大学物理第四版下册课后题答案

习题习题 1111 11 1 直角三角形ABC的A点上 有电荷 C108 1 9 1 q B点上有电 荷 C108 4 9 2 q 试求C点的电场强度 设0 04mBC 0 03mAC 解 1 q 在 C 点产生的场强 1 1 2 0 4 AC q Ei r 2 q 在 C 点产生的场强 2 2 2 0 4 BC q Ej r C点的电场强度 44 12 2 7 101 8 10EEEij C点的合场强 224 12 3 24 10 V EEE m 方向如图 1 8 arctan33 733 42 2 7 11 2 用细的塑料棒弯成半径为cm50的圆环 两端间空隙为cm2 电量为C1012 3 9 的正电荷均匀分布在棒上 求圆心处电场强度的大 小和方向 解 棒长为 23 12lrdm 电荷线密度 91 1 0 10 q C m l 可利用补偿法 若有一均匀带电闭合线圈 则圆心处的合场强 为 0 有一段空隙 则圆心处场强等于闭合线圈产生电场再减去 md02 0 长的带电棒在该点产生的场强 即所求问题转化为求缺口 处带负电荷的塑料棒在O点产生的场强 解法 1 利用微元积分 2 0 1 cos 4 Ox Rd dE R 2 000 cos2sin2 444 O d Ed RRR 1 0 72V m 解法 2 直接利用点电荷场强公式 由于dr 该小段可看成点电荷 11 2 0 10qdC 则圆心处场强 11 91 22 0 2 0 10 9 0 100 72 4 0 5 O q EV m R 方向由圆心指向缝隙处 11 3 将一 无限长 带电细线弯成图示形状 设电荷均匀分布 电荷线密度为 四分之一圆弧AB的半径为R 试 求圆心O点的场强 j i 2cm O R x 解 以O为坐标原点建立xOy坐标 如图所示 对于半无限长导线A 在O点的场强 有 0 0 coscos 42 sinsin 42 Ax Ay E R E R 对于半无限长导线B 在O点的场强 有 0 0 sinsin 42 coscos 42 Bx B y E R E R 对于AB圆弧在O点的场强 有 2 0 00 2 0 00 cos sinsin 442 sin coscos 442 ABx AB y Ed RR Ed RR 总场强 0 4 Ox E R 0 4 O y E R 得 0 4 O Eij R 或写成场强 22 0 2 4 OxO y EEE R 方向45 11 4 一个半径为R的均匀带电半圆形环 均匀地带有电荷 电荷 的线密度为 求环心处O点的场强 E 解 电荷元 dq 产生的场为 2 0 4 d q d E R 根据对称性有 0 y dE 则 2 0 0 sin sin 4 x Rd EdEdE R 0 2R 方向沿x轴正向 即 0 2 Ei R 11 5 带电细线弯成半径为R的半圆形 电荷线密度 为 0sin 式中 0 为一常数 为半径R与x轴 所成的夹角 如图所示 试求环心O处的电场强度 解 如图 0 2 00 sin 44 d dl dE RR cos sin x y dEdE dEdE 考虑到对称性 有 0 x E o RX Y d dq Ed x y E 2 000 00 000 sin 1 cos2 sin 4428 y d d EdEdE RRR 方向沿y轴负向 11 6 一半径为R的半球面 均匀地带有电荷 电荷面密度为 求 球心O处的电场强度 解 如图 把球面分割成许多球面环带 环带宽为d l Rd 所带 电荷 2dqr d l 利用例 11 3 结论 有 33 2222 22 00 2 4 4 xdqrxdl dE xrxr 3 22 2 0 2cossin 4 sin cos RRRd dE RR 化简计算得 2 0 00 1 sin2 224 Ed 0 4 Ei 11 7 图示一厚度为d的 无限大 均匀带电平板 电荷 体密度为 求板内 外的场强分布 并画出场强随坐标 x变化的图线 即xE 图线 设原点在带电平板的中央平 面上 Ox轴垂直于平板 解 在平板内作一个被平板的中间面垂直平分的闭合圆柱面1 S 为高 斯面 当2 d x 时 由 1 2 