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义务教育数学课程标准解读 2011版 走进初中数学新课标 数学基础教育中 四基 的实践研究 南江县实验中学曾建东 南江县实验中学 2013 04 20 交流提纲 一 对 新课标 2011年版 的整体把握 宏观研读 二 数学基础教育中 四基 的实践研究 微观研读 三 初中数学教材整体研读 华东师大版 一 新课标 2011年版 的宏观研读 实验中学 义务教育数学课程标准 2011年版 前言 课程目标 课程内容 实施建议 课程性质 课程基本理念 课程设计思路 核心理念 课程内容 教学活动 学习评价 信息技术 知识技能 数学思考 问题解决 情感态度 总目标 学段目标 数与代数 图形与几何 统计与概率 综合与实践 1 数学定义 的修改 课标 实验稿 数学是人们对客观世界定性把握和定量刻画 逐渐抽象概括 形成方法和理论 并进行广泛应用的过程 课标 2011版 数学是研究数量关系和空间形式的科学 一 核心理念 的修改 2 核心理念 的修改 课标 实验稿 人人学有价值的数学 人人都能获得必需的数学 不同的人在数学上得到不同的发展 课标 2011版 人人都能获得良好的数学教育 不同的人在数学上得到不同的发展 二 课程目标 的修改 1 明确提出 四基 2 明确提出 四能 3 明确提出数学学习的习惯了解数学的价值 提高学习数学的兴趣 增强学好数学的信心 养成良好的学习习惯 认真勤奋 独立思考 合作交流 反思质疑 1 四个学习领域部分名称的修改 并对四个方面的内容做了明确的阐述 课标 实验稿 数与代数空间与图形统计与概率实践与综合应用 课标 2011版 数与代数图形与几何统计与概率综合与实践 三 设计思路 的修改 数学新课程标准 实验稿 2011年版 代数设计框架 统计与概率 空间与图形图形与几何 函数 方程与不等式 数与代数 数与式 图形与证明 数学新课程标准 实验稿 几何设计框架 统计与概率 数与代数 图形与坐标 图形与变换 图形的认识 数学新课程标准 2011年版 几何设计框架 数与代数 图形的变化 图形与坐标 图形与几何 图形的性质 统计与概率 概率 数学新课程标准 实验稿 统计概率设计要点 数与代数 统计 数学新课程标准 2011年版 统计概率设计要点 数与代数 事件发生的概率 抽样与数据分析 观念 2 明确提出 十个核心概念 的修改 6个 10个 课程总目标 数学核心概念 数学知识与技能 课程目标 知识技能与核心概念之间的关系 1 删减的主要内容 能对含有较大数量的信息作出合理的解释与推断 了解有效数字的概念 能够根据具体问题中的数量关系 列出一元一次不等式组 解决简单的问题 与梯形有关的内容 探索并了解圆与圆的位置关系 关于影子 视点 视角 盲区等内容 以及对雪花曲线和莫比乌斯带等图形的欣赏等 关于镜面对称的要求 极差 频数折线图等内容 18 四 课程内容 的修改 2 适当增加的内容 最简二次根式和最简分式的概念 能用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实根和两个实根是否相等 会比较线段的大小 理解线段的和 差 以及线段中点的意义 了解平行于同一条直线的两条直线平行 会按照边长的关系和角的大小对三角形进行分类 了解并证明圆内接四边形的对角互补 了解正多边形的概念及正多边形与圆的关系 尺规作图 过一点作已知直线的垂线 已知一直角边和斜边作直角三角形 作三角形的外接圆 内切圆 作圆的内接正方形和正六边形 能用计算器处理较为复杂的数据 理解平均数的意义 能计算中位数 众数 19 3 选学内容 标注 主要有 能解简单的三元一次方程组 知道给定不共线三点的坐标可以确定一个二次函数 了解一元二次方程的根与系数的关系 了解平行线性质定理的证明 探索并证明垂径定理 垂直于弦的直径平分弦以及弦所对的两条弧 探索并证明切线长定理 过圆外一点所画的圆的两条切线的长相等 20 4 要求上有变化的内容 1 数学基础教育中的 双基 是指 数学的基本概念 基本公式 基本运算 基本性质 基本法则 基本程式 基本定理 基本作图 基本推理 基本语言 基本方法 基本操作 基本技巧 等等 2 双基 为什么要发展为 四基 一是与三维目标 知识与技能 过程与方法 和 情感态度与价值观 的要求 二是仅有 双基 教学常常是 以本为本 以人为本 的教育理念凸显不够 三是仅有 双基 难以培养创新性人才 24 二 数学基础教育中 