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微积分 章学诚刘西垣编著 普通高等教育 十一五 家级规划教材 经济管理类 第三章 2 第三章导数和微分 3 3 3 5 3 2 导数概念求导法则基本求导公式高阶导数函数的微分导数和微分在经济学中的简单应用 3 4 3 6 3 1 3 第三章导数和微分 他以几乎神一般的思维力 最先说明了行星的运动和图像 彗星的轨道和大海的潮汐 牛顿墓志铭 微积分 是由牛顿和莱布尼茨大体上完成的 但不是由他们发明的 恩格斯 4 微积分学大致产生于17世纪下半叶 在整个数学发展史上是自欧几里得几何学 约建立于公元前3世纪 之后的一个最大的创造 虽然它的思想萌芽可追溯到古希腊时期 但它的创立 首先是为了解决17世纪所面临的许多科学问题 一元函数微积分可分成一元函数微分学和一元函数积分学两部分 微分学是积分学的基础 导数 或微商 和微分是一元函数微分学中两个密切相关的基本概念 5 引发导数概念的问题主要有 1 已知直线运动的路程函数s t 求物体运动的速度v 2 求曲线的切线 3 求函数的最大 最小值 这些问题最终可归结为求一个函数的因变量相对于自变量变化的快慢 即 变化率 这就是函数的导数概念 从局部来看 微分是函数的线性近似 它在一元函数积分学中起重要作用 导数可以看成是函数的微分与自变量的微分之比 故又称微商 本章主要阐述函数的导数和微分的概念以及它们之间的关系 并给出它们的运算法则和计算方法 最后介绍导数和微分概念在经济学中的简单应用 6 3 1导数概念 3 1 1 3 1 2 3 1 3 3 1 4 两个经典问题导数概念和导函数单侧导数函数可导与连续的关系 7 3 1 1两个经典问题在阐述函数的导数概念之前 先介绍两个古典的例子 例1曲线的切线 在17世纪 为了设计光学透镜和了解行星的运动方向 必须知道曲线的切线 大家知道 圆的切线是与圆只有一个交点的直线 但这样认识曲线的切线没有普遍意义 给定曲线C y f x x D 假设U x0 是点x0的一个邻域 U x0 D 则P0 x0 f x0 C 现在的问题是 什么是曲线C在点P0处的切线 这切线的斜率如何计算 8 给定曲线C y f x x D 假设U x0 是点x0的一个邻域 U x0 D 则P0 x0 f x0 C 现在的问题是 什么是曲线C在点P0处的切线 这切线的斜率如何计算 设x U x0 x x0 且点P x f x C 则直线P0P称为C的割线 当点P沿曲线C趋于P0时 如果P0P绕点P0旋转而趋于一个极限位置P0T 则直线P0T就称为曲线C在点P0处的切线 如图3 1 即 当点时 直线P0P 切线P0T 为确定切线P0T 关键是要求出它的斜率k tana 其中a是P0T的倾角 图3 1 9 为此 设割线P0P的倾角为j 记 x x x0 y f x f x0 f x0 x f x0 则而点P P0等价于x x0 即 x 0 故若切线P0T存在 则有即切线P0T的斜率 3 1 求出了切线P0T的斜率 切线P0T也就确定了 图3 1 10 例2直线运动的瞬时速度 设一物体做直线运动 其运动方程为s s t 0 t t1 其中s 0 0 它表示物体行走的路程s与所经历的时间t之间的关系 如图3 2 设t0 t0 t 0 t1 则在时间段 t0 t0 t 设 t 0 内物体行走的路程 s s t0 t s t0 在这时间段内物体的平均速度如果物体做匀速直线运动 则其平均速度v是一个常数 与t0和 t无关 这是最简单的直线运动 图3 2 在自然界和日常生活中人们所遇到的直线运动大多是非匀速运动 例如自由落体 下落的时间越久 在单位时间内下落的距离越大 即它是一个变速运动 在这种情况下 平均速度不能精确地刻画物体的运动状况 随之就提出了瞬时速度的概念 11 例2直线运动的瞬时速度 如果极限存在 就称此极限值为物体在时刻t0的瞬时速度 简称速度 记为v t0 所以 3 2 对于曲线运动 其速度不仅有大小 