勾股定理导学案

1 c b a DC AB 勾股定理勾股定理 1 勾股定理 一 勾股定理 一 学习目标 学习目标 1 了解勾股定理的发现过程 掌握勾股定理的内 容 会用面积法证明勾股定理 2 利用勾股定理 已知直角三角形的两边求第三 条边的长 学习重点 学习重点 探索和验证勾股定理 学习难点 学习难点 证明勾股定理 导学流程 导学流程 一 一 自主学习自主学习 前置学习 前置学习 自学指导 阅读教材第 64 至 66 页 完成下列问 题 1 教材第 64 至 65 页思考及探究 2 画一个直角边为 3cm 和 4cm 的直角 ABC 用刻度尺量出 AB 的长 勾 3 股 4 弦 5 以上这个事实是我国古代 3000 多年前有一个 叫商高的人发现的 他说 把一根直尺折成直 角 两段连结得一直角三角形 勾广三 股修四 弦隅五 这句话意思是说一个直角三角形较短直 角边 勾 的长是 3 长的直角边 股 的长是 4 那么斜边 弦 的长是 5 再画一个两直角边为 5 和 12 的直角 ABC 用刻度尺量 AB 的长 你是否发现 与的关系 和 2 3 2 4 2 5 2 5 2 12 的关系 即 2 13 那么就有 2 3 2 4 2 5 2 5 2 12 2 13 用勾 股 弦填空 222 对于任意的直角三角形也有这个性质吗 要点感知 要点感知 如果直角三角形的两直角边长分别是 斜边为 那么 即abc 直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的 二 展示成果二 展示成果 活动活动 1 已知 在 ABC 中 C 90 A B C 的对边为 求证 abc 222 abc 证明 如赵爽弦图 思考 思考 除此之外 还有证明勾股定理的其他办法 吗 活动活动 2 如果将活动 1 中的图中的四个直角三角形 按如图所拼 又该如何证明呢 知识点归纳 知识点归纳 上述问题可视为命题 1 的证明 命题命题 1 如果直角三角形的两直角边长分别为 a 斜边为 那么 bc 总结 经过证明被确认正确的命题叫 命题 1 在我国称为 而在西方称为 三 合作探究三 合作探究 活动活动 3 已知在 Rt ABC 中 C 90 是 ABC 的三边 则abc 1 已知 求 acba 2 已知 求 bacb 3 已知 求 cabc 活动活动 4 ABC 的三边 a b c 1 若满足 则 C 是 角 222 abc 2 若满足 则 C 是 角 222 abc 3 若满足 则 C 是 角 222 abc 四 当堂自测四 当堂自测 b b b b c c c c a a a a b b b b a a c c a a 2 A C B D 基础训练 基础训练 1 在直角三角形 ABC 中 C 90 若 5a 则 12b c 2 在直角三角形 ABC 中 若 则 3a 5b c 3 若把直角三角形的两条直角边同时扩大到原来的 2 倍 则其斜边扩大到原来的 4 在中 ABC 90C 1 已知 求的长6AC 8BC AB 2 已知 求的长17AB 15AC BC 能力提升 能力提升 5 直角三角形的两边长的比是 斜边长是3 4 20 则它的两直角边的长分别是 五 中考链接五 中考链接 1 2011 广东肇庆 13 3 分 在直角三角形 ABC 中 C 90 BC 12 AC 9 则 AB 2 2009 年达州 图是一株美丽的勾股树 其中 所有 的四边形都是正方形 所有的三角形都是直角三 角 形 若正方形 A B C D 的边长分别 是 3 5 2 3 则最 大 正方形 E 的面积是 A 13 B 26 C 47 D 94 3 2009 年宜宾 已知 如图 以 Rt ABC 的三边为斜边分别向外 作 等腰直角三角形 若斜边 AB 3 则图中阴影部分 的 面积为 六 布置作业 六 布置作业 教材第 69 页习题 18 1 题 1 七 备注七 备注 小结反思小结反思 1 勾股定理 二 勾股定理 二 学习目标 学习目标 1 熟知并运用勾股定理进行简单的计算 2 灵活运用勾股定理解决生活中的问题 学习重点 学习重点 运用勾股定理进行简单计算 学习难点 