四基 的实践研究 微观研读 一 数学基础教育中的 双基 二 数学的基本思想与方法 1 数学的基本思想主要有 数学抽象的思想 数学推理的思想 数学模型的思想 数学审美的思想 数学家华罗庚先生说 数无形时不直观 形无数时难入微 由上述数学的 基本思想 演变 派生 发展出来的数学思想还有很多 如由 数学抽象的思想 派生出来的可以有 分类的思想 集合的思想 变中有不变 的思想 等等 如由 数学推理的思想 派生出来的可以有 归纳的思想 演绎的思想 公理化思想 数形结合的思想 转换化归的思想 联想类比的思想 逐步逼近的思想 等等 如由 数学建模的思想 派生出来的可以有 函数的思想 方程的思想 随机的思想 统计的思想 等等 如由 数学审美的思想 派生出来的可以有 变换 对称 的思想 简洁的思想 统一的思想 等等 25 2 数学方法 在用数学思想解决具体问题时 对某一类问题反复推敲 会逐渐形成某一类程序化的操作 就构成了 数学方法 数学方法也是具有层次的 处于较高层次的 如有 逻辑推理的方法 合情推理的方法 变量替换的方法 等价变形的方法 等等 处于较低一些层次的数学方法 如有 分析法 综合法 穷举法 反证法 抽样法 构造法 待定系数法 数学归纳法 递推法 消元法 降幂法 换元法 坐标法 配方法 列表法 图像法 等等 26 3 数学思想与数学方法的区别 数学思想 往往是观念的 全面的 普遍的 深刻的 一般的 内在的 概括的 而 数学方法 往往是操作的 局部的 特殊的 表象的 具体的 程序的 技巧的 数学思想常常通过数学方法去体现 数学方法又常常反映了某种数学思想 数学思想是数学教学的核心和精髓 教师在讲授数学方法时应该努力反映和体现数学思想 让学生体会和领悟数学思想 提高学生的数学素养 27 例1小明的父母出去散步 从家走了20分钟到一个离家900米的报亭 母亲随即按原速返回 父亲在报亭看了10分钟报纸后 用15分钟返回家 下面的图形中哪一个表示父亲离家后的时间与距离之间的关系 哪一个图形是表示母亲的行走过程 28 数形结合的思想 4 教学中如何渗透数学思想方法 典型例题中蕴含的数学思想 例2如图 设计两个不同问题情境 使情境中出现的一对变量 满足图示的函数关系 结合图象 讲出这对变量的变化过程的实际意义 29 数形结合的思想 例3 每两个人握1次手 那么3个人共握几次手 4个人呢 n个人呢 O An 数形结合的思想 O 也可以把 人 抽象成 点 两人握1次手 抽象成 两点之间连接一条线段 那么借助图形的直观就能简明地解决问题 如图 对于n点中的任何一个点 它与其它的 n 1 个点共可连接 n 1 条线段 因而n个点共可连接n n 1 条线段 因为两点之间有且只有一条线段 线段AB与线段BA是同一条线段 所以共可连接1 2n n 1 条线段 函数的思想 例4 某书定价8元 如果一次购买10本以上 超过10本部分打8折 分析并表示购书数量与付款金额之间的函数关系 说明 这是一个分段函数 函数的三种表示法均适用于这个例子 一般来说 列表法适用于变量取值是离散的情况 分段函数应当画图 并且关注分段点处函数的变化情况 可以分组讨论三种方法 然后让学生分析比较 32 数学推理的思想 例5 探索并了解 过圆外一点所画的圆的两条切线的长相等 说明 通过探索和了解此结论的证明 帮助学生体验发现结论到验证结论的过程 教学中可以参考安排如下的过程 1 发现结论 在透明纸上画出如图 设PA PB是 O的两条切线 A B是切点 让学生操作 沿直线OP将图形对折 启发学生思考 或者PA PB APO BPO 这是通过实例发现图形性质的过程 启发学生由特殊到一般 通过合情推理推测出切线长定理的结论 组织学生交流 学生可以发现 33 2 证明结论的正确性 如图19 2 连接OA和OB 因为PA和PB是 O的切线 则 PAO PBO 90 即 POA和 POB均为直角三角形 又因为OA OB和OP OP 则 POA与 POB全等 于是有PA PB APO BPO 这是通过演绎推理证明图形性质的过程 由此可见 合情推理与演绎推理是相辅相成的两种推理形式 都是研究图形性质的有效工具 上述证明过程没有采用形式化的三段论 但有利于初学者把握证明的条理和说理的逻辑 34 典型课例中渗透数学思想 对称的思想符号表示的方法数学推理的思想 变中有不变 的思想 35 课例1 垂直 七年级上册 对称的思想 示范 两条直线相交 交角逐渐变大的过程 两条直线相交 交角变大为90 时 出现对称的情况 并且4个角都是90 