常微分方程试题

1 一一 单项选择题单项选择题 每小题每小题 2 2 分分 共共 4040 分分 1 下列四个微分方程中 为三阶方程的有 个 1 2 3 4 A 1 B 2 C 3 D 4 2 为确定一个一般的n阶微分方程 0 的一个特解 通常应给出 的初始条件是 A 当 时 B 当 时 C 当 时 D 当 时 3 微分方程 的一个解是 A B C D 2 4 下列方程中 既是齐次方程又是线性方程的是 A B C D 5 若方程 是恰当方程 则 A B C D 6 若方程 有只与y有关的积分因子 则可取 为 A B C D 7 可用变换 将伯努利方程 化为线性方程 A B C D 8 是满足方程 和初始条件 的唯一解 A B C D 9 设 是n阶齐线性方程 的解 3 其中 是某区间中的连续函数 如下叙述中 正确的是 A 若 的伏朗斯基行列式为零 则 线性无关 B 若 的伏朗斯基行列式不为零 则 线性相关 C 若 的伏朗斯基行列式不为零 则 线性无关 D 由 的伏朗斯基行列式是否为零 不能确定 的线性相关性 10 设线性无关的函数 和 是方程 的解 则方程 的通解是 A 是任意常数 下同 B C D 11 三阶系数齐线性方程 的特征根是 A 0 1 1 B 0 1 1 C 1 D 1 12 方程 的基本解组是 4 A B C D 13 方程 的待定特解可取如下 的形式 A B C D 14 已知 是某一三阶齐线性方程的解 则 和 的伏朗斯基行列式 A 3 B 2 C 1 D 0 15 可将三阶方程 化为二阶方程的变换为 A B C D 16 方程组 满足初始条件 的解为 A B C D 17 n阶函数方阵 在 上连续 方程组 有基解矩阵 5 如下叙述中 正确的是 A 的每个列向量是该方程组的解向量且 在某一点 为零 B 的每个行向量是该方程组的解向量且 C 的每个列向量是该方程组的解向量且 恒不为零 D 的每个行向量是该方程组的解向量且 恒不为零 18 设 A 是n阶常数方阵 是 A 的一个特征值 则方程组 有解为 其中 是 A 矩阵 A 的对应于 的特征向量 B 任意向量 C 矩阵 A 任意一个行向量 D 矩阵 A 的任意一个列向量 19 n阶函数方阵 在 上连续 方程组 有两个基解矩阵 和 如下叙述中 正确的是 A 存在非奇异的常数矩阵 C 使得 B 存在非奇异的常数矩阵 C 使得 C 存在非奇异的常数矩阵 C 使得 6 D 存在非奇异的常数矩阵 C 使得 20 设 和 都是由方程组 的n个解向量所组成的方阵 其中 是在 上连续的函数方阵 是连续的列向量 则如下断言中正确 的为 A 必是方程组 的基解矩阵 B 仍是方程组 的解矩阵 C 是方程组 的解矩阵 D 也是方程组 的解矩阵 二二 简答题简答题 每小题每小题 3 3 分分 共共 1515 分分 21 写出把方程 化为变量分离方程的变换 并将变换后的方程进行变 量分离 22 试写出二阶欧拉方程 的一个基本解组 23 写出初值问题 的第二次近似解 7 24 函数 和 都是初值问题 的解 试用解的唯一存在 性 定理解释这个初值问题的解存在但不唯一的原因 25 已知三阶方阵 的特征值为 1 1 2 对应的特征向量分别为 试 写出 方程组 的标准基解矩阵 既当t 0 时为单位矩阵的基解矩阵 三三 计算题计算题 一一 每小题每小题 5 5 分分 共共 1515 分分 26 解方程 27 解方程 28 求解方程 其中 四四 计算题计算题 二二 每小题每小题 6 6 分分 共共 1818 分分 29 解方程 30 求方程组 的一个基解矩阵 其中 31 求解方程 8 五五 应用题应用题 6 6 分分 32 求平面上过原点的曲线方程 该曲线上任一点处的切线与切点和点 1 0 的连线相 互 垂直 六六 证明题证明题 6 6 分分 33 设 都是区间 上的连续函数 且 是二阶线性方程 的一个基本解组 试证明 i 和 都只能有简单零点 即函数值与导函数值不能在一点同时为零 ii 和 没有共同的零点 iii 和 没有共同的零点 一 求解下列常微分方程 每小题 10 分 共 50 分 1 2 3 9 4 5 二 15 分 求二阶常系数微分方程的通解 三 15 分 设 1 求齐线性方程组 的基解矩阵 2 求非齐线性方程组 满足初始条件的 的