中考数学：旋转问题

1 中考数学 聚焦中考数学 聚焦 旋转问题旋转问题 旋转是新课标教材新增的内容 它是图形变换的重要手段之一 因此备受中考命题者 的青睐 图形的旋转问题已成为中考试题的一道美丽风景 很值得同学们关注 欣赏 一一 旋转角旋转角 例 1 如图 1 在等腰 Rt ABC 中 P 是斜边 BC 的中点 以 P 为顶点的直角的两边分别与 边 AB AC 交于点 E F 连接 EF 当 EPF 绕顶点 P 旋转时 点 E 不与 A B 重合 PEF 也始终是等腰直角三角形 请你说明理由 图 1 二二 旋转直线 线段 旋转直线 线段 2 如图 3 平行四边形 ABCD 中 AB AC AB 1 对角线 AC BD 交于 O 点 将直线 AC 绕点 O 顺时针旋转 分别交 BC AD 于点 E F 1 证明 当旋转角为 90 时 四边形 ABEF 是平行四边形 2 试说明在旋转过程中 线段 AF 与 EC 总保持相等 3 在旋转过程中 四边形 BEDF 可能是菱形吗 如果不能 请说明理由 如果能 说明理由并求出此时 AC 绕点 O 顺时针旋转的度数 图 3 图 4 3 如图 4 直角梯形 ABCD 中 AD BC AB BC AD 3 BC 5 将腰 DC 绕点 D 逆 时针方向旋转 90 至 DE 连接 AE 则 ADE 的面积是 A 1 B 2 C 3 D 4 三三 旋转三角 板 形旋转三角 板 形 2 4 如图 5 将 AOB 绕点 O 逆时针旋转 90 得到 若点 A 的坐标为 a b 则点的坐标为 图 5 5 已知 AOB 90 在 AOB 的平分线 OM 上有一点 C 将一个三角板的直角顶点与 C 重合 它的两条直角边分别与 OA OB 或它们的反向延长线 相交于点 D E 当三角板绕点 C 旋转到 CD 与 OA 垂直时 如图 6 1 易证 OD OE 当 三角板绕点 C 旋转到 CD 与 OA 不垂直时 在图 6 2 图 6 3 这两种情况下 上述结 论是否还成立 若成立 请给予证明 若不成立 线段 OD OE OC 之间又有怎样的数 量关系 请写出你的猜想 不需证明 图 6 四四 旋转矩形旋转矩形 6 如图 7 在平面直角坐标系 xOy 中 把矩形 COAB 绕点 C 顺时针旋转角 得到矩形 CFED 设 FC 与 AB 交于点 H 且 A 0 4 C 6 0 如图 7 图 7 图 8 1 当时 CBD 的形状是 2 当 AH HC 时 求直线 FC 的解析式 3 当时 如图 8 请探究 经过点 D 且以点 B 为顶点的抛物线 是否 经过矩形 CFED 的对称中心 M 交说明理由 五五 旋转正方形旋转正方形 7 如图 9 ABC 是等腰直角三角形 其中 CA CB 四边形 CDEF 是正方形 连接 AF BD 3 图 9 1 观察图形 猜想 AF 与 BD 之间有怎样的关系 并证明你的猜想 2 若将正方形 CDEF 绕点 C 按顺时针方向旋转 使正方形 CDEF 的一边落在 ABC 的内部 请你画出一个变换后的图形 并对照已知图形标记字母 题 1 中猜想的 结论是否仍然成立 若成立 直接写出结论 不必证明 若不成立 请说明理由 若 CD 边在 ABC 的内部时 如图 10 或若 CF 边在 ABC 的内部时 如图 11 六六 旋转半圆旋转半圆 8 如图 12 半圆 M 的直径 AB 为 20cm 现将半圆 M 绕着点 A 顺时针旋转 180 1 请你画出旋转后半圆 M 的图形 2 求出在整个旋转过程中 半圆 M 所扫过区域的面积 结果精确到 图 12 七七 旋转图案旋转图案 9 如图 14 将正方形图案绕中心 O 旋转 180 后 得到的图案是 图 14 八八 旋转抛物线旋转抛物线 10 把二次函数的图象抛物线绕顶点 P 旋转 180 求旋转后的二次函数 解析式 中考数学 聚焦中考数学 聚焦 旋转问题旋转问题 答案与解析答案与解析 4 一 旋转角 1 如图 1 在等腰 Rt ABC 中 P 是斜边 BC 的中点 以 P 为顶点的直角的两边分别与边 AB AC 交于点 E F 连接 EF 当 EPF 绕顶点 P 旋转时 点 E 不与 A B 重合 PEF 也始终是等腰直角三角形 请你说明理由 图 1 解析 解答此题必须变 动 为 静 如图 2 连接 PA 易知 PA PC 又 AB AC 1 C 45 由 EPF APC 90 得 2 3 而 PAE PCF ASA PE PF 故 PEF 始终是等腰直角三角形 图 2 二 旋转直线 线段 2 如图 3 平行四边形 ABCD 中 AB AC AB 1 对角线 AC BD 交于 O 点 将直线 AC 绕点 O 顺时针旋转 分别交 BC AD 于点 E F 1 证明 当旋转角为 90 时 四边形 ABEF 是平行四边形 2 试说明在旋转过程中 线段 AF 与 EC 总保持相等 3 在旋转过程中 四边形 BEDF 可能是菱形吗 如果不能 请说明理由 如果能 说明理由并求出此时 