高等数学第一章课后习题答案

班级班级 姓名姓名 学号学号 1 高等数学 本 高等数学 本 第一章第一章 函数与极限函数与极限 1 设 求 3 0 3 sin x xx x 2 446 6 sin 6 2 1 2 2 4 sin 4 02 2 2 4 sin 4 2 设的定义域为 问 xf 1 0 2 xf xf sin 的定义域是什么 0 aaxf axfaxf 0 a 1 的定义域为所以知 11 1110 22 xfxx 12 2 sin 12 21sin0 2 kkxf Zkkxkx 的定义域为所以 知由 aaaxf axaax 1 110 3 的定义域为所以 知 由 班级 姓名 学号 2 时 定义域为当 时 定义域为当 从而得 知由 2 1 1 2 1 0 1 1 10 10 4 a aaa axa axa ax ax 3 设 求和 并做出这两个 11 10 11 x x x xf x exg xgf xfg 函数的图形 1 1 1 1 2 0 1 0 0 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 xe x xe exfg x x x xgf xg xg xg xgf xf 4 设数列有界 又 证明 n x 0lim n n y 0 lim nn n yx 0 0 0lim 0 M Myxyx M yNnNy MxnMx nnnn nn n nn 5 根据函数的定义证明 813lim 3 x x 8 13 lim 81330 3 0 3 3 33813 0 3 x xx xxx x 所以 成立时 恒有 当 取故 即可 只要要使 班级班级 姓名姓名 学号学号 3 2 0 sin lim x x x 0 sin lim 0 sin 11 sin 0 3 22 x x x x Xx Xxx x x x 6 根据定义证明 当时 函数是无穷大 问应满足什么条件0 x x x y 21 x 时 才能使 104 y 即可 只要要使 所以 成立时 有 当 故取 即可 只要要使 210 1 10 21 lim 21 0 2 2 1 2 11 2 21 0 4 4 0 xy x x M x x x M M xM xxx x M x 7 求极限 0 1 3 lim 2 2 3 x x x h xhx h 2 2 0 lim x h hxh h 2 2 lim 0 0 13 lim 24 2 xx xx x 4 2 121 lim n n n 2 1 2 1 lim 2 n nn n 5 3 1 1 3 1 1 lim xx x 1 1 1 31 lim 2 2 1 xxx xx x 班级 姓名 学号 4 6 2 23 2 2 2 lim x xx x 8 计算下列极限 0 x x x 1 sinlim 2 0 x x x arctan lim 0arctan 1 lim x x x 9 计算下列极限 x x x sin lim 0 sin lim 0 x x x x x x 3tan lim 0 3 3cos 1 3sin lim 0 xx x x xx x x sin 2cos1 lim 0 2 sin sin2 lim 2 0 xx x x 4 x x x 3 2 1 lim 6 6 2 0 2 1 lim e x x x 5 x x x 1 0 21 lim 2 2 2 1 0 21 limex x x 6 x x x x 1 3 lim 2 1 2 2 1 1 2 1 lim e x x x 10 利用极限存在准则证明 1 1 2 11 lim 222 nnnn n n 2 2 2222 2 1 2 11 n n nnnn n nn n 1lim 2 2 nn n n 又1lim 2 2 n n n 故原式 1 班级班级 姓名姓名 学号学号 5 数列的极限存在 并求其极限 222 22 2 2lim 1 2 22 lim lim 2222 2 22 2 22 2222 1 3 2 2 1 111 0 11 1112 0 1 n n nnn n n n n kkk n kkkk kk nn x aa aaxxaxx x xxxx x xxxx xxxxx nxx 舍去所以 知由设所以 有界 故 则假设 再证有界 单调递增 故 则假设 先证单调 解 11 当时 与相比 哪一个是较高阶的无穷小 0 x 2 2xx 32 xx 232 2 00 23 1 limlim0 2 2 0 xx xxxx xxxx xxx 当当时时 是是较较高高阶阶的的无无穷穷小小 12 当时 无穷小和是否同阶 是否等价 1 xx 1 2 1 2 1 x 所所以以同同阶阶且且等等价价 13 证明 当时 有 0 x 2 1sec 2 x x 2 11 2 1 1 1 1 2 limlim1 12 1 1 xx x xx xx xxx 1 1 当当时时 1 1 1 1 2 2 班级 姓名 学号 6 222 000 2 2 0 2 1 1 sec12 1cos 1 cos limlimlim cos 22 4sin 1 2 lim 1 cos 0sec1 2 xxx x xx x xxxx x xx x xx 当当时时 14 利用等价无穷小的代换定理 求极限 x xx x 3 0 sin sintan lim 2 333 000 1 tansintan 1cos 2 limlimlim sin xxx xx xxxx xxx 1 1 2 2 15 讨论 的连续性 并画出其图形 2 01 212 xx fx xx 2 1 1 10 lim1 10 lim 2 1 1 1 1 0 2 x x fx fx ff xx f x 又又在在处处连连续续 总总之之在在上上连连续续 16 指出下列函数的间断点属于哪一类 若是可去间断点 则补充或改变函数的定义使其 连续 2 1 23 1 2 2 xx xx x y 2 2 11 1 2 2 22 1 1 1 limlim2 32 1 2 1 2 1 1 limlim 32 2 2 xx x xx xxx xxxx xy xx xxx x 为为可可去去间间断断点点补补充充定定义义即即可可 为为无无穷穷间间断断点点 班级班级 姓名姓名 学号学号 7 1 13 11 x xx xx y 0 1x y 11 11 limlim 1 0 limlim 3 2 1 xx xx yx yx x 为为其其跳跳跃跃间间断断点点 17 讨论函数的连续性 若有间断点 判别其类型 x x x xf n n n 2 2 1 1 lim 2 2 1 1 1 lim0 1 1 1 1 1 10 1 10 1 1 1 10 1 10 1 1 n n n x x fxxx x x xff x xff x 在在处处 为为跳跳跃跃间间断断点点 在在处处 为为跳跳跃跃间间断断点点 18 求函数 的连续区间 并求 6 33 2 23 xx xxx xf xfxf xx30 lim lim 5 8 2 1 lim 2 3 1 3 lim lim 2 1 lim 2233 3 206 2 3 2 33 0 21 2 x x xx xx xf xf xxxx xxx x 连续区间为 得 由 19 求下列极限 52lim 2 0 xx x 5 班级 姓名 学号 8 1 3 2sinlim 4 x x x sinsin lim cos 2 cos 2 sin2 lim x xx x xxxx x 22 lim1 2 lim 22 xxxx x x x x e 1 lim 1 0 1 lim ee x x x x x sin lnlim 0 01ln sin limln 0 x x x 2 1 1lim x x x 2 1 2 1 1 1 1 lime x x x 20 设函数 应怎样选择 使在内连续 0 0 xxa xe xf x a xf 1 1lim 00 0 0 xfa ef af x x 21 证明方程其中至少有一正根 并且它不超过 bxax sin 0 0 baba 0 0 0 0 0 sin sin 0 0 0 sin ba fbabafbabaf abaababbaabaf bf baxf xbxaxf 超过方程至少有一正根且不 使若 取若 上连续 在显然 证明 令 22 若在上连续 则在上必有 使 xf ba bxxxa n 21 n xx 1 n xfxfxf f n 21 班级班级 姓名姓名 学号学号 9 n xfxfxf fxx M n f m nMfnm niMxfmmMxxxf n