空间直角坐标系的建立的常见方法

第 1 页 共 4 页 一 空间直角坐标系的建立的常见方法 运用 坐标法 解答空间几何体问题时 往往需要建立空间直角坐标系 依据空间几何体的结构特 征 充分利用图形中的垂直关系或构造垂直关系建立空间直角坐标系 是解决问题的基础和关键 一 利用共顶点的互相垂直的三条棱建系 例 1 在正方体 ABCD A B C D 中 点 M 是棱 AA 的中点 点 O 是对角线 BD 的中点 求证 OM 为异面直线 AA 和 BD 的公垂线 求二面角 M BC B 的大小 w w w k s5 u c o m 例 2 如图 在直三棱柱中 111 ABCABC AB 1 ABC 60 1 3ACAA 0 证明 1 ABAC 求二面角 A B 的大小 w w w k s 5 u c o m 1 AC 二 利用线面垂直关系建系 例 3 已知三棱锥 P ABC 中 PA 面 ABC AB AC PA AC AB N 为 AB 上一点 AB 4AN 1 2 M S 分别为 PB BC 的中点 证明 CM SN 求 SN 与平面 CMN 所成角的大小 D AB C D M O A B C C B A C1 B1 A1 第 2 页 共 4 页 例 4 如图 正方形 ABCD 和四边形 ACEF 所在的 平面互相垂直 CE AC EF AC AB 2 CE EF 1 求证 AF 平面BDE 求证 CF 平面BDE 求二面角A BE D的大小 例 5 如图 在三棱锥中 PABC 2ACBC 90ACB APBPAB PCAC 求证 PCAB 求二面角的大小 BAPC 求点到平面的距离 CAPB 例 6 如图 2 在三棱柱 ABC A1B1C1中 AB 侧面 BB1C1C E 为棱 CC1上异于 C C1的一点 EA EB1 已知 BB1 2 BC 1 BCC1 2AB 3 求二面角 A EB1 A1的平面角的正切值 A C B P z x y 第 3 页 共 4 页 三 利用面面垂直关系建系 例 7 如图 3 在四棱锥 V ABCD 中 底面 ABCD 是正方形 侧面 VAD 是正三角形 平面 VAD 底面 ABCD 1 证明 AB 平面 VAD 2 求面 VAD 与面 VDB 所成的二面角的余弦值 例 8 在直三棱柱中 111 ABCABC AB BC D E 分别为的中点 11 BBAC 1 证明 ED 为异面直线与的公垂线 1 BB 1 AC 2 设 求二面角的大小 1 2AAACAB 11 AADC 例 9 四棱锥 S ABCD 中 底面 ABCD 为平行四边形 侧面 SBC 底面 ABCD 已知 ABC 45 AB 2 BC SA SB 2 23 证明 SA BC 求直线 SD 与平面 SAB 所成角的大小 例 10 如图 直三棱柱 111 ABCABC 中 ACBC 1 AAAB D为 1 BB的中点 E为 1 AB上的一点 1 3AEEB 证明 DE为异面直线 1 AB与CD的公垂线 设异面直线 1 AB与CD的夹角为 45 求二面角 111 AACB 的大小 D B C A S O y x z 第 4 页 共 4 页 b a nab 四 利用正棱锥的中心与高所在直线构建直角坐标系 例 11 已知正四棱锥 V ABCD 中 E 为 VC 中点 正四棱锥底面边长为 2a 高为 h 1 求 DEB 的余弦值 2 若 BE VC 求 DEB 的余弦值 二 求平面的法向量 法向量的定义 如果向量平面 那么向量叫做平面的法向量 平面的法向量 a a 共有两大类 从方向上分 且有无数条 方法 1 找现成的面的垂线 2 不定方程组法 设平面的法向量为 是平面内的 2 个相交向量 nx y z 111222 ax y zbxy z 和 由 可得一个含的不定方程组 然后在中任取一个好算的值 一般不能取 0 0 n a n b x y z x y z 0 即可得一个法向量 n 3 矢量积法 111 222 ijk nabxyz xyz 111111 22222