圆与方程知识点整理

关于圆与方程的知识点整理关于圆与方程的知识点整理 一 标准方程一 标准方程 22 2 xaybr 二 一般方程 二 一般方程 2222 040 xyDxEyFDEF 1 表示圆方程则 22 0AxByCxyDxEyF 22 22 00 00 40 40 ABAB CC DEAF DEF AAA 2 求圆的一般方程一般可采用待定系数法 3 常可用来求有关参数的范围 22 40DEF 三 点与圆的位置关系三 点与圆的位置关系 1 判断方法 点到圆心的距离与半径的大小 点在圆内 点在圆上 点在圆外drdr dr dr 2 涉及最值 1 圆外一点 圆上一动点 讨论的最值BPPB min PBBNBCr max PBBMBCr 2 圆内一点 圆上一动点 讨论的最值APPA min PAANrAC max PAAMrAC 四 直线与圆的位置关系四 直线与圆的位置关系 1 判断方法 为圆心到直线的距离 1 相离没有公共点 2 相切只有一d 0dr 个公共点 3 相交有两个公共点 0dr 0dr 这一知识点可以出如此题型 告诉你直线与圆相交让你求有关参数的范围这一知识点可以出如此题型 告诉你直线与圆相交让你求有关参数的范围 2 直线与圆相切 1 知识要点 基本图形 主要元素 切点坐标 切线方程 切线长等 问题 直线 与圆相切意味着什么 圆心圆心到直线到直线 的距离恰好等于半径的距离恰好等于半径lCClr 2 常见题型 求过定点的切线方程 切线条数 点在圆外 两条 点在圆上 一条 点在圆内 无 求切线方程的方法及注意点 i 点在圆外 如定点 圆 00 P xy 22 2 xaybr 22 2 00 xaybr 第一步 设切线 方程 第二步 通过 从而得到切线方程l 00 yyk xx dr k 特别注意 特别注意 以上解题步骤仅对存在有效 当不存在时 应补上 千万不要漏了 kk 如 过点作圆的切线 求切线方程 1 1P 22 46120 xyxy ii 点在圆上 1 若点在圆上 则切线方程为 00 xy 222 xyr 2 00 x xy yr 2 若点在圆上 则切线方程为 00 xy 22 2 xaybr 2 00 xaxaybybr 由上述分析 过一定点求某圆的切线方程 非常重要的第一步 判断点与圆的位置关系 得出切线的条数 求切线长 利用基本图形 222 22 APCPrAPCPr 求切点坐标 利用两个关系列出两个方程 1 ACAP ACr kk 3 直线与圆相交 1 求弦长及弦长的应用问题 垂径定理及勾股定理 常用 弦长公式 2 22 121212 114lkxxkxxx x 2 判断直线与圆相交的一种特殊方法 直线过定点 而定点恰好在圆内 3 关于点的个数问题 例 若圆上有且仅有两个点到直线的距离为 1 则半径的取值范围是 22 2 35xyr 4320 xy r 答案 4 6 4 直线与圆相离 会对直线与圆相离作出判断 特别是涉及一些参数时 五 对称问题五 对称问题 1 若圆 关于直线 则实数的值为 222 120 xymxmym 10 xy m 答案 3 注意 时 故舍去 1m 22 40DEF 变式 已知点是圆 上任意一点 点关于直线的对称点在圆AC 22 450 xyaxy A210 xy 上 则实数 Ca 2 圆关于直线对称的曲线方程是 22 131xy 0 xy 变式 已知圆 与圆 关于直线 对称 则直线 的方程 1 C 22 421xy 2 C 22 241xy ll 为 3 圆关于点对称的曲线方程是 22 311xy 2 3 4 已知直线 与圆 问 是否存在实数使自发出的光线被直线 反射后lyxb C 22 1xy b 3 3Al 与圆相切于点 若存在 求出的值 若不存在 试说明理由 C 247 25 25 B b 六 最值问题六 最值问题 方法主要有三种 1 数形结合 2 代换 3 参数方程 1 已知实数 满足方程 求 xy 22 410 xyx 1 的最大值和最小值 看作斜率 2 的最小值 截距 线性规划 5 y x yx 3 的最大值和最小值 两点间的距离的平方 22 xy 2 已知中 点是内切圆上一点 求以 为AOB 3OB 4OA 5AB PAOB PAPBPO 直径的三个圆面积之和的最大值和最小值 