绘制图2 21所示无源网络的方框图 解 根据克希霍夫定律 2020年3月31日星期二 系统方框图如下 2020年3月31日星期二 框图的等效变换相当于在框图上进行数学方程的运算 常用的方框图等效变换方法可归纳为两类 环节的合并 信号分支点或相加点的等效移动 框图变换必须遵循的原则是 变换前 后的数学关系保持不变 因此框图变换是一种等效变换 同时由于传递函数和变量的方程是代数方程 所以框图变换是一些简单的代数运算 环节的合并 环节之间互相连接有三种基本形式 串联 并联和反馈连接 五 框图的等效变换 2020年3月31日星期二 1 环节的串联 特点 前一个环节的输出信号就是后一环节的输入信号 下图所示为三个环节串联的例子 图中 每个环节的方框图为 要求出第三个环节的输出与第一个环节的输入之间的传递函数时 2020年3月31日星期二 上式表明 三个环节的串联可以用一个等效环节来代替 这种情况可以推广到有限个环节串联 各环节之间无负载效应 的情况 等效环节的传递函数等于各个串联环节的传递函数的乘积 如有n个环节串联则等效传递函数可表示为 2020年3月31日星期二 例 画出下列R C网络的方块图 分析 由图2 21清楚地看到 后一级R2 C2网络作为前级R1 C1网络的负载 对前级R1 C1网络的输出电压产生影响 这就是负载效应 2020年3月31日星期二 解 1 根据电路定理列出方程 写出对应的拉氏变换 也可直接画出该电路的运算电路图如图 b 2 根据列出的4个式子作出对应的框图 3 根据信号的流向将各方框依次连接起来 2020年3月31日星期二 2020年3月31日星期二 如果在这两极R C网络之间接入一个输入阻抗很大而输出阻抗很小的隔离放大器 如图2 22所示 则此电路的方块图如图 b 所示 57 2020年3月31日星期二 2 环节的并联 环节并联的特点是各环节的输入信号相同 输出信号相加 或相减 下图所示为三个环节的并联 图中含有信号相加点 从图中可知 2020年3月31日星期二 以上结论可推广到一般情况 当有n个环节并联时 其输出信号相加则有等效传递函数 上式整理得等效传递函数为 2020年3月31日星期二 3 反馈连接 将系统或环节的输出信号反馈到输入端 并与原输入信号进行比较后再作为输入信号 即为反馈连接 如左图所示 单位反馈 H s 1 负反馈 反馈信号与给定输入信号符号相反的反馈 正反馈 反馈信号与给定输入信号符号相同的反馈 2020年3月31日星期二 H s G s R s C s a E s B s 前向通道 由信号输入点伸向信号输出点的通道 反馈通道 由输出信号反馈到输入端的通道 2020年3月31日星期二 前向通道传递函数 输出信号与偏差信号的拉氏变换之比 C s E s G s 整理得闭环传递函数 对反馈连接 H s 对正反馈 偏差信号 开环传递函数 反馈信号与偏差信号的拉氏变换之比 2020年3月31日星期二 误差传递函数 误差信号E s 与输入信号R s 之比 2020年3月31日星期二 上述三种基本变换是进行方框图等效变换的基础 对于较复的系统 例如当系统具有信号交叉或反馈环交叉时 仅靠这三种方法是不够的 二 信号相加点和信号分支点的等效变换 对于一般系统的方框图 系统中常常出现信号或反馈环节相互交叉的现象 此时可将信号相加点 汇合点 或信号分支点 引出点 作适当的等效移动 先消除各种形式的交叉 再进行等效变换即可 2020年3月31日星期二 将信号引出点及汇合点前后移动的规则 1 变换前与变换后前向通道中传递函数的乘积必须保持不变 2 变换前与变换后回路中传递函数的乘积必须保持不变 此外 两个相邻的信号相加点或两个相邻的信号分支点可以互换位置 但必须注意 相邻的相加点与分支点的位置不能简单互换 2020年3月31日星期二 下表列出了信号相加点和信号分支点等效变换的各种方法 2020年3月31日星期二 例 求传递函数 Ei Eo Eo 图2 27 a 2020年3月31日星期二 图2 27 c 2020年3月31日星期二 例2 6 1 2020年3月31日星期二 2020年3月31日星期二 G1 G2 G4 G5 G7 R s C s G3 G6 G4 第2方案 例2 6 3 2020年3月31日星期二 2020年3月31日星期二 G1 G2 G4 G5 R s G3 G6 G4 G7 第3方案 C s 2020年3月31日星期二 G1G2 G5 G4 G7 C s R s 2020年3月31日星期二 G1 G2 G4 G5 R s G3 G6 G4 G7 第4方案 C s 2020年3月31日星期二 2020年3月31日星期二 例2 6 3求图2 6 12所示系统的输出C S R s 单独作用 2020年3月31日星期二 扰动单独作用 根据叠加定理 2020年3月31日星期二 