S E dSES A 和 2qxS 有 0 x E 当2 d x 时 由 2 2 S E dSES A 和 2qdS 有 0 2 d E 图像见右 11 8 在点电荷q的电场中 取一半径为R的圆形平面 如 图所示 平面到q的距离为d 试计算通过该平面的E的通量 解 通过圆平面的电通量与通过与A为圆心 AB为半径 圆的平面 为周界的球冠面的电通量相同 先推导球冠的面积 如图 令球面的半径为r 有 22 Rdr 球冠面一条微元同心圆带面积为 2sindSrrd 球冠面的面积 20 0 cos 2sin2cos d r Srrdr xO r 0 2 d x E 0 2 d 2 d 2 d O d x O rsinr 2 2 1 d r r 球面面积为 2 4Sr 球面 通过闭合球面的电通量为 0 q 闭合球面 由 S S 球冠球面 球面球冠 22 00 1 1 1 22 dqqd r Rd 球冠 11 9 在半径为 R 的 无限长 直圆柱体内均匀带电 电荷体密度 为 求圆柱体内 外的场强分布 并作 E r 关系曲线 解 由高斯定律0 1 i S S E dSq A 内 考虑以圆柱体轴为中轴 半径为r 长为l的高斯面 1 当rR 时 2 0 2 r l rl E 有0 2 E r 2 当rR 时 2 0 2 R l rl E 则 2 0 2 R r E 即 0 2 0 2 2 r rR E R rR r 图见右 11 10 半径为1 R 和2 R 21 RR 的两无限长同轴圆柱面 单位长度 分别带有电量 和 试求 1 1 Rr 2 21 RrR 3 2 Rr 处各点的场强 解 利用高斯定律 0 1 i S S E dSq A 内 1 1 rR 时 高斯面内不包括电荷 所以 1 0E 2 12 RrR 时 利用高斯定律及对称性 有 2 0 2 l rl E 则 2 0 2 E r 3 2 rR 时 利用高斯定律及对称性 有 3 20rlE 则 3 0E E r R 0 2 R o 即 1 12 0 2 0 2 0 ErR ErRrR r ErR E 11 11 一球体内均匀分布着电荷体密度为 的正电荷 若保持电荷分布不变 在该球体中挖去半径为r的一个小 球体 球心为 O 两球心间距离dOO 如图所示 求 1 在球形空腔内 球心 O 处的电场强度 0 E 2 在球体内 P 点处的电场强度E 设 O O P三点在同一 直径上 且dOP 解 利用补偿法 可将其看成是带有电荷体密度为 的大球和带有 电荷体密度为 的小球的合成 1 以O为圆心 过 O 点作一个半径为d的高斯面 根据高斯 定理有 1 3 0 4 3 S E dSd A 0 0 3 d E 方向从O指向 O 2 过P点以O为圆心 作一个半径为d的高斯面 根据高斯 定理有 1 3 0 4 3 S E dSd A 1 0 3 P d E 方向从O指向P 过P点以 O 为圆心 作一个半径为d2的高斯面 根据高斯定 理有 2 3 0 4 3 S E dSr A 3 2 2 0 3 P r E d 12 3 2 0 34 PP r EEEd d 方向从O指向P 11 12 设真空中静电场E 的分布为E cxi 式中c为常量 求空间 电荷的分布 解 如图 考虑空间一封闭矩形外表面为高斯面 有 0 S E d ScxS A 由高斯定理 0 1 S S E d Sq A 内 y x z S o 0 x 设空间电荷的密度为 x 有 0 0 0 0 x xSdx cxS 00 0 00 xx x dxcdx 可见 x 为常数 0c 11 13 如图所示 一锥顶角为 的圆台 上下底面半径分别为1 R 和 2 R 在它的侧面上均匀带电 电荷面密度为 求顶点O的电 势 以无穷远处为电势零点 解 以顶点为原点 沿轴线方向竖直向下为x轴 在 侧面上取环面元 如图示 易知 环面圆半径为 tan 2 rx 环面圆宽 cos 2 d x d l 22tan 2 cos 2 d x dSr d lx 利用带电量为q的圆环在垂直环轴线上0 x 处电势的表达式 22 0 0 1 4 q U rx 环 有 2200 2tan 2 cos 1 2 tan 422 tan 