数形结合和参数方程两种方法均可 3 设为圆上的任一点 欲使不等式恒成立 则的取值范围是 P x y 2 2 11xy 0 xyc c 答案 数形结合和参数方程两种方法均可 21c 七 圆的参数方程七 圆的参数方程 为参数 为参 222 cos 0 sin xr xyrr yr 22 2 cos 0 sin xar xaybrr ybr 数 八 相关应用八 相关应用 1 若直线 始终平分圆的周长 则的取值范围是240mxny mnR 22 4240 xyxy m n 2 已知圆 问 是否存在斜率为 1 的直线 使 被圆截得的弦为 以C 22 2440 xyxy llCAB 为直径的圆经过原点 若存在 写出直线 的方程 若不存在 说明理由 ABl 提示 或弦长公式 答案 或 1212 0 x xy y 2 12 1dkxx 10 xy 40 xy 3 已知圆 点 设点是圆上的动点 求C 22 341xy 0 1A 0 1BPC 22 dPAPB 的最值及对应的点坐标 dP 4 已知圆 直线 C 22 1225xy l 211740mxmym mR 1 证明 不论取什么值 直线 与圆均有两个交点 mlC 2 求其中弦长最短的直线方程 5 若直线与曲线恰有一个公共点 则的取值范围 yxk 2 1xy k 6 已知圆与直线交于 两点 为坐标原点 问 是否存在实数 22 60 xyxym 230 xy PQO 使 若存在 求出的值 若不存在 说明理由 mOPOQ m 九 圆与圆的位置关系九 圆与圆的位置关系 1 判断方法 几何法 为圆心距 1 外离 2 外切 d 12 drr 12 drr 3 相交 4 内切 5 内含 1212 rrdrr 12 drr 12 drr 2 两圆公共弦所在直线方程 圆 圆 1 C 22 111 0 xyD xE yF 2 C 22 222 0 xyD xE yF 则为两相交圆公共弦方程 121212 0DDxEEyFF 补充说明 补充说明 若与相切 则表示其中一条公切线方程 若与相离 则表示连心线的中垂线方程 1 C 2 C 1 C 2 C 3 圆系问题 1 过两圆 和 交点的圆系方程为 1 C 22 111 0 xyD xE yF 2 C 22 222 0 xyD xE yF 2222 111222 0 xyD xE yFxyD xE yF 1 说明 说明 1 上述圆系不包括 2 当时 表示过两圆交点的直线方程 公共弦 2 C1 2 过直线与圆交点的圆系方程0AxByC 22 0 xyDxEyF 22 0 xyDxEyFAxByC 3 两圆公切线的条数问题 相内切时 有一条公切线 相外切时 有三条公切线 相交时 有两条 公切线 相离时 有四条公切线 十 轨迹方程十 轨迹方程 1 定义法 圆的定义 2 直接法 通过已知条件直接得出某种等量关系 利用这种等量关系 建立起动点坐标的关系式 轨迹方 程 例 过圆外一点作圆的割线 求割线被圆截得的弦的中点的轨迹方程 22 1xy 2 0A 分析 222 OPAPOA 3 相关点法 平移转换法 一点随另一点的变动而变动 特点为 主动点一定在某一已知的方程所表示的 固定 轨迹上运动 例 1 如图 已知定点 点是圆上的动点 的平分线交于 当点在圆 2 0AQ 22 1xy AOQ AQMQ 上移动时 求动点的轨迹方程 M 分析 角平分线定理和定比分点公式 例 2 已知圆 点 是圆上的两个动点 呈逆时针方向排列 且O 22 9xy 3 0ABCOABC 求的重心的轨迹方程 3 BAC ABC G 法 1 为定长且等于 3 BAC BC 3 3 设 则 G x y 3 33 33 ABCBC ABCBC xxxxx x yyyyy y 取的中点为 BC 3 3 2 4 E x 3 3 3 42 E y 1 222 OECEOC 22 9 4 EE xy 2 2 2 2 BC E BCE BCEBC E xx x xxx yyyyy y 3233 32 23 23 E E E E xx xx y yyy 故由 1 得 22 2 2 333933 110 1 22422 x yxyxy 法 2 参数法 设 由 则 3cos 3sinB 2 2 3 BOCBAC 