广东省揭阳市2013届高三第二次模拟数学(理)试题含答案

1 绝密 启用前 揭阳市揭阳市 20132013 年年高中毕业班第二次高考模拟考试高中毕业班第二次高考模拟考试 数学数学 理科理科 本试卷共本试卷共 4 页 页 21 小题 满分小题 满分 150 分 考试用时分 考试用时 120 分钟 分钟 参考公式 棱锥的体积公式 参考公式 棱锥的体积公式 其中 S 表示棱锥的底面积 h 表示棱锥的高 1 3 VSh 一 选择题 本大题共一 选择题 本大题共 8 小题 每小题小题 每小题 5 分 满分分 满分 40 分 在每小题给出的四个选项中 只分 在每小题给出的四个选项中 只 有一项是符合题目要求的 有一项是符合题目要求的 1 已知全集UR 则 ACU 21 x Ax y A B C D 0 0 0 0 2 若 其中 a b R i 是虚数单位 则 12 1ai ibi abi A B C D 1 2 i 5 5 2 5 4 3 已知点 A和向量 2 3 若 则点 B 的坐标为 1 5 a 3ABa A 7 4 B 7 14 C 5 4 D 5 14 4 在等差数列 n a中 首项 1 0 a 公差0d 若 129m aaaa 则的值为m A 37 B 36 C 20 D 19 5 一个棱长为 2 的正方体沿其棱的中点截去部分后所得几何体的三视图 如图 1 示 则该几何体的体积为 A 7 B C D 22 3 47 6 23 3 图 1 俯视图 6 已知函数 则 yf x 的图象大致为 1 ln 1 f x xx 件 件 件件 件 件 2 7 某市教育局人事部门打算将甲 乙 丙 丁四名应届大学毕业生安排到该市三所不同的 学校任教 每所学校至少安排一名 其中甲 乙因属同一学科 不能安排在同一所学校 则不同的安排方法种数为 A 18 B 24 C 30 D 36 8 设是定义在 0 1 上的函数 对任意的都有 f x1yx 11 1 yx fff xyxy 记 则 2 1 55 n afnN nn 8 1 i i a A B C D 1 2 f 1 3 f 1 4 f 1 5 f 二 填空题 本大题共二 填空题 本大题共 7 小题 考生作答小题 考生作答 6 小题 每小题小题 每小题 5 分 满分分 满分 30 分 分 一 必做题 一 必做题 9 13 题 题 9 若点在函数的图象上 则的值为 1 a 1 3 logyx 4 tan a 10 过双曲线的右焦点 且平行于经过一 三象限的渐近线的直线方程是 22 1 916 xy 11 某个部件由两个电子元件按图 2 方式连接而成 元件 1 或元件 2 正常工作 则部件正常工作 设两个电子元件的使 用寿命 单位 小时 均服从正态分布 2 1000 50 N 且各个 图 2 元件能否正常工作相互独立 那么该部件的使用寿命超过 1000 小时的概率为 12 已知函数 若命题 使 是真命题 4 21f xa xa 0 0 1 x 0 0f x 则实数的取值范围为 a 13 已知点满足则点构成的图形的面积为 P x y 01 02 x xy Q xy y 二 选做题 二 选做题 14 15 题 考生只能从中选做一题 题 考生只能从中选做一题 14 坐标系与参数方程选做题 坐标系与参数方程选做题 在极坐标系中 O 为极点 直线过圆 C 的圆心 C 且与直线 OC 垂直 则直线的极坐标方程为 2 2cos 4 15 几何证明选讲选做题几何证明选讲选做题 如图 3 所示 是半圆周上的两个 C D 三等分点 直径 垂足为 与相交于4AB CEAB EBDCE 点 则的长为 FBF 件 件 2 件 件 1 图3 F E DC BA o 3 三 解答题 本大题共三 解答题 本大题共 6 小题 满分小题 满分 80 分 解答须写出文字说明 证明过程和演算步骤 分 解答须写出文字说明 证明过程和演算步骤 16 本小题满分 本小题满分 12 分 分 已知函数 12sin 2 4 cos x f x x 1 求函数的定义域 f x 2 设是第四象限的角 且 求的值 4 tan 