2024-2025学年上海市黄浦区七年级（下）期末数学试卷（含解析）

2024-2025学年上海市黄浦区七年级（下）期末数学试卷一、选择题（共6小题，每题3分，满分18分）1．若，则下列不等式正确的是（）A． B． C． D．2．如图，点在的延长线上，下列条件中不能判定的是（）A． B． C． D．3．用下列长度的三根木条首尾顺次联结，不能做成三角形框架的是（）A．，， B．，， C．，， D．，，．4．对于命题“如果，那么和中必定有一个是钝角”，能说明它是假命题的是（）A．， B．， C．， D．，5．用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图如下，则要说明，需要证明△和△，则这两个三角形全等的依据是（）A． B． C． D．6．如图，△中，，，将△绕着点顺时针旋转得到△，其中点、分别旋转到点、，当时，的度数是（）A． B． C． D．二、填空题（共12小题，每题2分，满分24分）7．用不等式表示“7与的积减16的差是负数”是．8．不等式的解集为．9．如图，，为垂足，，为垂足，，，，那么点到的距离是．10．已知图中的两个三角形全等，则等于．11．如图，直线，若，，则．12．命题“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是．13．在△中，，，则．14．已知等腰三角形的两条边长分别为3和7，那么它的周长等于．15．如图，已知在等边中，，点、分别在边、上，将沿翻折，点正好落在边上的点处，如果的周长比的周长小，那么．16．如图，已知的面积为12，平分，且于点，则的面积是．17．定义：如果一个三角形有两个内角的差为，那么这样的三角形叫做“准直角三角形”．若△是“准直角三角形”，且，，则的度数为．18．如图，△中，，，，直线经过点且与边相交．动点从点出发沿路径向终点运动；动点从点出发沿路径向终点运动．点和点的速度分别为和，两点同时出发并开始计时，当点到达终点时计时结束．在某时刻分别过点和点作于点，于点，设运动时间为秒，则当秒时，△与△全等．三、简答题（共6小题，每题6分，满分36分）19．解不等式：，并求出它的最大整数解．20．解不等式组：，并把解集表示在数轴上．21．如图，点在外，点在边上，按要求画图，写出结论，并填空．（1）联结，用尺规作出线段的垂直平分线；（2）过、两点分别画出、的平行线交于点，若，则．22．如图，是△中平分线，在上，且，，与相交于，求证：．23．如图，在中，为边上一点，为的中点，连接并延长至点，使得，连接．（1）求证：；（2）若，且平分，求的度数．24．实践与探究【提出问题】△是等边三角形，点在的延长线上，平分，点是边上一动点，连接，并以为边作，交射线于点，连接．猜想△的形状．兴趣小组的三位同学根据已知条件画出图形并分别度量和的长度，结果如下：的长度的长度小明2.62.6小丽3.43.4小亮4.14.1根据以上数据，猜想：△是三角形．【解决问题】兴趣小组对上述猜想进行了证明，请你补全证明过程．证明：如图，在边上截取，连接．，△△，，△是三角形．四、解答题（共3小题，第25、26题每题7分，第27题8分，满分22分）25．静安购物节期间甲乙两家商店各自推出优惠活动．商店优惠方式甲所购商品按原价打八五折乙所购商品按原价每满300元减60元设顾客在甲乙两家商店购买商品的原价都为元，请根据条件回答下列问题：（1）如果顾客在甲商店购买商品选择优惠活动后实际付款元；（用含有的代数式表示）（2）顾客购买原价在600元（包括600元）以上，900元（不包括900元）以下的商品时，如果选择乙商店的优惠活动比选择甲商店的优惠活动更合算，求的取值范围．26．如图，在中，，是上一点，且，过作，分别交于点、交于点．（1）求证：；（2）如果，请猜想和的数量关系，并证明你的猜想．27．（1）观察理解：如图1，△中，，，直线过点点，在直线同侧，，，垂足分别为，，由此可得，所以，又因为，所，所以，又因为，所△△；（请填写全等判定的方法）（2）理解应用：如图2，，且，，且，利用（1）中的结论，请按照图中所标的数据计算图中△的面积是；（3）拓展提升：如图3，等边△中，，点在上，且，动点在射线上，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段．①当时，的长是．②当点恰好落在射线上时，请直接写出的长．

