八年级下册北师大版数学全册教案

1 1 1 不等关系 教学目的和要求 教学目的和要求 理解不等式的概念 感受生活中存在的不等关系 教学重点和难点 教学重点和难点 重点 重点 对不等式概念的理解 难点 难点 怎样建立量与量之间的不等关系 从问题中来 到问题中去 从问题中来 到问题中去 1 如图 1 1 用用根长度均为 l 的绳子 分别围成一个正方形和圆 1 如果要使正方形的面积不大于 25 2 那么绳长 l 应满足怎样的关系式 2 如果要使圆的面积大于 100 2 那么绳长 l 应满足怎样的关系式 3 当 l 8 时 正方形和圆的面积哪个大 l 12 呢 4 改变 l 的取值再试一试 在这个过程中你能得到什么启发 分析解答 在上面的问题中 所围成的正方形的面积可以表示为 圆的面积可以表示为 2 4 l 2 2 l 1 要使正方形的面积不大于 25 2 就是 即 25 4 2 l 25 16 2 l 2 要使圆的面积大于 100 2 就是 100 2 2 l 即 100 4 2 l 3 当 l 8 时 正方形的面积为 圆的面积为 4 16 8 2 2 cm 1 5 4 8 2 2 cm 4 5 1 此时圆的面积大 当 l 12 时 正方形的面积为 圆的面积为 9 16 12 2 2 cm 5 11 4 12 2 2 cm 9 11 5 此时还是圆的面积大 4 不论怎样改变 l 的取值 通过计算发现 总是圆的面积大 因此 我们可以猜想 用长度 2 增色为 l 的两根绳子分别围成一个正方形和圆 无论 l 取何值 圆的面积总大于正方形的 面积 即 4 2 l 16 2 l 2 1 通过测量一棵树的树围 树干的周长 可能计算出它的树龄 通常规定以树干离地面 1 5m 的地方作为测量部位 某树栽种时的树围为 5 以后树围每年增加约 3 这棵树至少 要生长多少年其树围才能超过 2 4m 只列关系式 2 燃放某种礼花弹时 为了确保安全 人在点燃导火线后要在燃放前转移到 10m 以外的安 全区域 已知导火线的燃烧速度为 0 2m s 人离开的速度为 4m s 导火线的长度 x m 应满 足怎样的关系式 答案 1 设这棵树生长 x 年其树围才能超过 2 4m 则 5 3x 240 2 人离开 10m 以外的地方需要的时间 应小于导火线燃烧的时间 只有这样才能保证人 的安全 4 10 2 0 x 分析巩固练习 分析巩固练习 用不等式表示 1 a 的相反数是正数 2 m 与 2 的差小于 3 2 3 x 的与 4 的和不是正数 3 1 4 y 的一半与 x 的 2 倍的和不小于 3 解答 1 a 的相反数是 a 正数是比零大的数 所以 a 的相反数是正数 就是 a 0 2 m 与 2 的差 就是 m 2 差小于 即是 m 2 3 2 3 2 3 x 的 就是x x 的与 4 的和不是正数 就是x 4 0 3 1 3 1 3 1 3 1 4 y 的一半 不是y x 的 2 倍 就是 2x 不小于 3 即指大于或等于 3 故 y 的一半 2 1 与 x 的 2 倍的和不小于 就是y 2x 3 2 1 3 下列各数 4 0 5 2 3 其中使不等式 1 成立是 2 1 2 x A 4 5 2 B 5 2 3 C 0 3 D 5 2 2 1 答案 D 4 有理数 a b 在数轴上的位置如图 1 2 所示 所的值 ba ba A 0 B 0 C 0 D 0 答案 B 小结提问 快速回答 小结提问 快速回答 3 1 表示不等式关系的符号有哪些 2 用适当的符号表示下列关系 1 x 的 5 倍与 3 的差比 x 的 4 倍大 2 a 的的相反数是非负数 4 1 3 x 的 3 倍不小于 y 的 8 倍 3 下列不等式中 总能成立的是 A 0 B C 2a a D a 2 a0 2 a 2 a 作业要求 作业本 教学反思 4 1 2 不等式的基本性质不等式的基本性质 一 教学目标一 教学目标 1 经历不等式基本性质的探索过程 初步体会不等式与等式的异同 