因式分解知识点归纳

因式分解 知识点回顾 1 因式分解的概念 把一个多项式分解成几个整式的积的形式 叫做因式分解 因式分解和整式乘法互为逆运算 2 常用的因式分解方法 1 提取公因式法 cbammcmbma 2 运用公式法 平方差公式 22 bababa 完全平方公式 222 2bababa 3 十字相乘法 2 bxaxabxbax 因式分解的一般步骤 1 如果多项式的各项有公因式 那么先提公因式 2 提出公因式或无公因式可提 再考虑可否运用公式或十字相乘法 3 对二次三项式 应先尝试用十字相乘法分解 不行的再用求根公式法 4 最后考虑用分组分解法 5 同底数幂的乘法法则 同底数幂的乘法法则 都是正整数 mnm n aaa Anm 同底数幂相乘 底数不变 指数相加 注意底数可以是多项式或单项式 如 235 ababab A 6 幂的乘方法则 幂的乘方法则 都是正整数 mnnm aa nm 幂的乘方 底数不变 指数相乘 如 1025 3 3 幂的乘方法则可以逆用 即 mnnmmn aaa 如 23326 4 4 4 7 积的乘方法则 积的乘方法则 是正整数 nnn baab n 积的乘方 等于各因数乘方的积 如 523 2zyx 51015552535 32 2 zyxzyx 8 同底数幂的除法法则 同底数幂的除法法则 都是正整数 且 nmnm aaa nma 0 nm 同底数幂相除 底数不变 指数相减 如 3334 baababab 9 零指数和负指数 零指数和负指数 即任何不等于零的数的零次方等于 1 1 0 a 是正整数 即一个不等于零的数的次方等于这个数的次方的倒数 p p a a 1 pa 0 p p 如 8 1 2 1 2 33 10 单项式的乘法法则 单项式的乘法法则 单项式与单项式相乘 把他们的系数 相同字母分别相乘 对于只在一个单 项式里含有的字母 则连同它的指数作为积的一个因式 注意 积的系数等于各因式系数的积 先确定符号 再计算绝对值 相同字母相乘 运用同底数幂的乘法法则 只在一个单项式里含有的字母 则连同它的指数作为积的一个因式 单项式乘法法则对于三个以上的单项式相乘同样适用 单项式乘以单项式 结果仍是一个单项式 如 xyzyx32 32 1111 单项式乘以多项式 单项式乘以多项式 就是用单项式去乘多项式的每一项 再把所得的积相加 即 都是单项式 mcmbmacbam cbam 注意 积是一个多项式 其项数与多项式的项数相同 运算时要注意积的符号 多项式的每一项都包括它前面的符号 在混合运算时 要注意运算顺序 结果有同类项的要合并同类项 如 3 32 2yxyyxx 1212 多项式与多项式相乘的法则 多项式与多项式相乘的法则 多项式与多项式相乘 先用多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项 再把所的的积相加 如 6 5 3 23 xx baba 三 知识点分析 三 知识点分析 1 同底数幂 幂的运算 同底数幂 幂的运算 am an am n m n 都是正整数 am n amn m n 都是正整数 例题例题 1 若 则 a 若 则 n 642 2 a8 3 327 n 例题例题 2 若 求的值 1255 12 xx x 2009 2 例题例题 3 计算 mn xyyx 23 22 练习练习 1 若 则 3 2 n a n a6 2 设 4x 8y 1 且 9y 27x 1 则 x y 等于 2 积的乘方积的乘方 ab n anbn n 为正整数 积的乘方 等于把积的每一个因式分别乘方 再把所得的幂相乘 例题例题 1 1 计算 4 3p p mnnmmn 3 3 乘法公式乘法公式 平方差公式 22 bababa 完全平方和公式 22 2 2bababa 完全平方差公式 22 2 2bababa 例题 1 利用平方差公式计算 2009 2007 20082 例题 2 利用平方差公式计算 2 2007 20072008 2006 3 a 2b 3c d a 2b 3c d 考点一 因式分解的概念考点一 因式分解的概念 因式分解的概念 把一个多项式分解成几个整式的积的形式 叫做因式分解 因式分解和整式乘法互为逆运算 1 下列从左到右是因式分解的是 A x a b ax bx B x2 1 y2 x 1 x 1 y2 C x2 1 x 1 x 1 D ax bx c x a b c 2 若可以因式分解为 则 k 的值为 22 49akabb 2 23 ab 3 已知 a 为正整数 试判断是奇数还是偶数 2 aa 4 已知关于 x 的二次三项式有一个因式 且 m n 17 试求 m n 的值 2 xmxn 5 x 考点二考点二 提取公因式法提取公因式法 提取公因式法 cbammcmbma 公因式 一个多项式每一项都含有的相同的因式 叫做这个多项式各项的公因式 找公因式的方法 1 系数为各系数的最大公约数 2 字母是相同字母 3 字母的次数 相同字母的最低次数 习题 1 将多项式分解因式 应提取的公因式是 322 2012a ba bc A ab B C D 2 4a b4ab 2 4a bc 2 已知可因式分解为 其中 a b c 均 1931 1317 1317 1123 xxxx 8 axbxc 为整数 则 a b c 等于 A 12 B 32 C 38 D 72 3 分解因式 1 2 6 4 a abb ab 3 6 a xyb yx 3 4 12nnn xxx 20112010 3 3 4 先分解因式 在计算求值 1 其中 x 1 5 22 21 32 21 32 1 2 32 xxxxxxx 2 