参考答案一、选择题（共6小题，每题3分，满分18分）1．若，则下列不等式正确的是（）A． B． C． D．解：若，两边同时加上2得，则不符合题意，两边同时减去3得，则不符合题意，两边同时乘得，则不符合题意，两边同时乘得，则符合题意，故选：．2．如图，点在的延长线上，下列条件中不能判定的是（）A． B． C． D．解：、根据内错角相等，两直线平行可判定，故此选项不合题意；、根据同旁内角互补，两直线平行可判定，故此选项不合题意；、根据同位角相等，两直线平行可判定，故此选项不合题意；、根据内错角相等，两直线平行可判定，故此选项符合题意．故选：．3．用下列长度的三根木条首尾顺次联结，不能做成三角形框架的是（）A．，， B．，， C．，， D．，，．解：、，能构成三角形，故此选项不符合题意；、，不能构成三角形，故此选项符合题意；、，能构成三角形，故此选项不符合题意；、，能构成三角形，故此选项不符合题意．故选：．4．对于命题“如果，那么和中必定有一个是钝角”，能说明它是假命题的是（）A．， B．， C．， D．，解：、不满足条件，也不满足结论，故不符合题意；、满足条件，也满足结论，故不符合题意；、满足条件，不满足结论，故符合题意；、满足条件，也满足结论，故不符合题意．故选：．5．用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图如下，则要说明，需要证明△和△，则这两个三角形全等的依据是（）A． B． C． D．解：由尺规作图可知，，，，在△和△中，，△△，即这两个三角形全等的依据是，故选：．6．如图，△中，，，将△绕着点顺时针旋转得到△，其中点、分别旋转到点、，当时，的度数是（）A． B． C． D．解：如图，，，．将△绕着点顺时针旋转得到△，，，．，，，，．故选：．二、填空题（共12小题，每题2分，满分24分）7．用不等式表示“7与的积减16的差是负数”是．解：用不等式表示“7与的积减16的差是负数”是，故答案为：．8．不等式的解集为．解：，，，即．故答案为：．9．如图，，为垂足，，为垂足，，，，那么点到的距离是4.8．解：，，点到的距离是4.8，故答案为：4.8．10．已知图中的两个三角形全等，则等于．解：图中的两个三角形全等，边所对的角为，边所对的角是，．故答案为：．11．如图，直线，若，，则40．解：，直线，．和互为补角，．，故答案为：40．12．命题“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是两个角相等三角形是等腰三角形．解：因为原命题的题设是：“一个三角形是等腰三角形”，结论是“这个三角形两底角相等”，所以命题“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是“两个角相等三角形是等腰三角形”．13．在△中，，，则6．解：在△中，，，△是等边三角形，．故答案为：6．14．已知等腰三角形的两条边长分别为3和7，那么它的周长等于17．解：当3是腰时，则，不能组成三角形，应舍去；当7是腰时，则三角形的周长是．故答案为：17．15．如图，已知在等边中，，点、分别在边、上，将沿翻折，点正好落在边上的点处，如果的周长比的周长小，那么．解：将沿翻折，点正好落在边上的点处，，，的周长比的周长小，而的周长，同理的周长，又为等边三角形，，，而，．故答案为：．16．如图，已知的面积为12，平分，且于点，则的面积是6．