还有方向 速度的方向就是曲线的切线方向 人类在研究天体的运动时 必须知道天体运动的速度 速度的概念对于理解物体的运动具有极其重要的意义 12 3 1 2导数概念和导函数上面例1中的切线问题是一个几何问题 而例2中的速度则是一个力学概念 在计算切线的斜率和运动的速度时都要遇到函数值的增量与自变量的增量之比的极限 它们的抽象就导致函数的导数概念 定义1设函数y f x 在点x0的某一邻域U x0 上有定义 如果对于自变量x在点x0的增量 x x0 x U x0 和相应的函数值的增量 y f x0 x f x0 比值当 x 0时有极限 则称函数f x 在点x0可导 并称此极限为函数f x 在点x0的导数 或微商 记为f x0 即 3 3 13 这个定义可以用另一种形式表示 若记x x0 x 则 x 0即为x x0 因此 3 3 函数y f x 在点x0的导数也可用或或表示 所以 导数f x0 表示曲线C y f x 在点P0 x0 f x0 的切线P0T的斜率 从而按直线的点斜式方程知 曲线C y f x 在点P0 x0 f x0 处切线P0T的方程为y f x0 f x0 x x0 3 4 14 在力学中 导数s t0 表示直线运动s s t 在时刻t0的瞬时速度 即v t0 s t0 3 2 在实际应用中 通常把导数称为变量y对变量x在点x0的变化率 它表示函数值的变化相对于自变量的变化的快慢 这样 曲线的切线的斜率可以说成是曲线上点的纵坐标对该点的横坐标的变化率 速度可以说成是行走的路程对于时间的变化率 变化率有广泛的实际意义 例如 加速度就是速度对于时间的变化率 角速度就是旋转的角度对于时间的变化率 线密度就是物质线段的质量对线段长度的变化率 功率就是所做的功对于时间的变化率 等等 15 小知识 牛顿 I Newton 1642 1727 伟大的英国数学家 物理学家 天文学家和自然哲学家 他给出了求一个变量对另一个变量的变化率的普遍方法 而且证明了求面积的问题可以作为求变化率的反问题而得到解决 这就是现在所称的微积分基本定理 虽然他的先驱者在特殊的例子中观察到了这一点 但并未认识到它的普遍意义 可以说正是牛顿在先前许多杰出的数学家作出的贡献的基础上 以他的敏锐和洞察力 完成最后最高的一步 成就了微积分学的创建工作 在他的著述中 用的是无穷小量的方法 他所说的 瞬 就是无穷小量 或者微元 或者不可分的量 他将现在所说的导数称为 流数 牛顿关于微积分的工作有鲜明的力学和几何色彩 16 小知识 牛顿生于英格兰的一个小村庄 出生前即丧父 在地方学校接受初等教育 除对机械设计有兴趣外未显示出有特殊的才华 1661年他进入剑桥大学三一学院 受教于数学家I 巴罗 并做实验 研究笛卡儿的 几何 以及哥白尼 开普勒 伽利略 沃利斯等人的科学著作 1665年获文学士学位 此后二年因躲避伦敦的鼠疫回到家乡 开始他在机械 数学和光学方面的伟大工作 其中包括解决微积分问题的一般方法 但他没有及时发表所获得的成果 1667年回到剑桥 当选为三一学院的研究员 次年获硕士学位 1669年被委任接替巴罗任教授直至1701年 由于需处理一些技术问题 以及严重的神经衰弱和经济方面的原因 于1696年受命任皇家造币厂监督 1703年任英国皇家学会会长 1705年受女王封爵 晚年潜心于自然哲学和神学 17 小知识 他由于1672年和1675年发表的两篇光学论文曾遭到了不同观点学者的严厉批评 所以直到1687年才在天文学家E 哈雷的鼓励和资助下发表了他的巨著 自然哲学的数学原理 三卷 其中包含它在微积分学方面的工作 他分别于1669年 1671年和1676年完成的三本关于微积分的著作直到18世纪才正式出版 从现在的观点来看 牛顿关于微积分的基本概念的阐述和运算方法的证论是不很清晰和严密的 18世纪达朗贝尔 J L R D Alembert 1717 1783 指出微积分的基础可建立在极限的基础上 导数的这个定义是波尔察诺于1817年和柯西于1823年给出的 18 如果函数y f x 