2 掌握不等式的基本性质 二 教学重难点教学重难点 不等式的基本性质的掌握与应用 三 教学过程设计三 教学过程设计 1 比较归纳 产生新知比较归纳 产生新知 我们知道 在等式的两边都加上或都减去同一个数或整式 等式不变 请问 如果在不等式的两边都加上或都减去同一个整式 那么结果会怎样 请兴几例试一试 并与同伴交流 类比等式的基本性质得出猜想 不等式的结果不变 试举几例验证猜想 如 3 7 3 1 4 7 1 8 4 8 所以 3 1 7 1 3 5 2 7 5 2 2 2 所以 3 5 7 5 3 a 7 a 3 7 3 a 7 a 等 都能说明猜想的正确性 2 探索交流 概括性质探索交流 概括性质 完成下列填空 2 3 2 5 3 5 2 3 2 1 3 1 2 3 2 5 3 5 你发现了什么 请再举几例试试 与同伴交流 通过计算结果不难发现 前两个空填 后三个空填 得出不等式的基本性质 不等式的基本性质 1 不等式的两边都加上 或减去 同一个整式 不等号的方向不变 不等式的基本性质 2 不等式的两边都乘以 或除以 同一个正数 不等号的方向不变 不等式的基本性质 3 不等式的两边都乘以 或除以 同一个负数 不等号的方向改变 通过自我探索与具体的例子使学生加深对不等式性质的印象 3 练习巩固 促进迁移练习巩固 促进迁移 1 1 用 号或 号填空 并简说理由 6 2 3 2 6 2 3 2 6 2 3 2 6 2 3 2 2 如果 a b 则 5 2 利用不等式的基本性质 填 或 1 若 a b 则 2a 1 2b 1 2 若 10 则 y 8 3 若 a b 且 c 0 则 ac c bc c 4 若 a 0 b 0 c 0 a b c 0 4 巩固应用 拓展研究巩固应用 拓展研究 1 按照下列条件 写出仍能成立的不等式 并说明根据 1 a b 两边都加上 4 2 3a b 两边都除以 3 3 a 3b 两边都乘以 2 4 a 2b 两边都加上 c 2 根据不等式的性质 把下列不等式化为 x a 或 x a 的形式 a 为常数 5 课内深化 提升能力课内深化 提升能力 比较下列各题两式的大小 6 回顾联系 形成结构回顾联系 形成结构 想一想 本节课学了哪些知识 有哪些性质 在运用性质时应注意什么 通过问题的回答 引导学生自主总结 把分散的知识系统化 结构化 形成知识网络 完善学生 的认知结构 加深对所学知识的理解 7 课外作业与拓展课外作业与拓展 课外作业 课本第 9 页 习题 1 2 教学反思 6 1 3 不等式的解集不等式的解集 一 教学目标一 教学目标 1 理解不等式解与解集的意义 2 了解不等式解集的数轴表示 二 教学重难点教学重难点 重点是区分不等式解与解集的概念 难点是在数轴上表示不等式的解集 三 教学过程设计教学过程设计 1 创设情景 导出问题创设情景 导出问题 课本问题 燃放某中礼花弹时 为了确保安全 人在点燃导火线后要在燃放前 10m 以外的安全 区域 已知导火线的燃烧速度为 0 02m s 人离开的速度为 4m s 那么导火线的长度应为多少厘米 在建立不等式之前 先让学生分析清楚问题中量与量之间的关系 为了使人有足够的时间 到达安全区域 导火线燃烧的时间应大于人到达安全区域的时间 设导火线的长度应为 x cm 根据题意 得 即 x 5 2 探索交流 得出概念探索交流 得出概念 1 想一想 1 你能找出几个使不等式 x 5 成立的 x 的值吗 2 x 5 6 8 能使不等式 x 5 成立吗 字母可以表示任何数 但对于满足 x 5 中的字母 x 它能够取任意数吗 如果不能 它能取 哪些数呢 启发学生动手验证 动脑思考 并从中初步体会不等式解的意义及不等式解与方程解的 不同之处 能使不等式成立得未知数得值 叫做不等式的解不等式的解 例如 6 是不等式 x 5 一个解 7 8 9 也 是不等式 x 5 的解 一个含有未知数的不等式的所有解 组成这个不等式的解集不等式的解集 例如不等式 x 5 1 