2 d x x dUd x xx 考虑到圆台上底的坐标为 11cot 2 xR 22cot 2 xR U 2 1 0 tan 22 x x d x 2 1 cot 2 cot 02 tan 22 R R d x 21 0 2 RR 11 14 电荷量 Q 均匀分布在半径为 R 的球体内 试求 离球心r处 rR P 点的电势 解 利用高斯定律 0 1 S S E dSq A 内 可求电场的分布 1 rR 时 3 2 3 0 4 Qr r E R 内 有 3 0 4 Q r E R 内 2 rR 时 2 0 4 Q r E 外 有 2 0 4 Q E r 外 离球心r处 rR 的电势 R r rR UEdrEdr 外内 即 r x cos 2 dx dl P r R P o 32 00 44 R r rR QrQ Udrdr Rr 2 3 00 3 88 QQr RR 11 15 图示为一个均匀带电的球壳 其电荷体密度为 球壳内表 面半径为1 R 外表面半径为2 R 设无穷远处为电势零点 求空腔内 任一点的电势 解 当 1 rR 时 因高斯面内不包围电荷 有 1 0E 当 12 RrR 时 有 2 0 3 1 3 2 0 3 1 3 2 3 4 3 4 r Rr r Rr E 当 2 rR 时 有 2 0 3 1 3 2 2 0 3 1 3 2 3 3 4 3 4 r RR r RR E 以无穷远处为电势零点 有 2 12 23 R RR UEd rE d r 2 R dr r RR dr r Rr R R 2 0 3 1 3 2 2 0 3 1 3 3 3 2 1 2 2 1 2 2 0 RR 11 16 电荷以相同的面密度 分布在半径为 1 10rcm 和 2 20rcm 的两 个同心球面上 设无限远处电势为零 球心处的电势为 V300 0 U 1 求电荷面密度 2 若要使球心处的电势也为零 外球面上电荷面密度 为多少 21212 0 mNC1085 8 解 1 当 1 rr 时 因高斯面内不包围电荷 有 1 0E 当 12 rrr 时 利用高斯定理可求得 2 1 2 2 0 r E r 当 2 rr 时 可求得 22 12 3 2 0 rr E r 2 12 023 r rr UEd rEd r 2 12 222 112 22 00 r rr rrr d rd r rr 21 0 rr 那么 29 3 12 21 00 1085 8 1030 3001085 8 mC rr U 2 设外球面上放电后电荷密度 则有 0120 0Urr 1 2 2 r r 则应放掉电荷为 2 2 22 3 4 4 2 qrr 12 4 3 14 8 85 10300 0 2 9 6 67 10 C 1 r O 2 r 11 17 如图所示 半径为R的均匀带电球面 带有电荷q 沿某一 半径方向上有一均匀带电细线 电荷线密度为 长度为l 细线左 端离球心距离为0 r 设球和线上的电荷分布不受相互作用影响 试 求细线所受球面电荷的电场力和细线在该电场中的电势能 设无穷 远处的电势为零 解 1 以O点为坐标原点 有一均匀带电细线 的方向为x轴 均匀带电球面在球面外的场强分布为 2 0 4 q E r rR 取细线上的微元 dq dldr 有 dF Edq 0 0 2 00 00 44 rl r qqlr Fdr xr rl r 为r 方向上的单位矢量 2 均匀带电球面在球面外的电势分布为 0 4 q U r rR 为电势零点 对细线上的微元dq dr 所具有的电势能为 0 4 q dWdr r 0 0 0 000 ln 44 rl r rlqdrq W rr 11 18 一电偶极子的电矩为p 放在场强为E的匀强电场中 p与 E之间夹角为 如图所示 若将此偶极子绕通过其中心且垂直于p E平面的轴转 180 外力需作功多少 解 由功的表示式 d A Md 考虑到 M pE 有 sin2cosApEdpE 11 19 如图所示 一个半径为R的均匀带电圆板 其电荷面密度为 0 今有一质量为m 电荷为 q 的粒子 q 0 沿圆板轴线 x轴 方向向圆板运动 已知在距圆心O 也是x轴原点 为b的位置上时 