其中 a 18 22 2 1 1 2 aaaaa 5 已知多项式有一个因式为 另一个因式为 42 201220112012xxx 2 1xax 2 2012xbx 求 a b 的值 6 若 用因式分解法求的值 2 10ab 253 ab a babb 7 已知 a b c 满足 求的值 a b c3ababbcbccaca 1 1 1 abc 都是正整数 考点三 用乘法公式分解因式考点三 用乘法公式分解因式 平方差公式平方差公式 22 bababa 运用平方差公式分解的多项式是二次项 这两项必须是平方式 且这两项的符号相反 习题 1 下列各式中 能用平方差公式分解因式的是 A B C D 22 x4y 22 x2y1 22 4xy 22 4xy 2 分解下列因式 1 2 3 2 312x 2 2 4 4xxx 22 xyxy 4 5 6 32 xxy 2 1ab 2222 9 30 25 ababab 7 2 2009 2011 20101 3 若 n 为正整数 则一定能被 8 整除 22 21 21 nn 完全平方式完全平方式 222 2bababa 运用完全平方公式分解的多项式是三项式 且符合首平方 尾平方 首尾两倍中间放的特点 其中首 尾两项的符号必须相同 中间项的符号正负均可 习题 1 在多项式 中 能用完全平方公式 22 x2xyy 22 x2xyy 22 xxy y 2 4x1 4x 分解因式的有 A B C D 2 下列因式分解中 正确的有 3222 4aa ba 4a b 2 x y2xyxyxy x2 aabaca abc 2 9abc6a b3abc 32a 22 222 x yxyxy xy 333 A 0 个 B 1 个 C 2 个 D 5 个 3 如果是一个完全平方式 那么 m 应为 2 2 3 16xmx A 5 B 3 C 7 D 7 或 1 4 分解因式 1 2 3 2 42mxmxm 2 2 42aa xxx 23 2 4 5 22 23 3 xx 2 882x yxyy 6 7 4x2 12xy 9y2 4x 6y 3 22224 x 2xy 2y x 2xy y 5 已知 求2ab 2ab 3223 11 22 a ba bab 6 证明代数式的值总是正数 22 10845xyxy 7 已知 a b c 分别是的三边长 试比较与的大小ABC 2222 abc 22 4a b 考点四 十字相乘法考点四 十字相乘法 1 二次项系数为 1 的二次三项式中 如果能把常数项分解成两个因式的积 2 xpxq q ab 并且等于一次项系数的值 那么它就可以把二次三项式分解成 ab p 2 xpxq bxaxabxbaxqpxx 22 例题讲解 1 分解因式 65 2 xx 分析 将 6 分成两个数相乘 且这两个数的和要等于 5 由于 6 2 3 2 3 1 6 1 6 从中可以发现只有 2 3 的分解适合 即 2 3 5 1 2 解 1 3 65 2 xx32 32 2 xx 1 2 1 3 5 3 2 xx 用此方法进行分解的关键 将常数项分解成两个因数的积 且这两个因数的代数和要等于一次项的系 数 例题讲解 2 分解因式 67 2 xx 解 原式 1 1 6 1 6 1 2 xx 1 6 6 1 xx 1 6 7 练习 分解因式 1 2 3 2414 2 xx3615 2 aa54 2 xx 4 5 6 2 2 xx152 2 yy2410 2 xx 2 二次项系数不为 1 的二次三项式 cbxax 2 条件 1 21a aa 1 a 1 c 2 21c cc 2 a 2 c 3 1221 cacab 1221 cacab 分解结果 cbxax 2 2211 cxacxa 例题讲解 1 分解因式 10113 2 xx 分析 1 2 3 5 6 5 11 解 10113 2 xx 53 2 xx 分解因式 1 2 675 2 xx273 2 xx 3 4 31710 2 xx10116 2 yy 3 二次项系数为 1 的多项式 例题讲解 分解因式 22 1288baba 分析 将看成常数 把原多项式看成关于的二次三项式 利用十字相乘法进行分解 ba 1 8b 1 16b 8b 16b 8b 解 22 1288baba 16 8 16 8 2 bbabba 16 8 baba 分解因式 1 2 3 22 23yxyx 22 86nmnm 22 6baba 4 二次项系数不为 1 的多项式 例题讲解 22 672yxyx 23 22 xyyx 1 2y 把看作一个整体 1 1 xy 2 3y 1 2 3y 4y 7y 1 2 3 解 原式 解 原式 32 2 yxyx 2 1 xyxy 分解因式 1 2 22 4715yxyx 86 22 axxa 考点五 因式分解的应用考点五 因式分解的应用 1 分解下列因式 1 2 2 33x 32 4x yx 3 4 32 627xxx 22 21abb 2 计算下列各题 1 2 2 441 21 aaa 222 2 abcababc 3 解方程 1 2 22 16 1 25 2 xx 2 23 23 xx 4 如果实数 且 那么 a b 的值等于 ab 101 101 aba bab 5 222222222 1 234562009201020112012 1234562009201020112012 6 若多项式能分解成两个整系数的一次因式的乘积 试确定符合条件的整数 a 的值 写 2 12xax 出 3 个 7 先变形再求值 1 已知 求的值 1 2 16 xy 4xy 4334 2x yx y 2 已知 求的值 2 3820 xx