22 3cos 3sin 33 C 设 则 G x y 2 33cos3cos 23 1 coscos1 333 2 3sin3sin 23 sinsin2 333 ABC ABC xxx x yyy y 由得 4 33 2 2 112 2 2 33 110 1 22 xyxy 参数法的本质是将动点坐标中的和都用第三个变量 即参数 表示 通过消参得到动点轨迹方 x yxy 程 通过参数的范围得出 的范围 xy 4 求轨迹方程常用到得知识 重心 中点 G x y 3 3 ABC ABC xxx x yyy y P x y 12 12 2 2 xx x yy y 内角平分线定理 BDAB CDAC 定比分点公式 则 AM MB 1 AB M xx x 1 AB M yy y 韦达定理 高中数学圆的方程典型例题高中数学圆的方程典型例题 类型一 圆的方程类型一 圆的方程 例例 1 求过两点 4 1 A 2 3 B且圆心在直线0 y上的圆的标准方程并判断点 4 2 P与圆的关系 圆的方程为20 1 22 yx 点P在圆外 例例 2 求半径为 4 与圆0424 22 yxyx相切 且和直线0 y相切的圆的方程 圆的方程为 222 4 4 622 yx 或 222 4 4 622 yx 例例 3 求经过点 5 0 A 且与直线02 yx和02 yx都相切的圆的方程 分析 分析 欲确定圆的方程 需确定圆心坐标与半径 由于所求圆过定点A 故只需确定圆心坐标 又圆与 两已知直线相切 故圆心必在它们的交角的平分线上 解 解 圆和直线02 yx与02 yx相切 圆心C在这两条直线的交角平分线上 又圆心到两直线02 yx和02 yx的距离相等 5 2 5 2yxyx 两直线交角的平分线方程是03 yx或03 yx 又 圆过点 5 0 A 圆心C只能在直线03 yx上 设圆心 3 ttC C到直线02 yx的距离等于AC 22 53 5 32 tt tt 化简整理得056 2 tt 解得 1 t或5 t 圆心是 3 1 半径为5或圆心是 15 5 半径为55 所求圆的方程为5 3 1 22 yx或125 15 5 22 yx 说明 说明 本题解决的关键是分析得到圆心在已知两直线的交角平分线上 从而确定圆心坐标得到圆的方程 这是过定点且与两已知直线相切的圆的方程的常规求法 例例 4 设圆满足 1 截y轴所得弦长为 2 2 被x轴分成两段弧 其弧长的比为1 3 在满足条件 1 2 的所 有圆中 求圆心到直线02 yxl 的距离最小的圆的方程 分析 分析 要求圆的方程 只须利用条件求出圆心坐标和半径 便可求得圆的标准方程 满足两个条件的圆有 无数个 其圆心的集合可看作动点的轨迹 若能求出这轨迹的方程 便可利用点到直线的距离公式 通过求最 小值的方法找到符合题意的圆的圆心坐标 进而确定圆的半径 求出圆的方程 解法一 解法一 设圆心为 baP 半径为r 则P到x轴 y轴的距离分别为b和a 由题设知 圆截x轴所得劣弧所对的圆心角为 90 故圆截x轴所得弦长为r2 22 2br 又圆截y轴所得弦长为 2 1 22 ar 又 baP到直线02 yx的距离为 5 2ba d 2 2 25bad abba44 22 24 2222 baba 12 22 ab 当且仅当ba 时取 号 此时 5 5 min d 这时有 12 22 ab ba 1 1 b a 或 1 1 b a 又22 22 br 故所求圆的方程为2 1 1 22 yx或2 1 1 22 yx 解法二 解法二 同解法一 得 5 2ba d dba52 222 5544dbdba 将12 22 ba代入上式得 015542 22 dbdb 上述方程有实根 故 0 15 8 2 d 5 5 d 将 5 5 d代入方程得1 b 又12 22 ab 1 a 由12 ba知a b同号 故所求圆的方程为2 1 1 22 yx或2 1 1 22 yx 说明 说明 本题是求点到直线距离最小时的圆的方程 若变换为求面积最小呢 类型二 切线方程 切点弦方程 公共弦方程类型二 切线方程 切点弦方程 公共弦方程 例例 5 已知圆4 22 yxO 求过点 42 P与圆O相切的切线 解 解 点 42 P不在圆O上 切线PT的直线方程可设为 