在开区间I中的每一点都可导 则称函数f x 在区间I上可导 这时 对每一个x I f x x I 可以看成是定义在I上的一个新的函数 称它为原来的函数f x 的导函数 或简称导数 也可以说成y对x的导数 并记为y 或或也可记为或注意 在这里或是一个整体 表示对x求导 表示y作为x的函数对x求导 由此可见 f x 在点x0的导数f x0 就是导函数f x 在点x0的值 即或 19 例3求函数f x C 常数 的导数 解在任意一点x 由于 y f x x f x C C 0 故f x 0 所以常数的导数恒等于零 即 C 0 20 例4求幂函数f x xn n N 的导数 解对任意一点x和它的增量h 由于n是正整数 由二项式定理 有所以即 xn nxn 1 21 例5求函数的导数 解对任意的x x 0 22 例6求指数函数y ax的导数 解由2 6 3小节 故即 ax axlna 特别 ex ex 23 例7求正弦函数y sinx的导数 解即 sinx cosx 同理可证 cosx sinx 24 例8设函数f x 在x a点可导 且求f a 解设 x 2h 则h 0即 x 0 所以 25 例9求双曲线的平行于直线L x 4y 5 0的切线方程 解问题的关键是要求出双曲线上的一点 在该点曲线的切线与L平行 设点是双曲线上这样的点 由于故双曲线在点P0的切线P0T的斜率为由于P0T L 而L的斜率为故即从而x02 4 即x0 2 26 例9求双曲线的平行于直线L x 4y 5 0的切线方程 续解由上可知双曲线在点和的切线均与给定的直线L平行 双曲线在这两点的切线方程分别为和即x 4y 4 0和x 4y 4 0 27 3 1 3单侧导数函数的导数实际上是一种特殊形式的函数极限 函数有左 右极限的概念 因此也可以定义函数在一点的左 右导数 对于分段函数 如何判断它在分段点处的可导性 就要用到在分段点处的左 右导数 定义2设函数y f x 在x0点及其一个左 右 邻域 x0 x0 x0 x0 有定义 如果极限存在 则称此极限为函数f x 在x0的左 右 导数 记为f x0 f x0 28 因此左 右导数统称为单侧导数 由函数极限与其左 右极限之间的关系 可知函数f x0 在点x0可导 f x 在点x0的左 右导数存在且相等 29 例10求绝对值函数y f x x 的导数 解当x 0时 f x x 故f x 1 当x 0时 f x x 故f x 1 当x 0时 y f 0 x f 0 x 由此 知可见f 0 f 0 因此f x x 在点x 0不可导 所以 其实 从函数y x 的图形 如下图 即可得到上述结果 因为当x 0时直线y x的斜率y 1 当x 0时直线y x的斜率y 1 当x 0时图形上原点O是一个尖点 没有切线 30 例11设求g x 解当x1时 g x 2x 设x x 1 则 31 例11设求g x 续解当x 1时 g 1 2 所以 g 1 g 1 2 从而g 1 2 综上所述 有或 从例11可见 对分段函数求在分段点处的导数比较麻烦 下面的定理给出了较为快捷的方法 参见习题四第8题 32 定理3 1设 0 1 如果函数f x 在 x0 x0 上连续 在 x0 x0 上可导 且当x x0 时f x A 则f x0 A 2 如果函数f x 在 x0 x0 上连续 在 x0 x0 上可导 且当x x0 时f x B 则f x0 B 依此定理 在例11中 g x 在 上连续 在 1 和 1 上可导 且故g 1 2 g 1 2 从而g 1 2 例11设求g x 33 3 1 4函数可导与连续的关系由导数f x0 的定义可知 如果导数f x0 存在 则当 x 0时必有 y f x0 x f x0 0 见习题二第13题 即函数f x 在点x0连续 所以 可导与连续的关系是 函数f x 在点x0连续是f x 在点x0可导的必要条件 但不是充分条件 从例10可见 虽然函数f x x 在点x 0连续 但在点x 0不可导 例10求绝对值函数y f x x 的导数 答案 f x