作业 2 8 例题 2 6 2的四种框图简化 2020年3月31日星期二 第六节信号流图与梅逊公式 信号流图和框图类似 都可用来表示系统结构和信号传送过程中的数学关系 因而信号流图也是数学模型一种表示 框图及其等效变换虽然对分析系统很有效 但是对于比较复杂的系统 方框图的变换和化简过程往往显得繁琐 费时 并易于出错 如采用信号流图 则可利用梅逊公式 不需作变换而直接得出系统中任何两个变量之间的数学关系 一 信号流图及其等效变换 2020年3月31日星期二 基本概念 信号流图是一种将线性代数方程组用图形来表示的方法 例如有方程组如下 2020年3月31日星期二 二 常用术语 信号流图中除有节点和支路外 还常用到下述术语 出支路 离开节点的支路 入支路 进入节点的支路 源节点 只有出支路的节点 对应于自变量或外部输人 因此也称为输入节点 信号流图中 用小圆圈 O 表示变量 并称其为节点 节点之间用加权的有向线段连接 称为支路 通常在支路上标明前后两个变量之间的数学关系 因此支路的权又称为传输 2020年3月31日星期二 4 汇节点 只有入支路的节点 对应于因变量 有时也称为输出节点 5 混合节点 既有入支路 又有出支路的节点 6 通道 又称为路径 是指从一个节点出发 沿着支路的箭号方向相继经过多个节点间的支路 一个信号流图可以有多条通道 7 开通道 如果通道从某个节点出发 终止于另一个节点上 并且通道中每个节点只经过一次 则称这样的通道为开通道 2020年3月31日星期二 10 互不接触回环 如果一些回路没有任何公共节点和回路 就称它们为互不接触回环 11 通道传输 指沿通道各支路传输的乘积 也称为通道增益 12 回环传输 又称为回环增益 指闭通道中各支路传输的乘积 9 前向通道 从源节点出发到汇节点终止 而且每个节点只通过一次的通道称为前向通道 闭通道 如果通道的终点就是通道的起始点 并且通道中每个节点只经过一次 则该通道称为闭通道或回路 回环等 如果一个通道从一个节点开始 只经过一个支路又回到该节点 则称这样的通道为自回环 2020年3月31日星期二 例如下图中 x0为源节点 x6为汇节点 x1 x2 x3 x4和x5为混合节点 通道abcdej是一条前向通道 而abcde和fghi是普通的通道 ai不是通道 因为两条支路的方向不一致 abi也不是通道 因为两次经过节点x1 bi是一个闭通道 回环 而bchi不是一个闭通道 因为有两次经过节点x2 图中共有四个回环 即bi ch dg和ef 两个互不接触的回环有三种组合 即bief bidg和chef 本系统没有三个及三个以上互不接触的回环 2020年3月31日星期二 三 信号流图的基本性质 1 用节点表示变量 源节点代表输入量 汇节点代表输出量 用混合节点表示变量或信号的汇合 在混合节点处 所有出支路的信号 即混合节点对应的变量 等于各支路引入信号的代数和 2 以支路表示变量或信号的传输和变换过程 信号只能沿着支路的箭头方向传输 在信号流图中每经过一条支路 相当于在方框图中经过一个用方框表示的环节 3 增加一个具有单位传输的支路 可把混合节点变为汇节点 4 对于同一系统 信号流图的形式不是唯一的 2020年3月31日星期二 四 信号流图的简化 l 串联支路的总传输等于各支路传输的乘积 2 并联支路的总传输等于各支路传输之和 3 混合节点可以用移动支路的方法消去 4 回环可以用框图中反馈连接的规则化为等效支路 2020年3月31日星期二 下表列出了信号流图的等效变换规则 2020年3月31日星期二 例题 试将下图所示的系统方框图化为信号流图并进行简化 求出系统的闭环传递函数 1 2 2020年3月31日星期二 1 2020年3月31日星期二 2 2020年3月31日星期二 解 a 所示的框图可化为图 b 所示的信号流图 注意 框图中比较环节的正负号在信号流图中表现在支路传输的符号上 图2 30表示了信号流图的简化过程 2020年3月31日星期二 2020年3月31日星期二 2020年3月31日星期二 系统总传输为 2020年3月31日星期二 二 梅逊公式及其应用 式中G s 为从源节点到汇节点之间的总传输 n为从源节点到汇节点之间前向通道的总数 Pk为第K条前向通道的传输 为信号流图特征式 是信号流图所表示的代数方程组的系数行列式 k为第K条前向通道的信号流图特征式的余子式 即从 中除去与第K条前向通道相接触的回环后余下的部分 的计算公式为 信号流图上从源节点 输入节点 到汇节点 输出节点 的总传输公式 即梅逊公式为 2020年3月31日星期二 式中 L1 信号流图中所有不同回环的传输之和 L2 所有两个互不接触回环传输的乘积之和 L3 所有三个互不接触回环传输的乘积之和 Lm 所有m个互不接触回环传输的乘积之和 2020年3月31日星期二 利用梅