42 xky 根据rd 2 1 42 2 k k 解得 4 3 k 所以 42 4 3 xy 即 01043 yx 因为过圆外一点作圆得切线应该有两条 可见另一条直线的斜率不存在 易求另一条切线为2 x 说明 说明 上述解题过程容易漏解斜率不存在的情况 要注意补回漏掉的解 本题还有其他解法 例如把所设的切线方程代入圆方程 用判别式等于 0 解决 也要注意漏解 还可以 运用 2 00 ryyxx 求出切点坐标 0 x 0 y的值来解决 此时没有漏解 例例 6 两圆0 111 22 1 FyExDyxC 与0 222 22 2 FyExDyxC 相交于A B两点 求它们 的公共弦AB所在直线的方程 分析 分析 首先求A B两点的坐标 再用两点式求直线AB的方程 但是求两圆交点坐标的过程太繁 为 了避免求交点 可以采用 设而不求 的技巧 解 解 设两圆 1 C 2 C的任一交点坐标为 00 yx 则有 0 10101 2 0 2 0 FyExDyx 0 20202 2 0 2 0 FyExDyx 得 0 21021021 FFyEExDD A B的坐标满足方程0 212121 FFyEExDD 方程0 212121 FFyEExDD是过A B两点的直线方程 又过A B两点的直线是唯一的 两圆 1 C 2 C的公共弦AB所在直线的方程为0 212121 FFyEExDD 说明 说明 上述解法中 巧妙地避开了求A B两点的坐标 虽然设出了它们的坐标 但并没有去求它 而 是利用曲线与方程的概念达到了目标 从解题的角度上说 这是一种 设而不求 的技巧 从知识内容的角度 上说 还体现了对曲线与方程的关系的深刻理解以及对直线方程是一次方程的本质认识 它的应用很广泛 例例 7 过圆外一点 作这个圆的两条切线 切点分别是 求直线的1 22 yx 3 2 MMAMBABAB 方程 练习 1 求过点 且与圆相切的直线 的方程 3 1 M 22 1 4xy l 解 设切线方程为 即 1 3 yk x 310kxyk 圆心到切线 的距离等于半径 1 0 l2 解得 2 2 31 2 1 kk k 3 4 k 切线方程为 即 3 1 3 4 yx 34130 xy 当过点的直线的斜率不存在时 其方程为 圆心到此直线的距离等于半径 M3x 1 0 2 故直线也适合题意 3x 所以 所求的直线 的方程是或 l34130 xy 3x 2 过坐标原点且与圆相切的直线的方程为 0 2 5 24 22 yxyx 解 设直线方程为 即 圆方程可化为 圆心为 2 1 半径kxy 0 ykx 2 5 1 2 22 yx 为 依题意有 解得或 直线方程为或 2 10 2 10 1 12 2 k k 3 k 3 1 kxy3 xy 3 1 3 已知直线与圆相切 则的值为 0125 ayx02 22 yxxa 解 圆的圆心为 1 0 半径为 1 解得或 1 1 22 yx 1 125 5 22 a 8 a18 a 类型三 弦长 弧问题类型三 弦长 弧问题 例 8 求直线被圆截得的弦的长 063 yxl042 22 yxyxCAB 例 9 直线截圆得的劣弧所对的圆心角为 0323 yx4 22 yx 解 依题意得 弦心距 故弦长 从而 OAB 是等边三角形 故截得的劣弧3 d22 22 drAB 所对的圆心角为 3 AOB 例 10 求两圆和的公共弦长02 22 yxyx5 22 yx 类型四 直线与圆的位置关系类型四 直线与圆的位置关系 例 11 已知直线和圆 判断此直线与已知圆的位置关系 0323 yx4 22 yx 例 12 若直线与曲线有且只有一个公共点 求实数的取值范围 mxy 2 4xy m 解 曲线表示半圆 利用数形结合法 可得实数的取值范围是 2 4xy 0 4 22 yyxm 或 22 m22 m 例例 13 圆9 3 3 22 yx上到直线01143 yx的距离为 1 的点有几个 分析 分析 借助图形直观求解 或先求出直线 1 l 2 l的方程 从代数计算中寻找解答 解法一 解法一 圆9 3 3 22 yx的圆心为 3 3 1 O 半径3 r 设圆心 1 O到直线01143 yx的距离为d 则32 43 113433 22 d 如图 在圆心 1 O同侧 