x 在点x 0不可导 34 例12判断分段函数在点x 0是否可导 解因为j 0 j 0 0 j 0 1 故j x 在点x 0不连续 从而在点x 0必不可导 35 3 2求导法则 3 2 1 3 2 2 3 2 3 函数的和 差 积 商的求导法则反函数求导法则复合函数求导法则 36 3 2 1函数的和 差 积 商的求导法则定理3 2设函数u x 和v x 均在x点可导 则它们的和 差 积 商 分母不等于0 也均在x点可导 且 u x v x u x v x 3 5 u x v x u x v x u x v x 3 6 3 7 证只证明 3 7 式 3 5 和 3 6 可同样证明 37 3 7 证由导数的定义 设则记 u u x x u x v v x x v x 则 这就得到 3 7 38 u x v x u x v x 3 5 u x v x u x v x u x v x 3 6 公式 3 5 和 3 6 可推广到多个函数的情况 如 uvw u vw uv w uvw 由于 C 0 从 3 6 可得 Cu x Cu x 39 例1设f x 3x4 5x2 x 8 求f x 解由3 1节例3和例4 f x 3x4 5x2 x 8 3x4 5x2 x 8 3 x4 5 x2 1 0 3 4x3 5 2x 1 12x3 10 x 1 例3求函数f x C 常数 的导数 例4求幂函数f x xn n N 的导数 答案 C 0 xn nxn 1 40 例2设g x x2 3x 求g x 和g 2 解由3 1节例4和例6 g x x2 3x x2 3x 2x 3x x2 3xln3 所以g 2 2x 3x x2 3xln3 x 2 4 32 4 32ln3 36 1 ln3 例4求幂函数f x xn n N 的导数 例6求指数函数y ax的导数 答案 xn nxn 1 ax axlna 41 例3设y tanx 求y 解由3 1节例7 所以 tanx sec2x 同理可证 cotx csc2x 例7求正弦函数y sinx的导数 答案 sinx cosx 42 例4设y secx 求y 解即 secx tanxsecx 同理 cscx cotxcscx 43 3 2 2反函数求导法则定理3 3 反函数求导法则 设函数x f y 在区间I1上单调 可导 且f y 0 则它的反函数y f 1 x 在区间I2 R f x f y y I1 上也可导 且 3 8 即 3 8 下面给出证明大意 44 3 8 证由于函数x f y 在I1上单调 可导 从而连续 所以它的反函数y f 1 x 在I2上单调 连续 对于任意的x I2和它的增量 x 0 x x I2 相应地有 y f 1 x x f 1 x 0 且 x 0等价于 y 0 故反函数求导法则说明 反函数的导数等于直接函数的导数的倒数 45 例5求 logax 解设y logax 即x ay 所以即特别 46 例6求 arcsinx 解y arcsinx x 1 是x siny的反函数 x siny在上单调增加 可导 且故其反函数y arcsinx在 1 1 上单调增加 可导 且所以 47 3 2 3复合函数求导法则上面已经知道了一些基本初等函数的导数 但是即使像下列比较简单的初等函数 我们仍然不知道它们是否可导 若可导如何计算它们的导数 下面的重要定理有效地解决了这个问题 定理3 4 复合函数求导法则 设函数u g x 在点x可导 函数y f u 在u g x 处可导 则复合函数y f g x 在点x可导 且其导数 f g x f g x g x 3 9 或 48 3 9 下面给出证明大意 证设x有增量 x 则相应地u g x 有增量 u g x x g x 从而y f u 有增量 y f u u f u 如果 x 0时 u 0 则有由假设u g x 在点x可导 y f u 在u g x 点可导 所以 当 x 0时 u 0 且从而 此即 3 9 49 复合函数求导法则 定理3 4 说明 