粒子的速度为 0 v 求粒子击中圆板时的速度 设圆板 带电的均匀性始终不变 解 均匀带电圆板在其垂直于面的轴线上 0 x 处产生的 电势为 22 00 0 2 URxx 那么 22 0 2 ObOb UUURbRb 由能量守恒定律 22222 00 0 111 2222 Ob q m vmvqUmvRbRb 有 22 0 2 0 bRbR m q vv 思考题 11 11 1 两个点电荷分别带电q和 q2 相距l 试问将第三个点电荷放 在何处它所受合力为零 答 由 22 00 2 44 qQqQ xlx 解得 21 xl 即离点电荷q的距离 为 21 l 11 2 下列几个说法中哪一个是正确的 A 电场中某点场强的方向 就是将点电荷放在该点所受电场力 的方向 B 在以点电荷为中心的球面上 由该点电荷所产生的场强处处 相同 C 场强方向可由 q FE 定出 其中q为试验电荷的电量 q可正 可负 F为试验电荷所受的电场力 D 以上说法都不正确 答 C 11 3 真空中一半径为R的的均匀带电球面 总电量为 q q 0 今在球面面上挖去非常小的一块面积 S 连 同电荷 且假设不影响原来的电荷分布 则挖去S 后 球心处的电场强度大小和方向 答 题意可知 2 0 4 q R 利用补偿法 将挖去部分 看成点电荷 有 2 0 4 S E R 方向指向小面积元 11 4 三个点电荷1 q 2 q 和 3 q 在一直线上 相距均为R2 以1 q 与 2 q 的中心O作一半径为R2的球面 A为球面与直线的一个交点 如 图 求 1 通过该球面的电通量 SE d 2 A点的场强A E 解 1 12 0 S qq E dS A 2 2 0 3 2 0 2 2 0 1 44 3 4R q R q R q EA 11 5 有一边长为a的正方形平面 在其中垂线上距中 心O点2 a处 有一电荷为q的正点电荷 如图所示 则通过该平面 的电场强度通量 为多少 解 设想一下再加 5 个相同的正方形平面将q围在正方体的中心 通过此正方体闭合外表面的通量为 0 q 闭合 那么 通过该平面的电场强度通量为 0 6 q 11 6 对静电场高斯定理的理解 下列四种说法中哪一个是正确的 A 如果通过高斯面的电通量不为零 则高斯面内必有净电荷 B 如果通过高斯面的电通量为零 则高斯面内必无电荷 C 如果高斯面内无电荷 则高斯面上电场强度必处处为零 D 如果高斯面上电场强度处处不为零 则高斯面内必有电荷 答 A 11 7 由真空中静电场的高斯定理0 1 S E dSq A 可知 A 闭合面内的电荷代数和为零时 闭合面上各点场强一定为 零 B 闭合面内的电荷代数和不为零时 闭合面上各点场强一定都 不为零 C 闭合面内的电荷代数和为零时 闭合面上各点场强不一定都 为零 D 闭合面内无电荷时 闭合面上各点场强一定为零 答 C 11 8 图示为一具有球对称性分布的静电场的rE 关 系曲线 请指出该静电场是由下列哪种带电体产生的 A 半径为R的均匀带电球面 B 半径为R的均匀带电球体 C 半径为R 电荷体密度 Ar A为常数 的非均匀带电球体 D 半径为R 电荷体密度 rA A为常数 的非均匀带电球体 答 D 11 9 如图 在点电荷 q 的电场中 选取以 q 为中心 R 为半径的 球面上一点 P 处作电势零点 则与点电荷 q 距离为 r 的 P 点的电势 为 A r q 0 4 B Rr q11 4 0 C Rr q 0 4 D rR q11 4 0 答 B 11 10 密立根油滴实验 是利用作用在油滴上的电场力和重力平衡 而测量电荷的 其电场由两块带电平行板产生 实验中 半径为r 带有两个电子电荷的油滴保持静止时 其所在电场的两块极板的电 势差为12 U 当电势差增加到 412 U 时 半径为 2r的油滴保持静止 则该油滴所带的电荷为多少 解 gr q d U 312 3 4 gr q d U 312 2 3 44 联立有 eqq42 11 11 设无穷远处电势为零 则半径为R的均匀带电球体产生的电 场的电势分布规律为 图中的 0 U 和b皆为常量 答 C 11 12 无限长均匀带电直线的电势零点能取在无穷远吗 答 不能 见书中例 11 