方差的计算公式

首页 教研中心 备课中心 智能考试系统 教学论坛 示范校展示 视频资源中心 当前位置 首页 备课中心 名名 师师 点点 拔拔 学科 数学学科 数学 教学内容 第十四章复习教学内容 第十四章复习 统计初步统计初步 单元知识总结单元知识总结 全章的主要内容及其有关知识的相互联系如图所表示 1 总体和样本 在统计中 我们把所要 的全体叫做总体 其中每一个考查对象叫做个体 从总体中抽取的一部分 叫总体的一个样本 样本中个体的 叫做样本容量 2 平均数 总体中所有个体的 叫做总体平均数 样本中所有个体的 叫做样本平均数 由于总体中数据的 个数较多 通常我们用样本平均数去估计总体平均数 一般地 样本容量越大 这种估计就越精确 平均数是反映样本 或一组数据 和总体的 的特征数 平均数反映这组数据的集中趋势 平均数的计算公式如下 1 n个数据x1 x2 xn 平均数x n 1 x1 x2 xn 2 加权平均数 如果在n个数据中 x1出现f1次 x2出现f2次 xk出现fk次 这里 f1 f2 fk n 则x n 1 x1f1 x2f2 xkfk 3 平均数的简化公式 当一组数据x1 x2 xn中的各个数值较大 并且 都与常数a接近时 可将它们同时减去a 得到一组新数据x1 x2 xn 则有 x1 x1 a x2 x2 a xn xn a 这里有x x a 3 方差 在一组数据x1 x2 xn中 各个数据与它们的 叫做这组数据的方差 记作S2 方差的计算公式如下 1 S2 n 1 x1 x 2 x2 x 2 xn x 2 2 S2 n 1 x12 x22 xn2 nx 2 3 当一组数据x1 x2 xn中的各个数据的值较大 并且都与常数a接近时 可将它们同时减去a得到 一组新数据x1 x2 xn 则原数据的方差等于新数据的方差 S2 S 2 即若x1 x1 a x2 x2 a xn xn a 则 S2 n 1 x1 2 x 22 xn 2 n x 2 4 标准差 方差 S2 的 叫做标准差 S 标准差的计算公式如下 S 1 22 2 2 1 xxxxxx n n 5 中位数与众数 反映一组数据集中趋势的量除了平均数外还有中位数和众数 将一组数据按大小依次排列 把处在 叫做这组数据的中位数 如果数据的个数为偶数 中位数就是处在 最中间位置上 在一组数据中 出现 的数据叫做这组数据的众数 6 频率分布 1 基本概念 分组 将一组数据按照统一的标准分成若干组称为分组 频数 每个小组内的数据的个数叫做该组的频数 各小组频数之和 等于 频率 每一小组的频数与数据总数的比值叫做这一小组的频率 各小组频率之和 频率分布表 将这组数据的分组及各组相应的频数 频率所列成的表格叫频率分布表 频率分布直方图 将频率分布表中的结果绘成的 以数据的各分点为横坐标 以频率除以组距为纵坐标的直方图叫 做频率分布直方图 图中每个小长方形的高等于该组的频率除以组距 每个小长方形的面积等于该组的频率 所有小 长方形面积之和等于各组频率之和 等于 1 样本的频率分布反映样本中各组数据的个数分别占样本容量n的比例的大小 总体分布反映总体中各组数据 的个数分别在总体中所占比例的大小 一般是用样本的频率分布去估计总体的频率分布 2 研究频率分布的方法步骤 得到一组数据的频率分布的方法 一般是先整理数据 后画频率分布直方图 其步骤是 计算 决定 决定 列 画 例 1 为了考查一块麦田里小麦植株的高度 从中抽取了 10 株 测得各株的高度如下 单位 cm 83 83 86 84 86 84 83 86 82 85 1 在这个问题中 总体 个体 样本和样本容量各指什么 2 计算样本平均数 1 解 总体 这块麦田株高的全体 个体 每株小麦的高度 样本 所取 10 株小麦的高度 样本容量 10 2 解法一 x 10 1 83 83 86 84 86 84 83 86 82 85 10 1 842 84 2 即所抽取的 10 株 小麦平均高度是 84 2 cm 解法二 这组数据都在 85 左右波动 取a 85 将上面各数据同时减去 85 得到一组新数据 1 2 1 1 1 2 1 3 0 2 这组数据的平均数为 x 10 1 1 2 1 1 1 2 1 3 0 0 8 所以所求的平均数为x x a 84 2 即所抽取的 10 株小麦平均高度是 84 2 cm 说明 1 要理解总体的含义 本题所考查的对象是小麦株高的全体 而不是所有麦株的全体 因此总体是 这块麦田小麦株高的全体 2 