y对x的导数等于y对中间变量u的导数与中间变量u对自变量x的导数的乘积 因此这个法则也称为链式法则 这个法则可推广到多个函数复合的情况 若y f u u g v v h x 且这三个函数都可导 则它们的复合函数y f g h x 也可导 且 50 3 9 注意1 在公式 3 9 中 若和都用y 代替 就会引起混淆 因为y既是x的函数 又是中间变量u的函数 这样 y 究竟是表示y对x的导数还是表示y对u的导数 就无法分辨了 由此可见导数记号的优越性 2 用链式法则时切记不要丢了中间变量对自变量的导数这一因子 例如 在求y arcsin2x的导数时 可设u 2x 因此y arcsinu 用公式 3 9 有 如果丢掉因子 2x 2 结果就错了 这是在求复合函数的导数时最易犯的一种错误 51 例7求下列函数的导数 解1 设y sinu 则 52 例7求下列函数的导数 解2 设y eu u x2 则由公式 3 9 有3 设y lnu u cosx 则 3 9 53 例7求下列函数的导数 解4 设y u10 u 1 2x 则 1 2x 10 u10 1 2x 10u9 2 20 1 2x 9 5 设y 2u u tanv 则 54 例7求下列函数的导数 解6 设y arctanu u v2 v tanx 则 55 例7求下列函数的导数 解7 56 例7求下列函数的导数 解8 设则 57 例8求幂函数y x 的导数 解由于设t lnx 则y x et 故所以 x x 1 在复合函数的分解比较熟练以后 用链式法则对复合函数求导时 可不写出中间变量 而直接写出函数对中间变量的求导结果 重要的是要清楚每一步是哪个函数对哪个变量求导 58 例9设y cose x 求y 0 解y sine x e x sine x e x x e xsine x 所以y 0 e xsine x x 0 e0sine0 sin1 59 例10设f 2x 1 ex 求f x 和f lnx 解先要求出函数f x 设u 2x 1 则故所以由此 得 60 例11求下列函数的导数 4 y u x v x u x v x 可导 解1 两边取对数 有lny xlnx 两边对x求导 注意lny中的y是x的函数 所以是一个复合函数 由此 得y xx y lnx 1 xx lnx 1 61 例11求下列函数的导数 4 y u x v x u x v x 可导 解2 两边取对数 得两边对x求导 得所以 62 例11求下列函数的导数 4 y u x v x u x v x 可导 解3 两边取对数 得两边对x求导 得所以 63 例11求下列函数的导数 4 y u x v x u x v x 可导 解4 这里用的是换底后求导的方法 与1 3 中所用的先取对数再求导数的方法结果相同 对于由多个函数的积 商 方幂构成的函数求导 都可以用1 3 中所用的方法 这种方法称为对数求导法 当然在1 3 中也可用4 中采用的换底方法 64 3 3基本导数公式 为了以后便于查找 现将前面所得到的基本初等函数的导数收列如下 它们称为基本导数公式 1 C 0 2 x x 1 3 ax axlna 特别 ex ex 65 4 特别 5 sinx cosx 6 cosx sinx 7 tanx sec2x 8 cotx csc2x 9 secx secxtanx 10 cscx cscxcotx 利用这些基本导数公式和各种求导法则 特别是可导函数的和 差 积 商及复合函数的求导法则 即可求出各种函数的导数 下面再举一些综合应用基本导数公式和求导法则的例题 66 例1求下列函数的导数 解1 67 例1求下列函数的导数 解2 68 例1求下列函数的导数 解3 本题也可以用对数求导法解 69 例1求下列函数的导数 解4 70 例2设f x x x 1 x 2 x 50 求f 0 解f x x 1 x 2 x 50 x x 2 x 3 x 50 x x 1 x 3 x 49 x 1 x 2 x 50 含因子x的项 所以f 0 1 2 3 50 0 50 71 例3设f