12 大学物理第大学物理第 1414 章课后习题章课后习题 14 1 如图所示的弓形线框中通有电流 求圆心处的磁感应强度 IOB 解 圆弧在 O 点的磁感应强度 方向 00 1 46 II B RR A 直导线在 O 点的磁感应强度 方向 00 00 2 0 3 sin60sin 60 4cos602 II B RR 总场强 方向 0 31 23 I B R 14 2 如图所示 两个半径均为 R 的线圈平行共轴放置 其圆心 O1 O2相距为 a 在两线 圈中通以电流强度均为 I 的同方向电流 1 以 O1O2连线的中点 O 为原点 求轴线上坐标为 x 的任意点 的磁感应强度大小 2 试证明 当时 O 点处的磁场最为均匀 aR 解 见书中载流圆线圈轴线上的磁场 有公式 2 0 3 22 2 2 IR B Rz 1 左线圈在 x 处点产生的磁感应强度 P 2 0 1 3 22 2 2 2 P IR B a Rx 右线圈在 x 处点产生的磁感应强度 P 2 0 2 3 22 2 2 2 P IR B a Rx 和方向一致 均沿轴线水平向右 1P B 2P B 点磁感应强度 P 12PPP BBB 2 33 0 2222 22 222 IR aa RxRx 2 因为随变化 变化率为 若此变化率在处的变化最缓慢 则 O 点处 P Bx dB dx 0 x 的磁场最为均匀 下面讨论 O 点附近磁感应强度随变化情况 即对的各阶导数进行x P B 讨论 对求一阶导数 B dB dx 2 55 0 2222 22 3 22222 IR aaaa xRxxRx 当时 可见在 O 点 磁感应强度有极值 0 x 0 dB dx B 对求二阶导数 B 2 2 ddBd B dx dxdx 22 2 0 5757 22222222 2222 5 5 3 11 22 2 2222 aa xx IR aaaa RxRxRxRx 当时 0 x 2 0 2 x d B dx 22 2 07 22 2 3 2 aR IR a R 可见 当时 O 点的磁感应强度有极小值 aR 2 0 2 0 x d B dx B 当时 O 点的磁感应强度有极大值 aR 2 0 2 0 x d B dx B 当时 说明磁感应强度在 O 点附近的磁场是相当均匀的 可看成aR 2 0 2 0 x d B dx B 匀强磁场 利用此结论 一般在实验室中 用两个同轴 平行放置的匝线圈 相对距离等于线圈N 半径 通电后会在两线圈之间产生一个近似均匀的磁场 比长直螺线管产生的磁场方便实 验 这样的线圈叫亥姆霍兹线圈 14 3 无限长细导线弯成如图所示的形状 其中部分是在cxoy 平面内半径为的半圆 试求通以电流时点的磁感应强度 RIO 解 a 段对 O 点的磁感应强度可用求得 0 S B d lI A 有 0 4 a I B R 0 4 a I Bj R b 段的延长线过点 O0 b B c 段产生的磁感应强度为 00 44 c II B RR 0 4 c I Bk R 则 O 点的总场强 方向如图 00 44 O II Bjk RR 14 4 如图所示 半径为 R 的木球上绕有密集的细导线 线圈平面彼此平行 且以单层线 圈均匀覆盖住半个球面 设线圈的总匝数为 N 通过线圈的电流为 I 求球心 O 的磁感强 度 解 从 O 点引出一根半径线 与水平方向呈角 则有水平投影 圆环半径 取微元 cosxR sinrR dlRd 有环形电流 2NI dId 利用 有 B 2 0 22 3 2 2 IR Rx dB 2 0 22 3 2 2 r dI rx 22 0 22223 2 sin sincos N IRd RR 2 0 sinN Id R B 0 2 2 0 sin N I d R 0 2 0 1 cos2 2 N I d R 0 4 N I R 14 5 无限长直圆柱形导体内有一无限长直圆柱形空腔 如图所示 空腔与导体的两轴线 平行 间距为 若导体内的电流密度均匀为 的方向平行于轴线 求腔内任意点的aj j 磁感应强度 B 解 采用补偿法 将空腔部分看成填满了的电流 那么 j 以导体的轴线为圆心 过空腔中任一点作闭合回路 利用 有 