与直线01143 yx平行且距离为 1 的直线 1 l与圆有两个交点 这两个交点符 合题意 又123 dr 与直线01143 yx平行的圆的切线的两个切点中有一个切点也符合题意 符合题意的点共有 3 个 解法二 解法二 符合题意的点是平行于直线01143 yx 且与之距离为 1 的直线和圆的交点 设所求直线 为043 myx 则1 43 11 22 m d 511 m 即6 m 或16 m 也即 0643 1 yxl 或01643 2 yxl 设圆9 3 3 22 1 yxO 的圆心到直线 1 l 2 l的距离为 1 d 2 d 则 3 43 63433 22 1 d 1 43 163433 22 2 d 1 l与 1 O相切 与圆 1 O有一个公共点 2 l与圆 1 O相交 与圆 1 O有两个公共点 即符合题意的点共 3 个 说明 说明 对于本题 若不留心 则易发生以下误解 设圆心 1 O到直线01143 yx的距离为d 则32 43 113433 22 d 圆 1 O到01143 yx距离为 1 的点有两个 显然 上述误解中的d是圆心到直线01143 yx的距离 rd 只能说明此直线与圆有两个交点 而不能说明圆上有两点到此直线的距离为 1 到一条直线的距离等于定值的点 在与此直线距离为这个定值的两条平行直线上 因此题中所求的点就是 这两条平行直线与圆的公共点 求直线与圆的公共点个数 一般根据圆与直线的位置关系来判断 即根据圆心 与直线的距离和半径的大小比较来判断 练习 1 直线与圆没有公共点 则的取值范围是 1 yx 0 02 22 aayyxa 解 依题意有 解得 a a 2 1 1212 a0 a120 a 练习 2 若直线与圆有两个不同的交点 则的取值范围是 2 kxy1 3 2 22 yxk 解 依题意有 解得 的取值范围是 1 1 12 2 k k 3 4 0 kk 3 4 0 3 圆0342 22 yxyx上到直线01 yx的距离为2的点共有 A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个 分析 分析 把0342 22 yxyx化为 821 22 yx 圆心为 21 半径为22 r 圆心 到直线的距离为2 所以在圆上共有三个点到直线的距离等于2 所以选 C 4 过点 43 P作直线l 当斜率为何值时 直线l与圆 421 22 yxC 有公共点 如图所示 分析 分析 观察动画演示 分析思路 解 解 设直线l的方程为 34 xky 即 043 kykx 根据rd 有 2 1 432 2 k kk 整理得 043 2 kk 解得 3 4 0 k 类型五 圆与圆的位置关系类型五 圆与圆的位置关系 问题导学四 圆与圆位置关系如何确定 例 14 判断圆与圆的位置关系 02662 22 1 yxyxC0424 22 2 yxyxC 例 15 圆和圆的公切线共有 条 02 22 xyx04 22 yyx 解 圆的圆心为 半径 圆的圆心为 半径1 1 22 yx 0 1 1 O1 1 r4 2 22 yx 2 0 2 O 两圆相交 共有 2 条公切线 2 2 r1 3 5 122121 rrrrOO 212112 rrOOrr 练习 1 若圆与圆相切 则实数的取值集合是 042 222 mmxyx08442 222 mmyxyxm 解 圆的圆心为 半径 圆的圆心为4 22 ymx 0 1 mO2 1 r9 2 1 22 myx 半径 且两圆相切 或 或 2 1 2 mO 3 2 r 2121 rrOO 1221 rrOO 5 2 1 22 mm P E O y x 解得或 或或 实数的取值集合是1 2 1 22 mm 5 12 m2 m0 m 2 5 mm 2 0 2 5 5 12 2 求与圆外切于点 且半径为的圆的方程 5 22 yx 2 1 P52 解 设所求圆的圆心为 则所求圆的方程为 两圆外切于点 1 baO20 22 byaxP 所求圆的方程为 1 3 1 OOOP 3 1 2 1 ba 6 3 ba20 6 3 22 yx 类型六 圆中的对称问题类型六 圆中的对称问题 例 16 圆关于直线对称的圆的方程是 22 2690 xyxy 250 xy 例例 