解：延长交于点，平分，，，，在和中，，，，，，．故答案为：6．17．定义：如果一个三角形有两个内角的差为，那么这样的三角形叫做“准直角三角形”．若△是“准直角三角形”，且，，则的度数为或．解：△是“准直角三角形”，或，当，而，，，，当，，，，解得，综上所述，的度数为或．故答案为：或．18．如图，△中，，，，直线经过点且与边相交．动点从点出发沿路径向终点运动；动点从点出发沿路径向终点运动．点和点的速度分别为和，两点同时出发并开始计时，当点到达终点时计时结束．在某时刻分别过点和点作于点，于点，设运动时间为秒，则当2或或12秒时，△与△全等．解：由题意得，，，，，，，①如图1，在上，点在上时，作，，，，，当△△时，则，即，解得：；②如图2，当点与点重合时，当△△，则，．解得：；③如图3，当点与重合时，，，当△△，则，即，解得：；当综上所述：当秒或秒或12秒时，△与△全等，故答案为：2或或12．三、简答题（共6小题，每题6分，满分36分）19．解不等式：，并求出它的最大整数解．解：，，，，，所以不等式的最大整数解为．20．解不等式组：，并把解集表示在数轴上．解：解不等式①得，，解不等式②得，，所以不等式组的解集为：，数轴表示如下：．21．如图，点在外，点在边上，按要求画图，写出结论，并填空．（1）联结，用尺规作出线段的垂直平分线；（2）过、两点分别画出、的平行线交于点，若，则120．解：（1）如图1，即为所求；（2）如图，点即为所求，由作图过程可知：，，四边形是平行四边形，．故答案为：120．22．如图，是△中平分线，在上，且，，与相交于，求证：．【解答】证明：，，，，平分，，，，，．23．如图，在中，为边上一点，为的中点，连接并延长至点，使得，连接．（1）求证：；（2）若，且平分，求的度数．【解答】（1）证明：在和中，，，；（2）解：，，，，，平分，，．24．实践与探究【提出问题】△是等边三角形，点在的延长线上，平分，点是边上一动点，连接，并以为边作，交射线于点，连接．猜想△的形状．兴趣小组的三位同学根据已知条件画出图形并分别度量和的长度，结果如下：的长度的长度小明2.62.6小丽3.43.4小亮4.14.1根据以上数据，猜想：△是等边三角形．【解决问题】兴趣小组对上述猜想进行了证明，请你补全证明过程．证明：如图，在边上截取，连接．，△△，，△是三角形．【解答】【提出问题】解：由小明、小丽、小亮分别度量和的长度得出的结果可知，，，△是等边三角形，故答案为：等边．【解决问题】证明：如图，在边上截取，连接，△是等边三角形，点在的延长线上，平分，，，，，，，，，，△是等边三角形，，，，，，，在△和△中，，△△，，△是等边三角形，故答案为：，，等边．四、解答题（共3小题，第25、26题每题7分，第27题8分，满分22分）25．静安购物节期间甲乙两家商店各自推出优惠活动．商店优惠方式甲所购商品按原价打八五折乙所购商品按原价每满300元减60元设顾客在甲乙两家商店购买商品的原价都为元，请根据条件回答下列问题：（1）如果顾客在甲商店购买商品选择优惠活动后实际付款元；（用含有的代数式表示）（2）顾客购买原价在600元（包括600元）以上，900元（不包括900元）以下的商品时，如果选择乙商店的优惠活动比选择甲商店的优惠活动更合算，求的取值范围．解：（1）如果顾客在甲商店购买商品选择优惠活动后实际付款为：元，故答案为：；（2）在时，选择乙商店的优惠活动后实际付款为：元，由题意得：，解得：，．26．如图，在中，，是上一点，且，过作，分别交于点、交于点．（1）求证：；（2）如果，请猜想和的数量关系，并证明你的猜想．【解答】（1）证明：，，，，，，，；（2）解：．过点作于点，，，，，，，，，在和中，，，．27．（1）观察理解：如图1，△中，，，直线过点点，在直线同侧，，，垂足分别为，，由此可得，所以，又因为，所，所以，又因为，所△△；（请填写全等判定的方法）（2）理解应用：如图2，