0 S B d lI A 2 10 2 R Bj R 0 1 2 j BR 同理 还是过这一点以空腔导体的轴线为圆心作闭合回路 有 2 20 2 r Bjr 0 2 2 j Br 由图示可知 Rra 那么 12 BBB 00 22 jj Rr 0 1 2 ja 14 6 在半径的无限长半圆柱形金属片中 有电流自下而上通过 如图所cm1 RA5 I 示 试求圆柱轴线上一点处的磁感应强度的大小 P 解 将半圆柱形无限长载流薄板细分成宽为的长直电流 dlRd 有 利用 dld dI R 0 S B d lI A 在 P 点处的磁感应强度为 00 2 22 dIId dB RR 而因为对称性 0 2 sinsin 2 x I dBdBd R 0 y B 那么 00 5 22 0 sin6 37 10 2 xx II BBdBdT RR 14 7 如图所示 长直电缆由半径为 R1的导体圆柱与同轴的内外半径分别为 R2 R3的导体 圆筒构成 电流沿轴线方向由一导体流入 从另一导体流出 设电流强度 I 都均匀地分布 在横截面上 求距轴线为 r 处的磁感应强度大小 r0 解 利用安培环路定理分段讨论 0 S B d lI A O O O P O P a R r 1 当时 有 1 0rR 2 10 2 1 2 r I Br R 0 1 2 1 2 Ir B R 2 当时 有 12 RrR 20 2BrI 0 2 2 I B r 3 当时 有 23 RrR 22 2 30 22 32 2 rR BrII RR 22 3 2 0 3 22 3 2 I B Rr Rr R 4 当时 有 3 rR 40 2 BrII 4 0B 则 0 2 1 0 1 12 22 3 23 22 32 3 0 0 0 2 2 2 rR RrR B Rr RrR Ir R I r Rr r I R R 14 8 一橡皮传输带以速度匀速向右运动 如图所示 橡皮带上均匀带有电荷 电荷面v 密度为 1 求像皮带中部上方靠近表面一点处的磁感应强度的B 大小 2 证明对非相对论情形 运动电荷的速度及它所产生的v 磁场和电场之间满足下述关系 式中 B E 2 1 BvE c 00 1 c 解 1 如图 垂直于电荷运动方向作一个闭合回路 考虑到橡皮带上等效电流abcda 密度为 橡皮带上方的磁场方向水平向外 橡皮带下方的磁场方向水平向里 根iv 据安培环路定理有 0 abcd B dlLi A 0 2BLLv 磁感应强度的大小 B 0 2 v B 2 非相对论情形下 匀速运动的点电荷产生的磁场为 0 2 4 qvr B r 点电荷产生的电场为 2 0 1 4 q Er r 0 00 222 0 11 44 qqvr vEvrB crr a b c d L 即为结论 式中 2 1 BvE c 00 1 c 14 9 一均匀带电长直圆柱体 电荷体密度为 半径为 若圆柱绕其轴线匀速旋转 角速度为 R 求 1 圆柱体内距轴线处的磁感应强度的大小 r 2 两端面中心的磁感应强度的大小 解 1 考察圆柱体内距轴线处到半径的圆环等效电流 rR 2dqrLdr dILrdr tT 22 1 2 R r IL rdrL Rr 选环路如图所示 abcd 由安培环路定理 0 S B d lI A 有 22 0 1 2 B LL Rr 22 0 2 BRr 2 由上述结论 带电长直圆柱体旋转相当于螺线管 端面的磁感应强度是中间磁感应强 度的一半 所以端面中心处的磁感应强度 2 0 4 R B 端面中心 14 10 如图所示 两无限长平行放置的柱形导体内通过等值 反向电流 电流在两个阴I 影所示的横截面的面积皆为 两圆柱轴线间的距离 试求两导体中部真空部SdOO 21 分的磁感应强度 解 因为一个阴影的横截面积为 那么面电流密度为 S 利用补偿法 将真空部分看成通有电流 设 I i S i 其中一个阴影在真空部分某点处产生的磁场为 距离P 1 B 为 另一个为 有 1 r 2 B 2 r 12 rrd 利用安培环路定理可得 2 01 01 1 1 22 I r I r S B rS 2 02 02 2 2 22 I r I r S B rS 则 01 11 