3 f 17 本小题满分 本小题满分 12 分 分 某批产品成箱包装 每箱 5 件 一用户在购进该批产品前先取出 3 箱 设取出的 3 箱 中 第一 二 三箱中分别有 0 件 1 件 2 件二等品 其余为一等品 1 在取出的 3 箱中 若该用户从第三箱中有放回的抽取 3 次 每次一件 求恰有两次 抽到二等品的概率 2 在取出的 3 箱中 若该用户再从每箱中任意抽取 2 件产品进行检验 用 表示抽 检的 6 件产品中二等品的件数 求 的分布列及数学期望 18 本小题满分 本小题满分 14 分 分 数列中 是常数 且成 n a 1 3a 1nn aacn c12 3n 123 aaa 公比不为的等比数列 1 求的值 c 2 求的通项公式 n a 3 求最小的自然数 使 n2013 n a 19 本小题满分 本小题满分 14 分 分 在图 4 所示的长方形 ABCD 中 AD 2AB 2 E F 分别为 AD BC 的中点 M N 两点分别在 AF 和 CE 上运动 且 AM EN a 02 a 把长方形 ABCD 沿 EF 折成大小为的二面角 A EF C 如图 5 所示 其中 0 2 1 当时 求三棱柱 BCF ADE 的体积 0 45 2 求证 不论怎么变化 直线 MN 总与平面 BCF 平行 3 当且时 求异面直线 MN 与 AC 所成角 0 90 2 2 a 的余弦值 20 本小题满分 本小题满分 14 分 分 t l y X O MF B A 件 件 5件 件 件 4件 M N M NF D C B A E C F B A ED 4 如图 6 已知抛物线的准线为 焦点为 F 2 2 0 C ypx p 圆 M 的圆心在 x 轴的正半轴上 且与 y 轴相切 过原点作倾斜角 为的直线 t 交于点 A 交圆 M 于点 B 且 3 2AOOB 1 求圆 M 和抛物线 C 的方程 2 设是抛物线C上异于原点的两个不同点 且 G HO 求面积的最小值 0OG OH GOH 图 6 3 在抛物线C上是否存在两点关于直线对称 若存在 QP 10m yk xk 求出直线 的方程 若不存在 说明理由 m 21 本小题满分 本小题满分 14 分 分 设函数在上的最大值为 2 1 n n fxxx 1 1 2 n a1 2 n 1 求的值 12 a a 2 求数列的通项公式 n a 3 证明 对任意 nN 都有成立 2n 2 1 2 n a n 揭阳市揭阳市 20132013 年年高中毕业班高考第二次模拟考高中毕业班高考第二次模拟考 数学数学 理科理科 参考答案及评分说明参考答案及评分说明 一 本解答给出了一种或几种解法供参考 如果考生的解法与本解答不同 可根据试题的一 本解答给出了一种或几种解法供参考 如果考生的解法与本解答不同 可根据试题的 主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则 主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则 二 对计算题当考生的解答在某一步出现错误时 如果后续部分的解答未改变该题的内容二 对计算题当考生的解答在某一步出现错误时 如果后续部分的解答未改变该题的内容 5 和难度 可视影响的程度决定给分 但不得超过该部分正确解答应得分数的一半 如果后和难度 可视影响的程度决定给分 但不得超过该部分正确解答应得分数的一半 如果后 续部分的解答有较严重的错误 就不再给分 续部分的解答有较严重的错误 就不再给分 三 解答右端所注分数 表示考生正确做到这一步应得的累加分数 三 解答右端所注分数 表示考生正确做到这一步应得的累加分数 四 只给整数分数四 只给整数分数 一 选择题 一 选择题 BCDA DACC 解析解析 1 由得 故选 B 210 x 0 x 0 A 2 由得 选 C 12 1ai ibi 1 1 2 ab 22 5 2 abiab 3 设 由得 所以选 D B x y3ABa 16 59 x y 4 由得 选 A 129m aaaa 5 1 93637mdadm 