学习难点 灵活运用勾股定理解决简单实际问题 导学流程 导学流程 一 自主学习一 自主学习 前置学习 前置学习 自学指导 阅读教材第 66 至 68 页 完成下列问 题 1 勾股定理的具体内容是 2 填空 在 Rt ABC C 90 1 如果 7 25 则 acb 2 如果 A 30 4 则 ab 3 如果 10 2 则 cab b 4 如果 是连续整数 则 abcabc 5 如果 8 则 b a c3 5c 3 D C B A A CBD C A B C A B 3 如果梯子的底端离建筑物 9 米 那么 15 米长 的梯子可以到达建筑物的高度是多少米 要点感知 要点感知 勾股定理的前提是 三角形 已知 直角三角形的两边 求第三边 要先弄清楚哪条 是直角边 哪条是斜边 不能确定时 要 二 二 展示成果展示成果 活动活动 1 在 Rt ABC C 90 1 已知 求 2 已知5ab c 1 2 求 3 已知 5 acb a b1 2c 求 a 分析 1 已知 边 求 边 直 接用 定理 2 已知 边和 边 求 边 用勾股定理的变形式 3 已 知一边和两边比 求未知边 活动活动 2 教材第 66 页探究 1 知识点归纳 知识点归纳 在直角三角形中 1 已知任意两边都可以求出第三边 当不能确定 直角边还是斜边时 必须要 2 已知一边和两边关系 也可以求出未知边 三 合作探究三 合作探究 活动活动 3 教材第 67 页探究 2 活动活动 4 已知 如图 等边 ABC 的边长是 6cm 1 求等边 ABC 的高 2 求 S ABC 注意 注意 勾股定理的使用范围是在 三角形 中 因此注意要创造 三角形 作 是常用的创造 三角形的辅助线做法 四 当堂自测四 当堂自测 基础训练 基础训练 1 填空题 1 一个直角三角形的三边为三个连续偶数 则 它的三边长分别为 2 已知等边三角形的边长为 2cm 则它的高为 面积为 3 小明和爸爸妈妈十一登香山 他们沿着 45 度的坡路走了 500 米 看到了一棵红叶树 这棵 红叶树的离地面的高度是 米 2 已知 如图 在 ABC 中 C 60 AB AC 4 AD 是 BC 边上的高 求 BC 的长 34 能力提升 能力提升 3 已知 如图 四边形 ABCD 中 AD BC AD DC AB AC B 60 CD 1cm 求 BC 的长 4 如图 原计划从 A 地经 C 地到 B 地修建一条 高速公路 后因技术攻关 可以打隧道由 A 地到 B 地直接修建 已知高速公路一公里造价为 300 万元 隧道总长为 2 公里 隧道造价为 500 万元 AC 80 公里 BC 60 公里 则改建后可省工程费 用是多少 5 如图 钢索斜拉大桥为等腰三角形 支柱高 24 米 B C D A 4 BA C D B C 30 E F 分别为 BD CD 中点 试 求 B C 两点之间的距离 钢索 AB 和 AE 的长度 精确到 1 米 五 中考链接五 中考链接 1 2009 年滨州 如图 1 已知 ABC 中 AB 17 AC 10 BC 边上的高 AD 8 则边 BC 的长为 A 21 B 15 C 6 D 以上答案都不 对 A C D B 1 A C D B 2 2 2009 年湖南长沙 如图 2 等腰中 ABC 是底边上的高 若ABAC AD5cmAB 则 cm6cmBC AD 六 布置作业 六 布置作业 教材第 68 页 练习 题 2 第 69 页 习题 18 1 题 2 8 七 备注七 备注 小结反思小结反思 1 勾股定理 三 勾股定理 三 学习目标 学习目标 1 会用勾股定理解决较综合的问题 2 树立数形结合的思想 学习重点 学习重点 勾股定理的综合应用 学习难点 学习难点 勾股定理的综合应用 导学流程 导学流程 一 自主学习一 自主学习 前置学习 前置学习 自学指导 阅读教材第 68 至 69 页 完成下列问 题 1 如图 水池中离岸边 D 点 1 5 米的 C 处 直立 长着一根芦苇 出水部分 BC 的长是 0 5 米 把 芦苇拉到岸边 它的顶端 B 恰好落到 D 点 并求 水池的深度 AC 2 教材 P68 页探究 3 变式训练 