17 自点 33 A发出的光线l射到x轴上 被x轴反射 反射光线所 在的直线与圆0744 22 yxyxC 相切 1 求光线l和反射光线所在的直线方程 2 光线自A到切点所经过的路程 分析 略解 分析 略解 观察动画演示 分析思路 根据对称关系 首先求出点 A的对称点 A 的坐标为 33 其次设过 A 的圆C的切线方程为 33 xky 根据rd 即求出圆C的切线的斜率为 3 4 k或 4 3 k 进一步求出反射光线所在的直线的方程为 0334 yx或0343 yx 最后根据入射光与反射光关于x轴对称 求出入射光所在直线方程为 0334 yx或0343 yx 光路的距离为MA 可由勾股定理求得7 222 CMCAMA 说明 说明 本题亦可把圆对称到x轴下方 再求解 类型七 圆中的最值问题类型七 圆中的最值问题 G OB N M y A x 图 3 C A 例 18 圆上的点到直线的最大距离与最小距离的差是 01044 22 yxyx014 yx 解 圆的圆心为 2 2 半径 圆心到直线的距离18 2 2 22 yx23 r 直线与圆相离 圆上的点到直线的最大距离与最小距离的差是rd 25 2 10 262 rrdrd 例例 19 1 已知圆1 4 3 22 1 yxO yxP为圆O上的动点 求 22 yxd 的最大 最小值 2 已知圆1 2 22 2 yxO yxP为圆上任一点 求 1 2 x y 的最大 最小值 求yx2 的最大 最小值 分析 分析 1 2 两小题都涉及到圆上点的坐标 可考虑用圆的参数方程或数形结合解决 解 解 1 法 1 由圆的标准方程1 4 3 22 yx 可设圆的参数方程为 sin4 cos3 y x 是参数 则 2222 sinsin816coscos69 yxd cos 1026sin8cos626 其中 3 4 tan 所以361026 max d 161026 min d 法 2 圆上点到原点距离的最大值 1 d等于圆心到原点的距离 1d加上半径 1 圆上点到原点距离的最小值 2 d等于圆心到原点的距离 1d减去半径 1 所以6143 22 1 d 4143 22 2 d 所以36 max d 16 min d 2 法 1 由1 2 22 yx得圆的参数方程 sin cos2 y x 是参数 则 3cos 2sin 1 2 x y 令t 3cos 2sin 得tt32cossin tt32 sin 1 2 1 sin 1 32 2 t t 4 33 4 33 t 所以 4 33 max t 4 33 min t 即 1 2 x y 的最大值为 4 33 最小值为 4 33 此时 cos 52sin2cos22 yx 所以yx2 的最大值为52 最小值为52 法 2 设k x y 1 2 则02 kykx 由于 yxP是圆上点 当直线与圆有交点时 如图所示 两条切线的斜率分别是最大 最小值 由1 1 22 2 k kk d 得 4 33 k 所以 1 2 x y 的最大值为 4 33 最小值为 4 33 令tyx 2 同理两条切线在x轴上的截距分别是最大 最小值 由1 5 2 m d 得52 m 所以yx2 的最大值为52 最小值为52 例 20 已知 点在圆上运动 则的最小值是 0 2 A 0 2 BP4 4 3 22 yx 22 PBPA 解 设 则 设圆心为 yxP828 2 2 2 2 222222 22 OPyxyxyxPBPA 4 3 C 则 的最小值为 325 min rOCOP 22 PBPA 26832 2 练习 1 已知点在圆上运动 yxP1 1 22 yx 1 求的最大值与最小值 2 求的最大值与最小值 2 1 x y yx 2 解 1 设 则表示点与点 2 1 连线的斜率 当该直线与圆相切时 取得最大值与k x y 2 1 k yxPk 最小值 由 解得 的最大值为 最小值为 1 1 2 2 k k 3 3 k 2 1 x y 3 3 3 3 2 设 则表示直线在轴上的截距 当该直线与圆相切时 取得最大值与最myx 2mmyx 2ym 小值 由 解得 的最大值为 最小值为 1 5 1 m 51 myx 251 51 2 设点 yxP是圆1 22 yx是任一点 求 1 2 