的解集为 x 4 不等式 x2 0 的解集是所有非零实数 求不等式解集的过程叫做解不等式解不等式 2 议一议 请你用自己的方式将不等式 x 5 的解集和 x 5 1 的解集分别表示在数轴上 并与同 伴交流 引导学生回忆实数与数轴上点的对应关系 认识数轴上的点是有序的 实数是可以比较大小的 让学生用具体实数对应的点加以说明 7 3 练习巩固 促进迁移练习巩固 促进迁移 1 判断下列说法是否正确 1 x 2 是不等式 x 3 4 的解 2 x 2 是不等式 3x 7 的解集 3 不等式 3x 7 的解是 x 2 4 x 3 是不等式 3x 9 的解 答案 1 不正确 2 不正确 3 不正确 4 正确 2 在数轴上表示出下列不等式的解集 1 x 1 2 x 1 3 x 1 4 x 1 答案 1 数轴上实心与空心的区别在于 空心点表示解集不包括这一点 实心点表示解集包括这一 点 2 数轴上表示不等式的解集遵循 大于向右走 小于向左走 这一原则 4 回顾联系 形成结构回顾联系 形成结构 想一想 本节课学了哪些知识 在运用时应注意什么 通过问题的回答 引导学生自主总结 把分散的知识系统化 结构化 形成知识网络 完善学 生的认知结构 加深对所学知识的理解 5 课外作业与拓展课外作业与拓展 课外作业 课本第 12 页 习题 1 3 教学反思 8 1 4 一元一次不等式 1 教学目的和要求教学目的和要求 会用一元一次不等式 并能在数轴上表示其解集 会用一元一次不等式 并能在数轴上表示其解集 教学重点和难点 教学重点和难点 重点 一元一次不等式的解法重点 一元一次不等式的解法 难点 解决一元一次不等式时等号方向的改变 难点 解决一元一次不等式时等号方向的改变 教学过程 教学过程 1 观察下列不等式 1 2 3 x 4 4 240155 22 x75 8 xx35 这些不等式有哪些共同特点 这些等式的左右两边都是整式 只含有一个未知数 并且未知数的最高次数是 1 象这样的不等 式 叫做一元一次不等式 2 先阅读每 1 题的解法 然后仿做第 2 题 最后谈谈自己读题 做题的体会 1 解不等式 并把它的解集表示在数轴上 3 7 2 2xx 解 去分母 得 7 2 2 3xx 去括号 得 xx21463 移项 合并同类项 得 205 x 两边都除以 5 得 4 x 这个不等式的解集在数轴上表示如下 图 1 13 2 解不等式 并把它的解集表示的数轴上 2 2 3 5 xx 9 答案 3 20 x 其解集在数轴上表示如下图 1 40 3 解不等式 并把它的解集在数轴上表示出来 1 2 3 410 xx 解答 去括号 得 2212410 xx 移项 得 xx4212210 合并同类项 得 24x6 系数化为 1 得 得 x 44 x 在数轴上表示不等式解集如图 4 解不等式 并把它的解集在数轴上表示出来 6 1 2 1 3 1 yyy 解答 去分母 得11 3 1 2 yyy 答案 3 y 这个不等式的解集数轴上表示如图 5 y 取何正整数时 代数式 2 y 1 的值不大于 10 4 y 3 的值 解答 根据题意列出不等式 3 410 1 2 yy 答案 解这个不等式 得 解集中的正整数解是 1 2 3 4 4 y4 y 6 解关于 x 的不等式 k x 3 x 4 解答 去括号 得 kx 3k x 4 答案 若 k 1 0 即 k 1 时 0 1 不成立 不等式无解 若 k 1 0 即 k 1 时 1 34 k k x 若 k 1 0 即 k 1 时 1 34 k k x 7 m 取何值时 关于 x 的方程的解大于 1 2 15 3 16 6 m x mx 解答 解这个方程 10 15 36 16 2 mxmx 5 13 m x 根据题意 得 1 5 13 m 解得 m 2 8 是否存在整数 m 使关于 x 的不等式与是同解不等式 22 93 1 mm x m x 1 3 2 x mx 如果存在 求出整数 m 和不等式的解集 如果不存在 请说明理由 