计算平均数要先分析所给数据的特点 并采用较为简单的计算方法 如本例的解法二 例 2 为了了解某中学初中三年级 175 名男学生的身高情况 从中抽测了 50 名男生的身高 下面是数据整理 与计算的一部分 1 在这个问题中 总体和样本各指什么 2 填写频率分布表中未完成的部分 3 根据数据整理与计算回答下列问题 该校初三年级男生身高在 155 5 159 5 cm 范围内的人数约为多少 占多大比例 估计该校初三年级男学生的平均身高 解 1 总体是指某中学初中三年级 175 名男学生的身高的全体 所抽取的 50 名男学生的身高是一个样 本 2 第一列 163 5 167 5 第三列 4 第四列 0 30 1 00 3 该校初中三年级男学生身高在 155 5 159 5 cm 范围内的人数约为 14 人 占 8 根据样本平均数可以估计 该校初中三年级男学生的平均身高约为 164 cm 说明 运用统计思想解决实际问题 要对统计思想有正确的认识 弄懂总体 个体 样本 样本容量等概念 及用样本估计总体的基本思想 并能结合实际需要进行简单的数据整理 解答时要注意 3 中问的是该校 初中三年级男学生身高在此范围内的人数 而不是样本中的人数 在 3 中 语言表达要准确 应该是用样 本的平均数去估计总体平均数 图 14 4 例 3 育才中学为方便学生中午在校就餐 与某饮食服务公司联系为学生供应价格不等的六种盒饭 每人只限 一份 图 14 4 是某一天销售情况统计表 条形框上的百分数是销售的该种盒饭占总销售量的百分数 若这一 天销售了 150 份盒饭 1 试求出这一天学生购买盒饭所付饭费的平均数和中位数 2 若饮食服务公司加工各种盒饭的成本如表二所示 这一天的销售中 饮食服务公司共盈利多少元 单价 元 234567 成本 元 1 82 433 84 24 5 解 1 将各百分数乘以 150 得单价为 2 7 元 盒饭的份数分别为 12 27 42 39 21 9 饭费的平均数为x x 150 97216395424273122 4 38 元 由于单价为 5 元 6 元 7 元的盒饭的份数分别为 39 21 9 合计为 69 份 单价为 4 元以下的盒饭的份数为 12 27 39 份 所以学生购买盒饭所付饭费的中位数为 4 元 2 服务公司的利润 2 1 8 12 3 2 4 27 4 3 42 5 3 8 39 6 4 2 21 7 4 5 9 2 4 16 2 42 46 8 37 8 22 5 167 7 元 单元达纲训练单元达纲训练 1 选择题 1 若x1 x2 x10 10 则x1 a x2 a x10 a的平均数为 A 1 aB 1 a C 1 10aD 10 a 2 从鱼塘捕得同时放养的草鱼 240 尾 从中任选 9 尾 称得每尾鱼的质量分别是 1 5 1 6 1 4 1 6 1 3 1 4 1 2 1 7 1 8 单位 千克 依此估计这 240 尾鱼的总质量大约是 A 300 千克B 360 千克 C 36 千克D 30 千克 3 样本 8 8 9 10 12 12 12 13 的中位数和众数分别是 A 11 3B 10 12 C 12 12D 11 12 4 一名射击运动员连续射靶 8 次 命中的环数如下 8 9 10 9 8 7 10 8 这名运动员射击环数的众 数与中位数分别是 A 3 与 8B 8 与 8 5 C 8 5 与 9D 8 与 9 5 10 名工人某天生产同一种零件 生产的件数分别是 45 50 75 50 20 30 50 80 20 30 设这 些零件数的平均数为a 众数为b 中位数为c 那么 A a b cB b c a C b a cD a c b 6 下列说法中 错误的是 A 在统计里 把所有要考察对象的全体叫做总体 B 平均数 众数与中位数从不同的角度描述了一组数据的集中趋势 C 一组数据的方差越大 说明这组数据的波动越大 D 一组数据的平均数一定大于这组数据中的每个数据 7 给出两组数据 甲组 20 21 23 24 26 乙组 100 101 103 104 106 那么下列结论正确的是 A S甲2 S乙2B S甲2 S乙2 C S甲2 S乙2D S甲 S乙 8 下列说法中 正确的个数是 数据 2 4 6 8 的中位数是 4 6 数据 1 2 2 3 4 4 的众数是 2 4 一组数据的平均数 中位数 众数有可能是同一个数据 在 50 个数据的频率分布表中 若分五组 中间一组的频数是 15 则中间一组的频率是 