x y u的取值范围 分析一 分析一 利用圆上任一点的参数坐标代替x y 转化为三角问题来解决 解法一 解法一 设圆1 22 yx上任一点 sin cos P 则有 cos x sin y 2 0 1cos 2sin u 2sincos uu 2 sincos uu 即2 sin 1 2 uu u tan 1 2 sin 2 u u 又 1 sin 1 1 2 2 u u 解之得 4 3 u 分析二 分析二 1 2 x y u的几何意义是过圆1 22 yx上一动点和定点 2 1 的连线的斜率 利用此直线与 圆1 22 yx有公共点 可确定出u的取值范围 解法二 解法二 由 1 2 x y u得 1 2 xuy 此直线与圆1 22 yx有公共点 故点 0 0 到直线的距离 1 d 1 1 2 2 u u 解得 4 3 u 另外 直线 1 2 xuy与圆1 22 yx的公共点还可以这样来处理 由 1 1 2 22 yx xuy 消去y后得 0 34 42 1 2222 uuxuuxu 此方程有实根 故0 34 1 4 42 2222 uuuuu 解之得 4 3 u 说明 说明 这里将圆上的点用它的参数式表示出来 从而将求变量u的范围问题转化成三角函数的有关知识来 求解 或者是利用其几何意义转化成斜率来求解 使问题变得简捷方便 3 已知点 点在圆上运动 求的最大值和 2 4 6 2 2 2 CBAP4 22 yx 222 PCPBPA 最小值 类型八 轨迹问题类型八 轨迹问题 例 21 基础训练 已知点与两个定点 的距离的比为 求点的轨迹方程 M 0 0 O 0 3 A 2 1 M 例 22 已知线段的端点的坐标是 4 3 端点在圆上运动 求线段的中点ABBA4 1 22 yxAB 的轨迹方程 M 例例 23 如图所示 已知圆4 22 yxO 与y轴的正方向交于A点 点B在直线2 y上运动 过B做圆 O的切线 切点为C 求ABC 垂心H的轨迹 分析 分析 按常规求轨迹的方法 设 yxH 找yx 的关系非常难 由于H点随B C点运动而运动 可考虑H B C三点坐标之间的关系 解 解 设 yxH yxC 连结AH CH 则BCAH ABCH BC是切线BCOC 所以AHOC OACH OCOA 所以四边形AOCH是菱形 所以2 OACH 得 2 xx yy 又 yxC满足4 2 2 yx 所以 0 4 2 22 xyx即是所求轨迹方程 说明 说明 题目巧妙运用了三角形垂心的性质及菱形的相关知识 采取代入法求轨迹方程 做题时应注意分析 图形的几何性质 求轨迹时应注意分析与动点相关联的点 如相关联点轨迹方程已知 可考虑代入法 例例 24 已知圆的方程为 222 ryx 圆内有定点 baP 圆周上有两个动点A B 使PBPA 求矩 形APBQ的顶点Q的轨迹方程 分析 分析 利用几何法求解 或利用转移法求解 或利用参数法求解 解法一 解法一 如图 在矩形APBQ中 连结AB PQ交于M 显然ABOM PQAB 在直角三角形AOM中 若设 yxQ 则 2 2 byax M 由 222 OAAMOM 即 22222 4 1 2 2 rbyax byax 也即 2 22222 baryx 这便是Q的轨迹方程 解法二 解法二 设 yxQ 11 yxA 22 yxB 则 2 2 1 2 1 ryx 2 2 2 2 2 ryx 又 22 ABPQ 即 22 2121 22 21 2 21 22 yyxxryyxxbyax 又AB与PQ的中点重合 故 21 xxax 21 yyby 即 22 2121 222 yyxxrbyax 有 2 22222 baryx 这就是所求的轨迹方程 解法三 解法三 设 sin cos rrA sin cos rrB yxQ 由于APBQ为矩形 故AB与PQ的中点重合 即有 coscosrrax sinsinrrby 又由PBPA 有1 cos sin cos sin ar br ar br 联立 消去 即可得Q点的轨迹方程为 2 22222 baryx 说明 说明 本题的条件较多且较隐含 解题时 思路应清晰 且应充分利用图形的几何性质 否则 将使解题 陷入困境之中 本题给出三种解法 其中的解法一是几何方法 