答案 x 8 因此 存在符合题意的 m 当 m 11 时 两个不等式同解 解集为 x 8 小结 本节课我们学了什么 作业布置 教学反思 一元一次不等式 一元一次不等式 2 2 目的 要求 加强巩固一元一次不等式的解法 及用数轴表示不等式的解集 了解不等式在生活中的应用 重点 难点 有分母的一元一次不等式的解法 一元一次不等式的特殊解的求法以及一元一次不等式的应用 例 解下列不等式 并把它们的解集 s 在数轴上表示出来 解 在不等式的两边同时解乘以 8 得 即 化简得 例一教师师范板演 其他学生模仿联系 解下列不等式 并把它们的解集在数轴上表示出来解下列不等式 并把它们的解集在数轴上表示出来 311 23 84 21251017 1 234 1137131 37 3625 yy xxx xxx x 311 8 2 3 8 84 yy 36246 163yy 11 9 y 11 2 34 xx 11 例 3 一次环保知识竞赛 共有 25 道题 规定答对一题得 4 分 答错一或不答扣一分 小明得了 85 分 他答对了多少题 1 小立在这次竞赛中被评为优秀 85 分或 85 分以上 小立可能答对了多少题 她至少答对 2 了多少题 解 设小明答对了 x 道题 那么答错或不答 25 x 道题 1 根据题意 得4x 25 x 85 解这个方程 得x 22 所以小明答对了 22 道题 设小立可能答对了 x 道题 那么答错或不答 25 x 道题 2 根据提意 得4x 25 x 85 解这个不等式 得x 22 因为 x 答对题的个数 所以取不等式的正整数解 又只有 25 道题 因此小立可能答对了 22 23 24 25 道题 她至少答对了 22 道题 说明 第一小题是列一元一次方程解应用题 第二小题是列一元一次不等式解应用题 目的是 让学生认识两者的区别与联系 二 出示投影片 2 例四 小颖准备用 21 元钱买笔和笔记本 已知每支笔 3 元 每个笔 记本 2 2 元 她买了 2 个笔记本 请你帮她算一算她还可能买几支笔 解 设小颖还可能买 n 支笔 根据题意 得3n 2 2 21 解这个不等式 得n 16 6 3 因为 n 表示笔的支数 所以应取不等式的正整数解 因此小颖还可能买 1 支 2 支 3 支 4 支或 5 支笔 三 让学生交流对列不等式解应用题的认识 归纳列不等式解应用题的基本步骤 四 做 17 页随堂练习第二题 五 课下作业 习题 1 5 1 题 2 题 六 课后小结 列不等式解应用题的一般步骤 1 分析题意 清楚已知量与未知量之间 的关系 找到题中适当的不等关系 2 正确的设未知数 根据不等关系列出不等式 3 解不等式 4 在不等式的解集中选取符合题意的解 5 做出正确的结论 随堂练习 作业布置 教学反思 11 0 51 4 045 524 x x 12 1 5 一元一次不等式与一次函数一元一次不等式与一次函数 一 教学目标一 教学目标 1 通过作函数图象 观察函数图象 进一步理解函数的概念 并从中初步体会一元一次不等式 与一次函数的内在联系 2 通过具体问题初步体会一次函数的变化规律与一元一次不等式的解集的联系 3 感知不等式 函数 方程的不同作用与内在联系 二 教学重难点教学重难点 教学重点初步建立 数 一元一次不等式 与 形 一次函数 之间的关系 根据一次函数 图象求一元一次不等式的解集 教学难点是理解一元一次不等式与一次函数的关系 三 教学过程设计教学过程设计 1 创设情景 导出问题创设情景 导出问题 小明听了爸爸的字如其人的一番教诲 想到自己龙飞凤舞的 草书 作品连自己都认不出来的 笑话 下决心练字 在第一周的前 3 天每天练字 6 页 设每周计划练字 x 页 你能写出 x 与 y 之 间的关系式吗 这是一个什么函数 若周计划为 y 38 页 则 x 取怎样的值 小明才能超额完成计划 由实际问题出发引导学生回顾一次函数相关概念以及一次函数与方程的关系 回顾所学 知识作好新知识的衔接 回顾 一次函数的定义 