5 依题意可知该几何体的直观图如右上图 其体积为 故选 3 1123 221 1 1 323 D 6 令 则 由得即函数 ln 1 g xxx 1 1 11 x g x xx 0 g x 0 x 在上单调递增 由得 即函数在上单调递 g x 0 0g x 10 x g x 1 0 减 所以当时 函数有最小值 于是对任意的0 x g x min 0 0g xg 有 故排除 B D 因函数在上单调递减 则 1 0 0 x 0g x g x 1 0 函数在上递增 故排除 C 所以答案选 A f x 1 0 7 四名学生中有两名分在一所学校的种数是 顺序有种 而甲乙被分在同一所学校 2 4 C 3 3 A 的有种 所以不同的安排方法种数是 故选 C 3 3 A 233 433 30C AA 8 因 故 2 1 3 2 55 3 2 1 n nn aff nnnn 11 23 ff nn 8 1 i i a 128 111111 34451011 aaaffffff 故选 C 1111 31 31111 3 14 ffff 二 填空题 二 填空题 9 10 11 12 或 343200 xy 3 4 1 2 a 1 2 a 13 2 14 或 15 cossin20 cos 2 4 2 3 3 6 解析解析 9 依题意得 则 3a 4 tan a 4 tan 3 3 10 双曲线的右焦点为 渐近线的方程为 所以所求直线方程 22 1 916 xy 5 0 4 3 yx 为即 4 5 3 yx 43200 xy 11 两个电子元件的使用寿命均服从正态分布 2 1000 50 N得 两个电子元件的使用寿命 超过 1000 小时的概率均为 1 2 p 则该部件使用寿命超过 1000 小时的概率为 2 1 3 1 1 4 Pp 12 由 1 0 0 x 使得0 0 xf 是真命题 得 0 1 0ff 或 12 4 21 0aaa 0 21 21 0 a aa 0 61 21 0 a aa 1 2 a 13 令 则点满足 在平面内画 xyu yv Q u v 01 02 uv u uov 出点所构成的平面区域如图 易得其面积为 2 Q u v 14 把化为直角坐标系的方程为 圆心 C 的坐标为 2 2cos 4 22 22xyxy 1 1 与直线 OC 垂直的直线方程为化为极坐标系的方程为20 xy 或cossin20 cos 2 4 15 依题意知 则 AD 2 过点 D 作 DG于 G 则 AG BE 1 所以30DBA AB 2 3 3 BF 三 解答题 三 解答题 16 解 1 函数要有意义 需满足 f xcos0 x 解得 2 分 2 xkkZ 即的定义域为 4 分 f x 2 x xkkZ 2 6 分 12sin 2 4 cos x f x x 22 12 sin2cos2 22 cos xx x 1cos2sin2 cos xx x 2 u 2 1 v u 1 v u 12 o v u 7 8 分 2 2cos2sin cos cos xxx x 2 cossin xx 由 得 又 4 tan 3 4 sincos 3 22 sincos1 是第四象限的角 10 分 2 9 cos 25 3 cos 5 4 sin 5 12 分 14 2 cossin 5 f 17 解 1 设表示事件 从第三箱中有放回地抽取 3 次 每次一件 恰有两次取到A 二等品 依题意知 每次抽到二等品的概率为 2 5 2 分 故 5 分 22 3 2336 55125 P AC 2 可能的取值为 0 1 2 3 6 分 P 0 P 1 C C C C 18 100 9 50 C C C C C C C C C 12 25 P 2 P 3 10 分 C C C C C C C C C 15 50 C C C C 1 25 的分布列为 0123 P 9 50 12 25 15 50 1 25 11 分 数学期望为 E 1 2 3 1 2 12 12 25 15 50 1 25 分 18 解 1 1 分 1 3a 2 3ac 