在数轴上画出表示的点 22 13 二 二 展示成果展示成果 活动活动 1 已知 在 Rt ABC 中 C 90 CD BC 于 D A 60 CD 求线段 AB3 的长 三 合作探究三 合作探究 活动活动 2 已知 如图 B D 90 A 60 AB 4 CD 2 求 四边形 ABCD 的面 积 知识点归纳 知识点归纳 不规则图形的面积 可转化为特殊图形求解 四 当堂自测四 当堂自测 基础训练 基础训练 1 ABC 中 AB AC 25cm 高 AD 20cm 则 BC S ABC A C BDEF A B C D E 5 A BC C A B D A BC C A B D 2 ABC 中 若 A 2 B 3 C AC cm 则 A 32 度 B 度 C 度 BC S ABC 3 ABC 中 C 90 AB 4 BC CD AB32 于 D 则 AC CD BD AD S ABC 能力提升 能力提升 4 已知 如图 ABC 中 AB 26 BC 25 AC 17 求 S ABC 5 已知 如图 ABC 中 AC 4 B 45 A 60 根据题设可知什么 五 中考链接五 中考链接 1 2011 山东滨州 9 3 分 在 ABC 中 C 90 C 72 AB 10 则边 AC 的长约为 精确到 0 1 A 9 1 B 9 5 C 3 1 D 3 5 2 2011 贵州贵阳 7 3 分 如图 ABC 中 C 90 AC 3 B 30 点 P 是 BC 边上的动 点 则 AP 长不可能是 A 3 5 B 4 2 C 5 8 D 7 六 布置作业 六 布置作业 教材第 69 页练习 题 1 2 第 69 页 习题 18 1 题 10 七 备注七 备注 小结反思小结反思 2 勾股定理的逆定理 一 勾股定理的逆定理 一 学习目标 学习目标 1 体会勾股定理的逆定理得出过程 掌握勾股定 理的逆定理及其作用 2 探究勾股定理的逆定理的证明方法 3 理解原命题 逆命题 逆定理的概念及关系 学习重点 学习重点 勾股定理的逆定理及应用 学习难点 学习难点 勾股定理的逆定理的证明 导学流程 导学流程 一 自主学习一 自主学习 前置学习 前置学习 自学指导 阅读教材第 73 至 74 页 完成下列问 题 1 说出下列命题的逆命题 判断逆命题是否成立 同旁内角互补 两条直线平行 如果两个实数的平方相等 那么两个实数平方相 等 线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等 直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一30 半 2 了解原命题 逆命题 逆定理的概念及关系 3 勾股定理的逆定理 4 勾股数 勾股数扩大相同倍数后仍为 常用的勾股数有 二 展示成果二 展示成果 活动活动 1 教材第 73 页命题 2 的证明及第 74 页的探 究 6 活动活动 2 判断由线段 组成的三角形是不abc 是直角三角形 理解勾股数 1 15 8 17 2 13 14 a b c a b 15 c 知识点归纳 知识点归纳 运用勾股定理的逆定理判定一个三角形是否是直 角三角形的一般步骤 先判断那条边最大 分别用代数方法计算出和的值 判断 22 ab 2 c 和是否相等 若相等 则是直角三角形 22 ab 2 c 若不相等 则不是直角三角形 三 三 合作探究合作探究 活动活动 3 已知 ABC 中 A B C 的对 边分别是 2 abc 2 1an bn 求证 C 90 2 1cn 1n 四 当堂自测四 当堂自测 基础训练 基础训练 1 填空题 1 任何一个命题都有 但任何一个定理 未必都有 2 ABC 三边之比是 1 1 则 ABC 是 三2 角形 2 下列四条线段不能组成直角三角形的是 A a 8 b 15 c 17 B a 9 b 12 c 15 C a b c D a b c 2 3 4532 能力提升 能力提升 3 在 ABC 中 若 2 2 2 则 ABC 是 abc 三角形 是直角 若 2 2 2 则 abc B 是 4 在 ABC 中 2 2 2 2 则 ABC