余弦定理教学设计

凤凰高中数学教学参考书配套教学软件 教学设计 1 21 2 余弦定理余弦定理 南京师范大学附属中学 张跃红 教学目标 教学目标 1 掌握余弦定理 并能解决一些简单的三角形度量问题 2 能够运用余弦定理解决一些与测量和几何计算有关的实际问题 教学重点 教学重点 重点是余弦定理及其证明过程 教学难点 教学难点 难点是余弦定理的推导和证明 教学过程 教学过程 1 创设情景 提出问题创设情景 提出问题 问题 1 修建一条高速公路 要开凿隧道将 一段山体打通 现要测量该山体底侧两点间的距 离 即要测量该山体两底侧 A B 两点间的距离 如图 1 请想办法解决这个问题 设计意图 这是一个学生身边的实际应用问题 在其解决的过程中得到余 弦定理 自然引出本课的学习内容 2 构建模型 解决问题构建模型 解决问题 学生活动 提出的方法有 先航拍 然后根据比例尺算出距离 利用等高 线量出距离等 也有学生提出在远处选一点 C 然后量出 AC BC 的长度 再 测出 ACB ABC 是确定的 就可以计算出 AB 的长 接下来 请三位板演 其解法 法 1 构造直角三角形 如图 2 过点 A 作垂线交 BC 于点 D 则 AD AC sinC CD AC cosC BD BC CD BC AC cosC 所以 22 BDADAB 图 1AB 图 2D A C B 凤凰高中数学教学参考书配套教学软件 教学设计 CBCACBCACcos 2 22 法 2 向量方法 如图 3 因为 ABACCB 所以 2 2 ABACCB 22 2cos ACCBACCBC 即 CBCACBCACABcos 2 22 法 3 建立直角坐标系 建立如图 4 所示的直角坐标系 则 A AC cosC AC sinC B BC 0 根据两点间的距离公式 可得 22 0sin cos CACBCCACAB 所以 CBCACBCACABcos 2 22 活动评价 师生共同评价板演 3 追踪成果 提出猜想追踪成果 提出猜想 师 回顾刚刚解决的问题 我们很容易得到结论 在 ABC 中 a b c 是 角 A B C 的对边长 则有成立 类似的还有其他等式 Cabbaccos2 222 Acbbcacos2 222 Bcaacbcos2 222 正弦定理反映的是三角形中边长与角度之间的一种数量关系 因为与正弦 有关 就称为正弦定理 而上面等式中都与余弦有关 就叫做余弦定理 问题 2 刚才问题的解题过程是否可以作为余弦定理的证明过程 设计意图 作为定理要经过严格的证明 在解决问题中培养学生严谨的思 维习惯 学生活动 经过思考得出 若把解法一作为定理的证明过程 需要对角 C 进行分类讨论 即分角 C 为锐角 直角 钝角三种情况进行证明 第二种和第 三种解法可以作为余弦定理的证明过程 教师总结 证明余弦定理 就是证明一个等式 而在证明等式的过程中 图 3 C B A 图 4 y x A C B 凤凰高中数学教学参考书配套教学软件 教学设计 我们可以将一般三角形的问题通过作高 转化为直角三角形的问题 还可以构 造向量等式 然后利用向量的数量积将其数量化 还可以建立直角坐标系 借 助两点间的距离公式来解决 等等 4 探幽入微 深化理解探幽入微 深化理解 问题 3 刚刚认识了余弦定理这个 新朋友 看一看它有什么特征 学生活动 勾股定理是余弦定理的特例 反过来也可以说 余弦定理是勾 股定理的推广 当角 C 为锐角或钝角时 边长之间有不等关系 222 cba 是边长 a b c 的轮换式 同时等式右边 222 cba Cabbaccos2 222 的角与等式左边的边相对应 等式右边有点象完全平方 等等 教师总结 我们在观察一个等式时 就如同观察一个人一样 先从远处看 然后再近处看 先从外表再到内心深处 观察等式时 先从整体 比如轮换 再到局部 比如等式左右边角的对称 从一般到特殊 或者从特殊到一般 比 如勾股定理是余弦定理的特例 余弦定理是勾股定理的推广 问题 4 我们为什么要学余弦定理 学它有什么用 设计意图 让学生真正体会到学习余弦定理的必要性 同时又可以得到余 弦定理能解决的三角形所满足的条件 以及余弦定理的各种变形 让学生体会 在使用公式或定理时 不但要会 正向使用 还要学会 逆向使用 学生活动 解已知三角形的两边和它们夹角的三角形 如果已知三边 可 以求角 进而解出三角形 即 ab cba C ac bca B bc acb A 2 cos 2 cos 2 cos 222222222 5 学以致用 拓展延伸学以致用 拓展延伸 练习 1 在 ABC 中 若 a 3 b 5 c 7 求角 C 2 1 在 ABC 中 若 解这个三角形 0 45 6 13 Acb 2 在 ABC 中 求 a 1 60 3 0 cBb 学生活动 练习后相互交流得出 解答题 1 时 利用的是余弦定理的变形 形式 而题 2 既可以利用正弦定理 也可以利用