u 可导 求下列函数的导数 1 y f lnx lnf x 2 y f x2 f arccosx 解1 2 72 例4设求y 解 73 例5设可导函数f x 是奇函数 证明 f x 是偶函数 证由假设 f x f x 两边对x求导 得f x x f x 所以 f x f x 即f x f x 从而f x 是偶函数 74 3 4高阶导数 在研究曲线的弯曲情况和变速直线运动速度的变化时 会遇到函数的导数对自变量的变化率 75 设s s t 0 t T 为直线运动的运动方程 则物体运动的速度v t s t 若要进一步研究速度随时间的变化情况 就要考虑v对t的变化率 即v对t的导数 该导数以a记之 它称为物体运动的加速度 所以可记为或s t 它称为路程函数s t 对t的二阶导数 如果运动是匀速的 即v是一个常数 则其加速度a 0 在自由落体的情况 其加速度a g 9 81cm s2 g称为重力加速度 76 一般地说 函数y f x 的导数y f x 仍然是x的函数 它再对x求导 即导数的导数 称为y或f x 对x的二阶导数 记为y 或f x 或或所以y y 或类似地 二阶导数y 作为x的函数 再对x求导 即二阶导数y 的导数 称为y对x的三阶导数 记为y 或f x 如此可以定义y对x的4阶导数 5阶导数 y对x的n阶导数记为y n 或f n x 或它表示y对x的n 1阶导数y n 1 的导数 所以y n y n 1 或与此相应 导数y 或f x 也可称为x的一阶导数 二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数 由此可见 求高阶导数就是对函数多次接连求导 所以 前面讲述的各种求导方法仍可运用 77 例1求下列函数的二阶导数 1 y ax b 2 y cosnx 3 y esinx 4 y lntanx 解1 y ax b a y 0 2 y cosnx nsinnx y n2cosnx 3 y esinx esinx sinx esinxcosx y esinxcosx cosx esinxsinx esinx cos2x sinx 4 78 例2设y x 求y n 解y x 1 y 1 x 2 用数学归纳法可以证明 y n 1 2 n 1 x n 特别 当 n时 即y xn 其n阶导数y n xn n n 例3设y x2 1 10 x9 x3 1 求y 30 解y作为x的多项式 其最高次项为x29 即y x29 低于29次的各项 故由例2 y 29 29 所以y 30 0 79 例4设y sinx 求y n 解如此下去 用数学归纳法可证即同理可证 80 例5设证明 y3y 1 0 证所以y3y 1 即y3y 1 0 81 3 5函数的微分 3 5 1 3 5 2 3 5 3 微分概念基本微分公式微分法则 82 函数的微分是一元函数微分学中另一个基本概念 它与函数的导数概念密切相关 并且在一元函数积分学中有重要应用 83 3 5 1微分概念先看一例 考虑边长为x的正方形 其面积为y 则y x2 设x在x0点有一个增量 x 这时面积的相应增量为 y x0 x 2 x02 2x0 x x 2 等式右边两项的几何意义如图3 3所示 当 x 很小时 2x0 x是 y的主要部分 x 2要比 x小很多 而2x0 x是 x的2x0倍 即是 x的线性函数 把x0看成常数 所以称它为 y的线性主部 当 x 0时 x 2 o x 即与 x相比是高阶无穷小 所以在计算 y时可以把 x 2忽略不计 即有y 2x0 x 2x0 x称为函数y x2在x0点的微分 图3 3 84 一般地说 有下列定义 定义设函数y f x 在x0点的一个邻域U x0 中有定义 x是x在x0点的增量 x0 x U x0 如果相应的函数增量 y f x0 x f x0 当 x 0时可表示为 y A x o x 3 10 其中A是仅依赖于x0而与 x无关的常数 o x 是比 x高阶的无穷小量 则称函数y f x 在点x0可微 并称A x为f