一次函数的图象 直线 y kx b 与方程的联系 2 探索交流 发现规律探索交流 发现规律 我们来看下面这个问题 作出函数 y 2x 5 的图象 观察图象回答下列问题 1 x 取何值时 y 0 提示 此题摘自 此题摘自 励耘精品励耘精品系系列丛书列丛书 课时导航课时导航 北师大版八年级 下 北师大版八年级 下 P9 第第 8 题 题 的 值就是 2x 5 的 值 那么 2x 5 0 呢 2 x 取 何 值 时 y 0 2x 5 0 呢 3 x 取 何 值 时 y 0 2x 5 3 2x 5 3 呢 展 示 问 题 适 当 时 间 后 请 学 生 解 答 并 说 明 理 由 让 学 生 尝 试 独 立 完 成 问 题 并 与 全 班 同 学 交 流 解 题 方 法 教 师 借 助 课 件 作 结 论 性 评 判 以 上 问 题 可 以 直 接 解 不 等 式 或 方 程 求 解 但 这 里 意 图 是 让 学 生 通 过 直 接 图 象 得 到 引 导 学 生 体 会 既 可 以 运 用 函 数 图 象 解 不 等 式 也 可 以 运 用 解 不 等 式 帮 助 研 究 函 数 问 题 二 者 互 相 渗 透 互 相 作 用 想 一想 如果 y 2x 5 那么 当 x 取 何值时 y 0 将 此结果 与上面 的例子 进行比 较 你 发现了 什么 在用一 次函数 图象解 时应注 意哪些 问题 学 生独立 完成并 与全班 同学交 流想法 学生可 以用不 同方法 解答 教师意 图是尽 量用图 象求解 小 结 一 元一次 不等式 除了可 以利用 不等式 的基本 性质解 之外 还可以 用一次 函数图 象来解 只是第 一 应 先将一 元一次 不等式 化成 y 0 或 0 有怎样 的情况 kx b 中 ky2 你是怎 样做的 与同伴 交流 在 学 生 思 考 后 用 课 件 展 示 图 象 以 便 学 生 识 图 求 解 学 生 采 用 不 同 方 法 完 成 完 成 练 习 巩 固 新 知 识 并 与 同 学 交 流 2 某 市推出 电脑上 网包月 制 每 月收取 费用 y 元 与上网 时间 x 小 时 的 函数图 象关系 如图所 示 求 x 3 0 时 y 与 x 之 间 的 函 数 关 系 式 如 果 某 人 4 月 份 上 网 2 0 小 时 他 应 付 多 少 元 如 果 某 人 5 月 份 上 网 的 费 用 为 7 5 元 则 他 在 该 月 上 网 多 少 时 间 13 让学生认真观察图象 分析图象 初步学会用分段函数的思想去考虑问题 初步建立 数 一元一次不等式 与 形 一次函数 之间的关系 使学生初步体会函数 方程 不等式都是刻 画现实世界中量与量之间变化规律的重要模型 通过具体例子渗透三者之间的内在联系 帮助学生 从整体上认识不等式 感受函数 方程 不等式的作用 5 回顾联系 形成结构回顾联系 形成结构 通过本节课的学习 你有哪些收获 学生小结 教师对学生小结内容作肯定或补充 通过学生自我总结使之进一步理解函数的概念 并从中初步体会一元一次不等式与一次函数的内在联系 通过具体问题初步体会一次函数的变化规 律与一元一次不等式的解集的联系 使学生从整体上认识不等式 感受函数 方程 不等式的作用 6 课外作业与拓展课外作业与拓展 课外作业 课本第 19 页 读一读 第 20 页 习题 1 6 课外拓展 参见参见励耘精品励耘精品系列丛书系列丛书 课时导航课时导航 北师大版八年级 下 北师大版八年级 下 P7 P10 教学反思 1 6 一元一次不等式组一元一次不等式组 第一课时第一课时 一 教学目标 一 教学目标 1 知识目标 理解一元一次不等式组解集的概念 掌握一元一次不等式组的解法 会利用数轴较简单的一元一次不等式组 通过练习 理解并掌握一元一次不等式组解集的几种情况 2 能力目标 通过利用数轴来寻求不等式组的解 培养学生的观察能力 分析能力 让学生从练习中发现不等式组解集的四种情况 以培养学生归纳总结能力 3 