它充分利用了图形中隐含的数量关系 而解法二与解法三 从本质上是一样的 都可以称为参数方法 解法二涉及到了 1 x 2 x 1 y 2 y四个参数 故需列出五个方程 而解法三中 由于借助了圆 222 ryx 的参数方程 只涉及到两个参数 故只需列出三个方程便 可 上述三种解法的共同之处是 利用了图形的几何特征 借助数形结合的思想方法求解 练习 1 由动点向圆引两条切线 切点分别为 600 则动点的轨迹方P1 22 yxPAPBABAPB P 程是 解 设 600 300 化简得 yxPAPB OPA APOA 22 OAOP2 22 yx 动点的轨迹方程是 4 22 yxP4 22 yx 练习巩固 设为两定点 动点到点的距离与到点的距离的比为定值 0 0 0 ccBcAPAB 0 aa 求点的轨迹 P 解 设动点的坐标为 由 得 P yxP 0 aa PB PA a ycx ycx 22 22 化简得 0 1 1 2 1 1 2222222 acxacyaxa 当时 化简得 整理得 1 a 0 1 1 2 2 2 2 22 cx a ac yx 2 2 22 2 2 1 2 1 1 a ac yc a a x 当时 化简得 1 a0 x 所以当时 点的轨迹是以为圆心 为半径的圆 1 aP 0 1 1 2 2 c a a 1 2 2 a ac 当时 点的轨迹是轴 1 aPy 2 已知两定点 如果动点满足 则点的轨迹所包围的面积等于 0 2 A 0 1 BPPBPA2 P 解 设点的坐标是 由 得 化简得 P yxPBPA2 2222 1 2 2 yxyx 4 2 22 yx 点的轨迹是以 2 0 为圆心 2 为半径的圆 所求面积为 P 4 4 已知定点 点在圆上运动 是线段上的一点 且 问点的 0 3 BA1 22 yxMABMBAM 3 1 M 轨迹是什么 解 设 11 yxAyxMMBAM 3 1 3 3 1 11 yxyyxx 点在圆上运动 yyy xxx 3 1 3 3 1 1 1 yy xx 3 4 1 3 4 1 1 A1 22 yx1 2 1 2 1 yx 即 点的轨迹方程是 1 3 4 1 3 4 22 yx 16 9 4 3 22 yxM 16 9 4 3 22 yx 例 5 已知定点 点在圆上运动 的平分线交于点 则点的轨迹方程 0 3 BA1 22 yxAOB ABMM 是 解 设 是的平分线 由变式 1 可得点 11 yxAyxMOMAOB 3 1 OB OA MB AM MBAM 3 1 的轨迹方程是 M 16 9 4 3 22 yx 练习巩固 已知直线与圆相交于 两点 以 为邻边作平行四边形1 kxy4 22 yxABOAOB 求点的轨迹方程 OAPBP 解 设 的中点为 是平行四边形 是的中点 点的坐标为 yxPABMOAPBMOPM 2 2 yx 且 直线经过定点 ABOM 1 kxy 1 0 CCMOM 化简得 点的轨迹方程是0 1 2 2 2 1 2 2 2 2 2 yyxyxyx CMOM1 1 22 yxP 1 1 22 yx 类型九 圆的综合应用 例例 25 已知圆06 22 myxyx与直线032 yx相交于P Q两点 O为原点 且OQOP 求实数m的值 分析 分析 设P Q两点的坐标为 11 yx 22 yx 则由1 OQOP kk 可得0 2121 yyxx 再利用 一元二次方程根与系数的关系求解 或因为通过原点的直线的斜率为 x y 由直线l与圆的方程构造以 x y 为未 知数的一元二次方程 由根与系数关系得出 OQOP kk 的值 从而使问题得以解决 解法一 解法一 设点P Q的坐标为 11 yx 22 yx 一方面 由OQOP 得 1 OQOP kk 即1 2 2 1 1 x y x y 也即 0 2121 yyxx 另一方面 11 yx 22 yx是方程组 06 032 22 myxyx yx 的实数解 即 1 x 2 x是方程 0274105 2 mxx 的两个根 2 21 xx 5 274 21 m xx 又P Q在直线032 yx上 39 4 1 3 2 1 3 2 1 21212121 xxxxxxyy 将 代入 得 5 12 21 m yy 将 代入 解得3 m 代入方程 检验