x 在点x0相应于自变量 x的微分 记为dy x x0或df x x0 即dy x x0 A x 所以 函数在一点的微分就是函数在该点的增量的线性主部 85 随之自然会问 函数y f x 在什么条件下在点x0可微 即dy x x0 A x 其中的常数A是什么 定理3 5函数y f x 在x0点可微的充分必要条件是f x 在点x0可导 且有dy x x0 f x0 x 3 11 证若f x 在点x0可微 则由 3 10 式 有因o x 与 x相比是高阶无穷小 故当 x 0时从而这说明函数f x 在点x0可导 且其导数f x0 即为A 86 定理3 5函数y f x 在x0点可微的充分必要条件是f x 在点x0可导 且有dy x x0 f x0 x 3 11 续证反之 若f x 在点x0可导 即有极限则由2 4 1小节中关于极限与无穷小量的关系 有其中当 x 0时 0 故 y f x0 x a x 而当 x 0时即a x o x 这说明f x 在点x0可微 y的线性主部为f x0 x x的系数f x0 与 x无关 3 10 中的A f x0 这就证明了定理并得到公式 3 11 87 y A x o x 3 10 dy x x0 f x0 x 3 11 由于当f x x时 f x 1 故dy dx 1 x x 即自变量x的微分dx就是它的增量 x 所以 3 11 式可写成dy x x0 df x x0 f x0 dx 3 12 由 3 10 和 3 11 式可以得到计算函数增量的近似公式 y f x0 x f x0 f x0 x 3 13 或f x0 x f x0 f x0 x 3 13 88 微分的几何意义如图3 4所示 其中直线P0T是曲线C y f x 在点P0 x0 f x0 的切线 如果 x 0 y f x0 x f x0 0 则P0Q x PQ y RQ f x0 x dy x x0 PR y dy x x0 o x x 0 近似计算公式 3 13 说明 当 x很小时 PQ RQ 其差PR是P0Q的高阶无穷小 所以在点P0的邻近 为了计算PQ 可由切线P0T代替曲线C 此即通常所说的 以直代曲 P0QR在一元微分学中占有重要地位 称为微分三角形或特征三角形 它的两条直角边分别表示自变量的微分和函数的微分 图3 4 f x0 x f x0 f x0 x 3 13 89 在任意一点x 函数y f x 的微分dy y dx或df x f x dx 3 14 由 3 14 导数可以看成是函数的微分dy与自变量的微分dx之比 所以导数也称为 微商 即微分的商 例1求函数y sinx在点x 0和的微分 解dy sinx dx cosxdx 所以dy x 0 cos0 dx dx 90 例2求函数在点x 1的微分当 x 0 003时的值 解所以例3求下列函数的微分 1 ecosx 2 ln x x 0 解1 因为 ecosx ecosxsinx 故decosx ecosxsinxdx 91 例3求下列函数的微分 1 ecosx 2 ln x x 0 解2 因为故当x 0时 当x 0时 所以从而 92 例4求sin31 的近似值 解对函数y sinx 点应用近似公式 3 13 有 93 3 5 2基本微分公式由基本导数公式和微分与导数的关系式 3 14 可得下列基本微分公式 1 dC 0 2 dx x 1dx 3 dax axlna dx 特别 dex exdx 4 特别 5 dsinx cosxdx 6 dcosx sinxdx 7 dtanx sec2xdx 函数y f x 的微分dy y dx或df x f x dx 3 14 94 8 dcotx csc2xdx 9 dsecx secxtanxdx 10 dcscx cscxcotxdx 11 12 13 14 这些微分公式在积分运算中有重要应用 函数y f x 的微分dy y dx或df x f x dx 3 14 95 3 5 3微分法则由函数的求导法则可得到相应的微分法则 关于函数的和 差 