这时称为两条直线垂直 两条直线垂直 一定是 互相 垂直 36 符号表示的方法 记为AB CD 或者a b形象 简洁符号 的读法回忆上节课 平行 中的符号 采用适当的符号来表述 在数学中是常见的 37 数学推理的思想 在实践上 一定要知道相交的4个角都是直角 才能判断 两条直线垂直 吗 那么 从相交的4个角中有一个是直角 如何推出其他三个角也是直角 对顶角相等 平角减直角 直角数学中的结论 不能仅仅是 看出来的 必须是 证出来的 这是数学的游戏规则 38 变中有不变 的思想 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中 垂线段最短 画出 直线外一点与直线上各点连接的多条线段 与垂线段比较长度 各个线段在变化 但是 变中有不变 的是 总是垂线段最短 这是 看出来的 能否 证出来 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中 垂线段最短 如何证明 三角形大角对大边 直角大于锐角 39 课例2 二元一次方程组的图像解法 八年级 有限与无限的思想数形结合的思想一一对应的思想方程的思想 40 有限与无限的思想 你会解二元一次方程x y 5 0吗 列表 给出 解集合 由许多 有序数对 组成 这种 不定方程 一般都有无穷多解 41 数形结合的思想 你能在直角坐标系中标出以上述方程的解为坐标的点吗 这些点的集合构成什么图形 联系已经学过的一次函数的图像 是直线 数形结合 我们可以把求出该直线称为上述方程的图像解法 数形结合 我们能否想象出二元一次方程组的图像解法 两条直线交点的坐标是该方程组的解 形 数 42 一一对应的思想 二元一次方程的解对应着一条直线有一个二元一次方程 就有一条直线不同的二元一次方程 就有不同的直线这就是说 二元一次方程与直线一一对应 43 解方程的思想 凡是讨论解方程的内容 都需要讨论以下三点 该方程有没有解 如果有解 有多少解 解的表示形式如何 每次课上遇到解方程的内容 都重复说这三句话 潜移默化地 学生对于 解方程 的素养 就慢慢培养出来了 今天讨论的二元一次方程组 无解 有唯一解 有无穷多解的情况 在图像上的反映如何 44 教材各章中凸显的数学思想 华师版七年级教材2012年版 在代数部分利用 云图 几何部分利用 读一读 栏目 突出数学思想与方法 并在各章小结 要点 中进一步强化 第3章 整式的加减 突出 从特殊到一般 的方法 见七年级上册91页 云图 第4章 图形的初步认识 突出 抽象 的思想 见七年级上册139页 读一读 第5章 相交线和平行线 突出 推理 的方法 见七年级上册172页 读一读 在第6章 一元一次方程 突出 模型 的思想 在第7章 一次方程组 突出 化归 的思想 见七年级下册32 38页 云图 第8章 一元一次不等式 突出 类比 的思想 第9章 多边形 突出 归纳推理 的方法 见七下85页 读一读 第10章 轴对称 平移与旋转 突出 变换 的思想 见七下133页 读一读 三 数学的基本活动经验可以按不同的标准分成若干类型 比如 有的学者把它分为如下四种 直接的活动经验 间接的活动经验 设计的活动经验和思考的活动经验 1 直接的活动经验是与学生日常生活直接联系的数学活动中所获得的经验 如购买物品 校园设计等 2 间接的活动经验是学生在教师创设的情景 构建的模型中所获得的数学经验 如鸡兔同笼 顺水行舟等 3 设计的活动经验是学生从教师特意设计的数学活动中所获得的经验 如随机摸球 地面拼图等 4 思考的活动经验是通过分析 归纳等思考获得的数学经验 如预测结果 探究成因等 47 四基 是一个有机的整体 基础知识 基本技能 基本思想方法形成三维 数学基础模块 第一维度 基础知识的积累过程 第二维度 基本技能的演练过程 第三维度 基本思想方法的形成过程 在以上过程中获得基本活动经验 掌握基础知识 训练基本技能当然重要 但这还不够 还要领悟基本思想 还要积累基本活动经验 四基 的核心在基本思想 基础在基本活动经验 都根植于活动的开展 判断活动质量的标准是看活动中思维的参与程度 四基 是客观性知识与主观性体验的结合 是结果性知识与过程性活动的结合 案例 一元一次方程 的教学 四基 呈现顺序 基础知识的掌握 练习获得基本技能 通过反思获得基本思想方法 在整个学习过程中 收获基本数学经验 基础知识 一元一次方程的概念基本技能 解一元一次方程基本思想方法 化归方法 未知到已知的转换 变化中的 不变 思