3 33ac 成等比数列 2 分 1 a 2 a 3 a 2 3 3 33 cc 解得或 3 分0c 3c 当时 不符合题意舍去 故 4 分0c 123 aaa 3c 2 当时 由 2n 21 aac 32 2aac 1 1 nn aanc 得 6 分 1 1 12 1 2 n n n aancc 又 8 1 3a 3c 2 33 3 1 2 2 3 22 n an nnnn 分 当时 上式也成立 9 分1n 2 3 2 2 n annnN 8 3 由得 即 102013 n a 2 3 2 2013 2 nn 2 13400nn 分 11 分nN 14 335 2 n 14 181 36 22 令 得 令得 13 分37n 37 20012013a 38n 38 21122013a 使成立的最小自然数 14 分2013 n a 38n 19 解 1 依题意得平面 2 分 EFDE EFAEEF ADEDEA 由得 45 12 sin45 24 ADE SDE EA 4 分 2 4 BCFADEADE VSEF 2 证法一 过点 M 作交 BF 于 1 MMBF 1 M 过点 N 作交 BF 于 连结 5 分 1 NNCF 1 N 11 M N 11 MMAB NNEF 11 MMNN 又 7 分 11 MMNNFMCN ABFACEEF 11 MMNN 四边形为平行四边形 8 分 11 MNN M 10 11 MNN M 11 MNBCF N MBCF 又面面 MNBCF 面 分 法二 过点 M 作交 EF 于 G 连结 NG 则MGEF CNFMFG NEMAGE 6 分 NGCF 7 分 NGBCF CFBCFNGBCF 又面面面 同理可证得 又 平面 MNG 平面 BCF 9 分 MGBCF面MGNGG MN平面 MNG 10 分 MNBCF 面 3 法一 取 CF 的中点为 Q 连结 MQ NQ 则 MQ AC 或其补角为异面直线 MN 与 AC 所成的角 11 分NMQ 且 0 90 2 2 a 1 2 NQ 22 123 222 MQ G E A B C D F N M N1 M1 E A B C D F N M Q E A B C D F N M 9 12 分 2 2 MN 222 6 cos 23 QMMNNQ NMQ MN QM 即 MN 与 AC 所成角的余弦值为 14 分 6 3 法二 且 0 90 2 2 a 分别以 FE FB FC 所在直线为 x 轴 y 轴 z 轴 建立空间直角坐标系 11 分 则 12 1 1111 1 1 1 0 0 0 1 0 0 1 1 1 0 2 2222 2 ACMNACMN 得 分 13 分 16 cos 32 3 2 AC MN 所以与 AC 所成角的余弦值为 14 分 6 3 20 解 1 即 1 cos6021 22 p OA 2p 所求抛物线的方程为 2 分 2 4yx 设圆的半径为 r 则 圆的方程为 4 分 1 2 2cos60 OB r 22 2 4xy 2 设 由得 1122 G x yH xy0OG OH 0 2121 yyxx 6 分 22 1122 4 4yxyx 12 16x x 1 2 GOH SOG OH 22 22222 1122 11 44 GOH SOGOHxyxy 22 1122 1 44 4 xxxx 256 2 12121212 1 416 4 x xx xxxx x 2 12121212 1 4216 4 x xx xx xx x 当且仅当时取等号 16 GOH S 12 2xx 面积最小值为 9 分GOH 16 3 设关于直线对称 且中点 4433 yxQyxPmPQ 00 y xD 在抛物线上 4433 yxQyxPC 22 3344 4 4yxyx 10 两式相减得 11 分 343434 4yyyyxx 34 34 34 4 44 PQ xx yyk yyk 0 2yk 在上 00 y xD 10m yk xk 点在抛物线外 13 分 0 10 x 00 y xD 在抛物线C上不存在