amnb2mncmn 是 三角形 五 中考链接五 中考链接 2011 山东德州 13 4 分 下列命题中 其逆命 题成立的是 只填写序号 同旁内角互补 两直线平行 如果两个角是直角 那么它们相等 如果两个实数相等 那么它们的平方相等 如果三角形的三边长 满足 222 abc abc 那么这个三角形是直角三角形 六 布置作业 六 布置作业 教材第 75 页练习 题 1 2 第 76 页 习题 18 2 题 1 2 4 七 备注七 备注 小结反思小结反思 2 勾股定理的逆定理 二 勾股定理的逆定理 二 学习目标 学习目标 1 灵活应用勾股定理及逆定理解决实际问题 2 加深性质定理与判定定理之间关系的认识 学习重点 学习重点 应用勾股定理及逆定理解决实际问题 学习难点 学习难点 应用勾股定理及逆定理解决实际问题 导学流程 导学流程 一 自主学习一 自主学习 前置学习 前置学习 自学指导 阅读教材第 75 页 完成下列问题 1 若三角形的三边是 1 2 3 32 42 52 9 40 41 5 1 4 1 3 1 2 mn1 2 m n 则构成的是直角三角形 2 mn 1 的有 A 2 个 B 3 个 4 个 5 个 2 已知 在 ABC 中 A B C 的对 边分 别是 a b c 分别为下列长度 判断该三角形是 否 是直角三角形 并指出那一个角是直角 a 9 b 41 c 40 7 A BC D A BC D a 15 b 16 c 6 a 2 b c 4 32 二 二 展示成果展示成果 活动活动 1 教材第 75 页例 2 知识点归纳 知识点归纳 已知三边求角 利用勾股定理的逆定理 活动活动 2 一根 30 米长的细绳折成 3 段 围成一个 三角形 其中一条边的长度比较短边长 7 米 比 较长边短 1 米 请你试判断这个三角形的形状 四 四 合作探究合作探究 活动活动 3 如图 小明的爸爸在鱼池边开了一块四边 形土地种一些蔬菜 爸爸让小明计算一下土地面 积 以便计算一下产量 小明找了一卷米尺 测 得 AB 4 米 BC 3 米 CD 13 米 DA 12 米 又已知 B 90 四 当堂自测四 当堂自测 基础训练 基础训练 1 一根 24 米绳子 折成三边为三个连续偶数的 三角形 则三边长分别为 此三角 形的形状为 2 小强在操场上向东走 80m 后 又走了 60m 再走 100m 回到原地 小强在操场上向东走了 80m 后 又走 60m 的方向是 3 一根 12 米的电线杆 AB 用铁丝 AC AD 固 定 现已知用去铁丝 AC 15 米 AD 13 米 又 测得地面上 B C 两点之间距离是 9 米 B D 两 点之间距离是 5 米 则电线杆和地面是否垂直 为什么 能力提升 能力提升 4 如图 在我国沿海有一艘不明国籍的轮船进入 我国海域 我海军甲 乙两艘巡逻艇立即从相距 13 海里的 A B 两个基地前去拦截 六分钟后同 时到达 C 地将其拦截 已知甲巡逻艇每小时航行 120 海里 乙巡逻艇每小时航行 50 海里 航向为 北偏西 40 问 甲巡逻艇的航向 五 五 中考链接中考链接 2012 巴中 已知 a b c 是 ABC 的三边长 且 满 足关系 0 则 ABC 的形状为 222 cab ab 六 布置作业 六 布置作业 教材第 76 页 练习 题 3 习题 18 2 题 3 七 备注七 备注 小结反思小结反思 勾股定理复习小结勾股定理复习小结 一 重点 一 重点 1 明确勾股定理及其逆定理的内容 2 能利用勾股定理解决实际问题 二 知识小管家 二 知识小管家 通过本章的学习你都学到了 三 练习 三 练习 考点一 已知两边求第三边考点一 已知两边求第三边 1 在直角三角形中 若两直角边的长分别为 1cm 2cm 则斜边长为 2 已知直角三角形的两边长为 3 2 则另一条边 长是 3 已知 如图 在 ABC 中 D C A B 8 A B AB BC CA 2cm AD 是边 BC 上的高 求 AD 的长 ABC 的面积 考点二 利用列方程求线段的长考点二 利用列方程求线段的长 4 如图 铁路上 A B 两点相距 25km C D 为两 村 庄