0 30 A 1B 2 C 3D 4 9 某中学数学教研组有 25 名教师 将他们的年龄分成 3 组 在 38 45 岁 组内有 8 名教师 那么这个 小组的频率是 A 0 32B 0 121 C 0 24D 0 38 10 已知a b c三数的平均数为 4 a b c d四个数的平均数是 5 则d的值为 A 4B 8 C 12D 20 2 填空题 1 2 3 2 1 2 0 1 2 1 这组数据的众数是 中位数是 2 样本 1 2 3 m 5 的平均数x 3 则m 方差S2 3 某次考试 5 名学生A B C D E平均得分 62 分 若学生A除外 其余学生的平均得分是 60 分 那么 学生A得分是 分 4 一样本方差的计算公式是S2 8 1 x1 2 2 x2 2 2 x8 2 2 它的容量是 数据的平均数是 样本的平方和是 80 时 标准差是 5 在绘制频率分布直方图时 若选用的组距为 3 那么频率为 0 45 的小组对应的小长方形的高应为 6 在对 50 个数据进行整理的频率分布表中 各组的频数之和等于 各组的频率之和等于 7 如果一个有 40 个数据样本的平均数是 5 标准差为 3 则这个样本数据的平方和为 8 已知样本 2 8 4 5 5 6 3 9 1 7 的方差是 1 82 则样本 52 8 54 5 55 6 53 9 51 7 的方差是 3 某乡镇外出务工人员共有 40 名 为了了解他们在某一个月内的收入情况 随意抽取的 10 名务工人员在一 个月内的收入如下 单位 元 450 420 500 450 500 600 500 480 480 500 1 求这 10 名务工人员在这一个月内收入的众数及中位数 2 求这 10 名务工人员在这一个月收入的平均数 并根据结果估计该乡镇所有外出务工人员在这个月内的 总收入约是多少 4 甲 乙两名学生期末六科考试成绩如下表 政治语文外语数学物理化学 甲 888491967681 乙 839589938967 1 求甲 乙二人的各科学习成绩的平均数 2 求甲 乙两组数据的方差和标准差 3 比较两名学生谁的学习成绩比较均衡 5 一组数 2 4 6 a b的平均数为 10 1 求a b的平均数 2 求 4a 7 4b 10 的平均数 6 有 10 个样本数据 2 出现过 4 次 2 5 出现过 4 次 3 出现过 2 次 求样本平均数和方差 7 某厂三个车间 第一车间 80 人 平均每人日产值 800 元 第二车间 50 人 平均每人日产值 1000 元 第 三车间 20 人 平均每人日产值 600 元 求全厂工人的平均日产值 8 如图 14 5 是学校教师的年龄的频率分布直方图 根据图中提供的信息 回答下列问题 图 14 5 1 该单位教师共有多少人 2 不小于 38 但小于 44 岁的教师人数占职工总人数的百分比是多少 3 如果 42 岁的教师有 4 人 那么年龄在 42 岁以上的职工有几人 9 在学校开展的综合实践活动中 某班进行了小制作评比 作品上交时间为 5 月 1 日至 30 日 评委会把同 学们上交作品的件数按 5 天一组分组统计 绘制频率分布直方图如图 14 6 已知从左至右各长方形的高的比为 2 3 4 6 4 1 第三组的频数为 12 请回答下列问题 图 14 6 1 本次活动共有多少件作品参加评比 2 哪组上交的作品数量最多 有多少件 3 经评委评比 第四组和第六组分别有 10 件和 2 件作品获奖 问这两组哪组获奖率较高 参考答案参考答案 单元知识归纳单元知识归纳 1 考察对象 个体 数目 2 平均数 平均数 平均 3 平均数的差的平方的平均数 4 算术平方根 5 最中间位置的一个数据 或最中间两个数据的平均数 两个数的平均数次数最多 6 1 数据总数 为 1 2 最大值与最小值的差 组距和组数 分点 频率分布表 频率分布直方图 单元达纲训练单元达纲训练 1 1 B 2 B 3 D 4 B 5 D 6 D 7 C 8 C 9 A 10 B 2 1 2 1 2 4 2 3 70 4 8 2 6 5 0 15 6 50 1 7 1120 8 1 82 3 1 500 490 2 488 元 19520 元 4 1 x甲 86 x乙 86 2 S甲2 43 S甲 6 56 S乙2 86 33 S乙 9 29 3 甲的学习成绩比较均衡 5 1 19 2 84 5 6 x 2 4 S2 0 14 7 840 元 8 1 该单位共有职工 50 人 2 38 44 岁之