实验十二矩阵的秩和向量组的最大线性无关组.ppt

1 实验十二学习目标 矩阵秩的求法把矩阵化为初等行矩阵向量组的秩和最大线性无关组求齐次线性方程组AX 0的基础解系求非齐次线性方程组AX b的一个特解 2 12 1矩阵的秩 矩阵的秩的命令 rank A 例1已知M 求M矩阵的秩 M 32 1 3 2 2 131 3 705 1 8 rank M ans 2 例 已知矩阵M 的秩为 求常数t的值 symstM 32 1 3 2 131 70t 1 det M 1 3 1 3 提出矩阵M中的前三行前三列输出结果 7 t 35 令 7 t 35 0所以t 5注意 因为远矩阵的秩为 所以所有高于 阶的子式全为 所以这里取的三阶子式为 可解出 12 矩阵的初等行变换 矩阵的初等行变换命令为 rref A 例 已知A 证明A可逆 并用初等行变换求A的逆 A 123 221 343 E eye 3 AE A E M rref AE invA M 4 5 6 1 向量组的秩和最大线性无关组 例4 求向量组a 12 11 b 0 45 2 c 2030 的秩 并判断是否线性相关 A 12 11 0 45 2 2030 rref A ans 1 000001 5000001 0000 1 25000 50000000所以得到秩为 非零的行数 线性相关注意 向量组的秩小于向量组中向量的个数所以线性相关 若向量组的秩等于向量组中向量的个数则线性无关 例 求向量组a 1 124 b 0312 c 30714 d 1 120 e 2150 的最大线性无关组 A 1 124 0312 30714 1 120 2150 B transpose A reff B ans 1 000003 00000 0 500001 00001 000001 00000001 00002 500000000则可以从列中看出a bd为最大线性无关组注意 若要判断两个矩阵是否等价 只需要把两个矩阵利用初等行变换命令reff都化为最简标准型 若最后的标准型相同则等价 否则不等价 P114例9 7 1 4求齐次线性方程组AX 0的基础解系 求齐次线性方程组AX 0的基础解系命令为 null A 例6 求解线性方程组clearA 11 2 1 3 2 22 0573 2 3 5 1 D det A X null A 注意 若系数矩阵的秩小于未知数个数 则基础解系存在且有无穷多解 若系数矩阵的秩等于未知数个数 则基础解系不存在只有零解 8 输出结果D 0X 0 4714 0 23570 4714 0 7071注意 此时X为基础解系 并且基础解系中只有一个解向量而且X不但为基础解系 并且为标准正交基 即正交化 标准化 程序二clearA 11 2 1 3 2 12 0573 2 3 5 1 D det A A sym A X null A 输出结果X 1 1 21 3 2注意 此时X为基础解系 但不为标准正交基 12 5非齐次线性方程组的特解 非齐次线性方程组中若系数矩阵r A 和增广矩阵r A b 的秩相等 方程组有解 并且若r A r A b n则非齐次线性方程组无穷多解 r A r A b n则非齐次线性方程组有唯一的解 齐次线性方程组中若系数矩阵r A 和增广矩阵r A b 的秩不相等 方程组有无解 n为未知数的个数 10 例 求解线性方程组clearA 11 2 1 3 2 12 0573 2 3 5 1 D det A b transpose 4 2 2 4 rank A rank A b 输出结果ans 3ans 3说明系数矩阵和增广矩阵的秩相等都为 所以方程组有解继续编程求解formatrat format是格式化命令 表示以有理格式输出rref A b 输出结果1002 31010 1 310012 3 100000 说明原非齐次线性方程组化为说明为自由未知量 所以令这样解锝原非齐次线性方程组的一个特解为注意 在Matlab7 0以上的版本中 可以用linsolve A b 求非齐次线性方程组的一个特解 小结 作业 本节掌握的知识点12 1矩阵秩的求法