AC 绕点 O 顺时针旋转的度数 证明 1 当 AOF 90 时 AB EF 又 AF BE 四边形 ABEF 为平行四边形 2 相等 四边形 ABCD 为平行四边形 AO CO FAO ECO AOF COE AOF COE ASA AF EC 3 四边形 BEDF 可以是菱形 理由 如图 3 连接 BF DE 由 2 知 AOF COE 得 OE OF 5 EF 与 BD 互相平分 当 EF BD 时 四边形 BEDF 为菱形 在 Rt ABC 中 OA 1 AB 又 AB AC AOB 45 AOF 45 故 AC 绕点 O 顺时针旋转 45 时 四边形 BEDF 为菱形 图 3 3 如图 4 直角梯形 ABCD 中 AD BC AB BC AD 3 BC 5 将腰 DC 绕点 D 逆 时针方向旋转 90 至 DE 连接 AE 则 ADE 的面积是 A 1 B 2 C 3 D 4 图 4 解析 此题关键是求出 ADE 的高 于是作 DH BC 于 H EF AD 的延长线于 F 则 CH 由旋转的性质易证 DHC DFE 则 EF CH 2 故选 C 三 旋转三角 板 形 4 如图 5 将 AOB 绕点 O 逆时针旋转 90 得到 若点 A 的坐标为 a b 则点的坐标为 图 5 解析 要求的坐标 就是求 由旋转知识得 6 则 5 已知 AOB 90 在 AOB 的平分线 OM 上有一点 C 将一个三角板的直角顶点与 C 重合 它的两条直角边分别与 OA OB 或它们的反向延长线 相交于点 D E 当三角板绕点 C 旋转到 CD 与 OA 垂直时 如图 6 1 易证 OD OE 当 三角板绕点 C 旋转到 CD 与 OA 不垂直时 在图 6 2 图 6 3 这两种情况下 上述结 论是否还成立 若成立 请给予证明 若不成立 线段 OD OE OC 之间又有怎样的数 量关系 请写出你的猜想 不需证明 图 6 析证 本题是将三角板进行旋转 由特殊到一般 结论由不变到变 先提出结论 再 由学生操作实验猜出结论 然后加以证明 图 2 结论 过 C 分别 作 OA OB 的垂线 垂足分别为 P Q 如图 6 2 易证 CPD CQE DP EQ OP OD DP DQ OE 又 OP OQ 即 图 3 结论 四 旋转矩形 6 如图 在平面直角坐标系 xOy 中 把矩形 COAB 绕点 C 顺时针旋转角 得到矩形 CFED 设 FC 与 AB 交于点 H 且 A 0 4 C 6 0 如图 7 图 7 1 当时 CBD 的形状是 2 当 AH HC 时 求直线 FC 的解析式 7 3 当时 如图 8 请探究 经过点 D 且以点 B 为顶点的抛物线 是否 经过矩形 CFED 的对称中心 M 交说明理由 图 8 解析 这是一道旋转问题的综合题 它把图形与旋转 图形与坐标 坐标与函数有机 地结合起来 1 利用旋转的性质得 BC CD 易知 BCD 60 故 CBD 为正三角形 2 设 AH x 则 由题意得 在 Rt BHC 中 即 解得 设 把 C 6 0 代入 得 解得 3 抛物线顶点为 B 6 4 设 把点 D 0 0 代入得 8 依题可得 点 M 坐标为 8 3 把代入 得 y 3 故此抛物线经过矩形 CFED 的对称中心 M 五 旋转正方形 7 如图 9 ABC 是等腰直角三角形 其中 CA CB 四边形 CDEF 是正方形 连接 AF BD 图 9 1 观察图形 猜想 AF 与 BD 之间有怎样的关系 并证明你的猜想 2 若将正方形 CDEF 绕点 C 按顺时针方向旋转 使正方形 CDEF 的一边落在 ABC 的内部 请你画出一个变换后的图形 并对照已知图形标记字母 题 1 中猜想的 结论是否仍然成立 若成立 直接写出结论 不必证明 若不成立 请说明理由 析证 本题是一道实验推理性题目 主要考查同学们的观察 动手操作 逻辑推理和 探究等能力 1 猜想 AF BD 且 AF BD 理由 设 AF 与 DC 交点为 G BCD 90 ACD ACF 90 ACD BCD ACF 而 FC DC AC BC ACF BCD SAS AF BD AFC BDC 而 AFC FGC 90 FGC DGA BDC DGA 90 AF BD 故 AF BD 且 AF BD 2 结论 AF BD 且 AF BD 若 CD 边在 ABC 的内部时 如图 10 或若 CF 边在 ABC 的内部时 如图 11 图 10 9 图 11 六 旋转半圆 8 如图 12 半圆 M 的直径 AB 为 20cm 现将半圆 M 绕着点 A 顺时针旋转 180 1 请你画出旋转后半圆 M 的图形 2 求出在整个旋转过程中 半圆 M 所扫过区域的面积 结果精确到 图 12 解析 半圆 M 所扫过的区域是由半圆 M 和以 A 点为圆心 AB 长为半径的半圆两部 分组成的 找出这样的区域是解题的关键 1 画图如图 13 2 半圆 M 所扫过的面积 图 13 七 旋转图案