积 商的微分法则 有d u v du dv d uv udv vdu 例如 从函数的商的求导法则由公式 3 14 和du u dx dv v dx 即有 函数y f x 的微分dy y dx或df x f x dx 3 14 类似地 可以证明另外两个微分公式 96 复合函数的求导法则在导数计算中有重要作用 从这个求导法则可以得到复合函数的微分法则 设y f u u g x 则对于复合函数y f g x 有所以dy y dx f u g x dx 1而对于函数u g x 其微分du g x dx 从而由 1 得dy f u du 2这说明 y作为自变量x的函数的微分 即 1 与y作为中间变量u的函数的微分 即 2 是相等的 这一性质称为微分形式不变性 也可称为复合函数微分法则 97 所以 若y f x u g x 则dy f u du f u g x dx 值得注意的是导数没有这种不变性 y对自变量x的导数与y对中间变量u的导数是不相等的 两者差一个因子这是在计算中微分比导数方便的地方 从理论上看也是其优越之处 所以在计算复合函数的导数时 务必注意是对自变量求导还是对中间变量求导 导数的记号反映了这个差别 而微分则没有这种差别 可以用同一个记号dy 98 例5求下列函数的微分 解1 设y acos2x u cos2x 则y au 所以dy dau aulna du acos2xlna dcos2x lna acos2xsin2xdx 2 设则y arctanu 所以 99 例5求下列函数的微分 解3 4 100 例6设函数f u 可微 求下列函数的微分 1 y f lnx 2 y ef x f ex 解1 设u lnx 则y f u 所以2 dy def x f ex ef x df ex ef x df x f ex ef x f ex dex ef x f x dx f ex ef x f ex exdx ef x f ex f x exf ex dx 101 例7 求解法1设则 102 例7 求解法2这可看成是求两个微分与d x2 之比 而所以 103 例8设函数y f x 在x 1点可导 证明 当 x 0时dy x 1与 x是同阶无穷小量 证因为所以这说明dy x 1与 x是同阶无穷小量 104 3 6导数和微分在经济学中的简单应用 3 6 1 3 6 2 边际分析弹性分析 105 导数和微分在经济学中有许多应用 下面主要介绍经济学中的边际分析和弹性分析 106 3 6 1边际分析定义1设y f x 是一个经济函数 其导数f x 称为f x 的边际函数 f x0 称为f x 在点x0的边际函数值 对于经济函数f x 设经济变量x在点x0有一个改变量 x 则经济变量y在y0 f x0 处有相应的改变量 y f x0 x f x0 若函数f x 在点x0可微 则 y dy x x0 f x0 x 假如 x 1 则 y f x0 这说明当x在x0点改变 一个单位 时 y相应地近似改变f x0 个单位 在实际应用中 经济学家常常略去 近似 而直接说y改变f x0 个单位 这就是边际函数值的含义 107 在将成本C 收益R 利润L仅考虑成产量q的函数的情况下 成本函数C q 的导数C q 称为边际成本 记为MC 即MC C q 收益函数R q 的导数R q 称为边际收益 记为MR 即MR R q 利润函数L q 的导数L q 称为边际利润 记为ML 即ML L q 由于L q R q C q 所以L q R q C q 即ML MR MC 108 一般地说 如果成本C 收益R和利润L都是变量x的函数 即C C x R R x L L x 则它们的导数C x R x L x 依次称为对变量x的边际成本 边际收益和边际利润 例1已知某产品的产量为q件时总成本为 百元 求q 900件时的边际成本 解故即MC 1 5 它说明当q从900件改变 增加或减少 1件时 成本要改变150元 109 例2设某公司生产某种产品的总成本函数C q 和收益函数R q 如图3