寒假作业之解析几何

寒假作业之解析几何 1 垂直于直线1yx 且与圆 22 1xy 相切于第一象限的直线方程是 2 直线 x ay 3 0 与直线 ax 4y 6 0 平行的充要条件是 3 已知直线与圆相交于两点 若点 M 在圆 C 上 且有01 ykx4 22 yxCBA 为坐标原点 则实数 OBOAOM Ok 4 已知方程和 其中 它们所表示的曲abbyax 22 01 byax0 abba 线可能序号是 5 已知双曲线 0 1 2 2 2 2 ba b y a x 两渐近线的夹角为 则双曲线的离心率为 60 6 已知椭圆的对称轴为坐标轴 短轴的一个端点和两个焦点的连线构成一个正三角形 且焦点到椭圆上的点的最短距离为3 则椭圆的方程为 7 双曲线 2 2 22 10 0 y x ab ab 的左 右焦点分别为 12 F F 渐近线分别为 12 l l 点 P 在第一象限内且在 1 l上 若 21 lPF 22 lPF 则双曲线的离心率为 8 双曲线 2 2 1 4 y x 的渐近线被圆 22 6210 xyxy 所截得的弦长为 9 已知圆C的方程为 22 4 4xy 点O是坐标原点 直线 l ykx 与圆C交于 M N两点 求k的取值范围 设 Q m n是线段MN上的点 且 222 211 OQOMON 请将n表示为m的 函数 10 椭圆1 2 2 2 2 b y a x C 0 ba的左 右焦点分别是 21 F F 离心率为 过 1 F且 3 2 垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1 1 求椭圆 C 的方程 2 点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点 过点P作斜率为 k 的直线l 使得l与椭圆 C有且只有一个公共点 设直线 21 PF PF的斜率分别为 21 k k 若0 k 试证明 21 11 kkkk 为定值 并求出这个定值 11 已知椭圆与直线相交于两点 22 1 22 1 0 xy Cab ab 10 xy AB 1 若椭圆的半焦距 直线与围成的矩形的面积为 8 3c xa yb ABCD 求椭圆的方程 2 如果又椭圆的离心率满足 求椭圆长轴长的取值范 22 11 2 ab e 32 32 e 围 12 在直角坐标系xOy中 已知中心在原点 离心率为 1 2 的椭圆 E 的一个焦点为圆 22 420C xyx 的圆心 求椭圆 E 的方程 设 P 是椭圆 E 上一点 过 P 作两条斜率之积为 1 2 的直线 12 l l 当直线 12 l l都与圆 C相切时 求 P 点坐标 分 寒假作业之解析几何参考答案 1 垂直于直线1yx 且与圆 22 1xy 相切于第一象限的直线方程是20 xy 2 直线 x ay 3 0 与直线 ax 4y 6 0 平行的充要条件是 a 2 3 已知直线与圆相交于两点 若点 M 在圆 C 上 且有01 ykx4 22 yxCBA 为坐标原点 则实数 0OBOAOM Ok 4 已知方程和 其中 它们所表示的曲线abbyax 22 01 byax0 abba 可能序号是 2 5 已知双曲线 0 1 2 2 2 2 ba b y a x 两渐近线的夹角为 双曲线的离心率为60 2 3 3 6 已知椭圆的对称轴为坐标轴 短轴的一个端点和两个焦点的连线构成一个正三角形 且焦点到椭圆上的点的最短距离为3 则椭圆的方程为 7 双曲线 2 2 22 10 0 y x ab ab 的左 右焦点分别为 12 F F 渐近线分别为 12 l l 点 P 在第一象限内且在 1 l上 若 21 lPF 22 lPF 则双曲线的离心率为 2 8 双曲线 2 2 1 4 y x 的渐近线被圆 22 6210 xyxy 所截得的弦长为 4 9 已知圆C的方程为 22 4 4xy 点O是坐标原点 直线 l ykx 与圆C交于 M N两点 求k的取值范围 设 Q m n是线段MN上的点 且 222 211 OQOMON 请将n表示为m的函数 解 将xky 代入 22 4 4xy 得 则 0128 1 22 xkxk 由 012 1 4 8 22 kk得 3 2 k 所以k的取值范围是 3 3 因为M N在直线l上 可设点M N的坐标分别为 11 kxx 22 kxx 则 2 1 2 2 1 xkOM 2 2 2 2 1 xkON 又 2222 2 1 mknmOQ 由 222 112 ONOMOQ 得 2 2 22 1 222 1 1 1 1 1 2 xkxkmk 所以 2 2 2 1 21 2 21 2 2 2 1 2 2 112 xx xxxx xxm 由 知 2 21 1 8 k k xx 2 21 1 12 k xx 所以 35 36 2 2 k m 因为点Q在直线l上 所以 m n k 代入 35 36 2 2 k m可得3635 22 mn 由 35 36 2 2 k m及3 2 k得 30 2 m 即 3 0 0 3 m 依题意 点Q在圆C内 则0 n 所以 5 18015 5 336 22 mm n 于是 n与m的函数关系为 5 18015 2 m n 3 0 0 3 m 10 椭圆1 2 2 2 2 b y a x C 0 ba的左 右焦点分别是 21 F F 离心率为 过 1 F且 3 2 垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1 1 求椭圆 C 的方程 2 点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点 过点P作斜率为 k 的直线l 使得l与椭圆 C有且只有一个公共点 设直线 21 PF PF的斜率分别为 21 k k 若0 k 试证明 21 11 kkkk 为定值 并求出这个定值 解 1 由于 c2 a2 b2 将 x c 代入椭圆方程 1 x2 a2 y2 b2 得 y 由题意知 1 即 a 2b2 又 e 所以 a 2 b 1 b2 a 2b2 a c a 3 2 所以椭圆 C 的方程为 y2 1 x2 4 2 设 P x0 y0 y0 0 则直线 l 的方程为 y y0 k x x0 得 1 4k2 x2 8 ky0 k2x0 x 4 y 2kx0y0 k2x 1 0 x2 4 y2 1 y y0 k x x0 2 02 0 由题意 0 即 4 x k2 2x0y0k 1 y 0 2 02 0 又 y 1 所以 16y k2 8x0y0k x 0 故 k 2 02 02 0 x0 4y0 由 2 知 1 k1 1 k2 x0 3 y0 x0 3 y0 2x0 y0 所以 8 因此 为定值 这个定值为 1 kk1 1 kk2 1 k 1 k1 1 k2 4y0 x0 2x0 y0 1 kk1 1 kk2 8 11 已知椭圆与直线相交于两点 22 1 22 1 0 xy Cab ab 10 xy AB 1 若椭圆的半焦距 直线与围成的矩形的面积为 8 3c xa yb ABCD 求椭圆的方程 2 如果又椭圆的离心率满足 求椭圆长轴长的取值范 22 11 2 ab e 32 32 e 围 12 在直角坐标系xOy中 已知中心在原点 离心率为 1 2 的椭圆 E 的一个焦点为圆 22 420C xyx 的圆心 求椭圆 E 的方程 设 P 是椭圆 E 上一点 过 P 作 两条斜率之积为 1 2 的直线 12 l l 当直线 12 l l都与圆C相切时 求 P 点坐标 解 1 2 2 1 1612 y x 2 设 00 P xy 得 10102020 lyykxxlyykxx 12 1 2 k k 依题意 2 0C到 1 l的距离为 1010 2 1 2 2 1 kyk x k 整理得 2 22 0100 10 222 220 xkxy ky 同理 2 22 020020 222