2 I r Br S 02 22 2 I r Br S 00 121 12 2 22 II d BBBr rr rd SS 即空腔处磁感应强度大小为 方向向上 0 2 I d B S 14 11 无限长直线电流与直线电流共面 几何位置如图所示 1 I 2 I 试求直线电流受到电流磁场的作用力 2 I 1 I 解 在直线电流上任意取一个小电流元 2 IdlI2 此电流元到长直线的距离为 无限长直线电流x 1 I 在小电流元处产生的磁感应强度为 r ab dc L L d P 1 O 2 O 2 r 1 r 2 r 1 r d 0 1 2 I B x 再利用 考虑到 有 dFIBdl 0 cos60 dx dl 0 1 2 0 2cos60 I I dx dF x 0 1 20 1 2 0 ln 2cos60 b a I II I dxb F xa 14 12 在电视显象管的电子束中 电子能量为 这个显像管的取向使电子沿水12000eV 平方向由南向北运动 该处地球磁场的垂直分量向下 大小为 问 5 5 5 10BT 1 电子束将偏向什么方向 2 电子的加速度是多少 3 电子束在显象管内在南北 方向上通过时将偏转多远 20cm 解 1 根据可判断出电子束将偏向东 fqvB 2 利用 有 2 2 1 mvE m E v 2 而 maqvBf 114 1028 6 2 sm m E m qB m qvB a 3 22 11 3 22 L yatamm v 14 13 一半径为的无限长半圆柱面导体 载有与轴线上的R 长直导线的电流等值反向的电流 如图所示 试求轴线上长I 直导线单位长度所受的磁力 解 设半圆柱面导体的线电流分布为 1 I i R 如图 由安培环路定理 电流在点处产生的磁感应强度为 iO 0 2 i dBRd R 可求得 001 2 0 sin 2 Oy iRI BdBd RR 又 dFIdlB 故 0 1 2 2 2 O I I dFB I dldl R 有 而 0 1 2 2 I I dF f dlR 21 II 所以 2 0 2 I dF f dlR 14 14 如图 14 55 所示 一个带有电荷 的粒子 q0q 以速度平行于均匀带电的长直导线运动 该导线的线电荷v 密度为 并载有传导电流 试问粒子要以多大 0 I 的速度运动 才能使其保持在一条与导线距离为的平行线上 d 解 由安培环路定律知 0 l B d lI A B 电子束方向 A 南北 O y dB 电流在处产生的磁感应强度为 方向 Iq 0 2 I B d 运动电荷受到的洛仑兹力方向向左 大小 q 0 2 q vI FqvB d 洛 同时由于导线带有线电荷密度为 在处产生的电场强度可用高斯定律求得为 q 受到的静电场力方向向右 大小 0 2 E d q 0 2 q F d 电 欲使粒子保持在一条与导线距离为的平行线 需 dFF 洛电 即 可得 0 2 qvI d 0 2 q d 00 v I 14 15 截面积为 密度为的铜导线被弯成正方形的三边 S 可以绕水平轴转动 如图 14 53 所示 导线放在方向竖O O 直向上的匀强磁场中 当导线中的电流为时 导线离开原来I 的竖直位置偏转一个角度而平衡 求磁感应强度 解 设正方形的边长为 质量为 amaSm 平衡时重力矩等于磁力矩 由 磁力矩的大小 m MpB 202 sin 90 cosMBIaBIa 重力矩为 sin2sin2sin 2 a Mmgamgmga 平衡时 2cos 2sinBIamga 22 tantan mggS B IaI 14 16 有一个形导线 质量为 两端浸没在水银槽中 Um 导线水平部分的长度为 处在磁感应强度大小为的均匀lB 磁场中 如图所示 当接通电源时 导线就会从水银槽中U 跳起来 假定电流脉冲的时间与导线上升时间相比可忽略 试由导线跳起所达到的高度计算电流脉冲的电荷量 hq 解 接通电流时有 而 FBIl dv mBIl dt dq I dt 则 积分有 mdvBldq 0 vm mv qdv BlBl 又由机械能守恒 有 mghmv 2 2 1 ghv2 2 mvm qgh BlBl 14 17 半径为的半圆形