情感目标 将不等式组的解法和归纳留给学生在交流 讨论中完成 培养学生养成良好的学习习惯和 转变一种观念 将老师与学习伙伴看成是自己有利的学习资源 二 教学重难点 二 教学重难点 教学重点 在紧密联系不等式的同时 理解不等式组解集的意义 教学难点 借助数形结合的 方法找出不等式的解集 三 教学过程设计 三 教学过程设计 1 回顾旧知 探索发展回顾旧知 探索发展 回顾回顾 解下列不等式 并把它的解集在数轴上表示出来 1 2x 3 5 2 6x 5 1 让学生上台演示 注意指导其解题的规范性 探索探索 用每分钟可抽 30 吨水的抽水机来抽污水管道里积存的污水 估计积存的污水在 1200 吨 14 到 1500 吨之间 那么大约需要多长时间才能将污水抽完 分析 设需要 x 分钟才能将污水抽完 那么总的抽水量应为 30 x 吨 由题意 积存的污水在 1200 吨到 1500 吨之间 因此 应有 1200 30 x 1500 通过一个具体的问题引入一元一次式组的概念 学生在研究这一具体问题时 自然感知到要 解决的问题同时满足两个约束条件 而这两个约束条件都是不等式 这样引入不等式组比较自然 上式实际上包括了两个不等式 30 x 1200 和 30 x 1500 它说明要这个实际问题中 未知量 x 应同时满足这两个条件 我们把这两个一元一次不等式合在一起 就得到一个一元一次不等式组一个一元一次不等式组 你能尝试找出符合上面一元一次不等式组的未知数的值吗 与同伴交流 学生可以通过列表 画数轴图的方法 寻求不等式组的解 要让学生在充分交流的基础上体会寻找不等式的公共解的方 法 分别求这两个不等式的解集 得 同时满足 的未知数 x 应是个不等式的解集的公共部分 在数轴上表示出来 x 应取 40 x 50 这就是所列不等式组的解集 即答案为 大约需要 40 到 50 分钟才能将污水抽完 概括概括 几个不等式的解集的公共部分 叫做由它们所组成的不等式组的解集 几个不等式的解集的公共部分 叫做由它们所组成的不等式组的解集 解一元一次不等式组 其步骤通常为 1 先分别求出不等式组中的每一个不等式的解集 先分别求出不等式组中的每一个不等式的解集 2 在数轴上把它们的解集表示出来 在数轴上把它们的解集表示出来 3 找出解集的公共部分 即不等式组的解集 找出解集的公共部分 即不等式组的解集 2 练习巩固 促进迁移练习巩固 促进迁移 1 例题 解不等式组 解 解不等式 得 x 2 解不等式 得 x 4 15 在数轴上表示出 的解集 原不等式组的解集为 x 4 要让学生认识到准确 熟练得解不等式是解不等式组的基础 而运用数轴表示 找公共部分 是关键 让学生再次体会数形结合思想的魅力 2 练习 3 问题探讨 从练习的情况来看 请同学们认真观察它与下面几种图示的关系 当不等号的方向一致时 称同向不等式 即 对这类不等式组可按 同大取大 同小取小 的法则 即取公共部分为它的解 如图 当不等号的方向相反时 称异向不等式 即 则若未知数的取值比大数小 比小数大时 不等式组的解集在两数之间 取公共部分 如图 若未知数的取值比大数还大 比小数还小 不等式组的解集是空集 即没有公共部分 如图 3 先让学生通过练习 从感性上了解不等式组解集的基本情况 其次引导学生通过 练习解答的 形式与所给图示 的对比 引发出不等式组解集的四种基本情况 从而加深学生对不等式组解集的 16 理解 更重要的是学生区分出这四种不同的情况后 在结合图形能更快更准地找出不等式组的解集 3 巩固应用 拓展研究巩固应用 拓展研究 1 找出下列不关 x 的公共部分 2 解不等式组 3 求不等式组的整数解 巩固应用的设计突出一个层次性 满足不同基础水平的同学的需要 其中第 1 题主要训练学 生的定向思维 巩固不等式组解集的四种情况 第 2 题则是以训练学生解不等式组的方法 第 3 题 则以发散思维为主 其目的是让优生吃得饱 在挑战难题的过程中 培养学生学习的意志力 4 回顾联系 形成结构回顾联系 形成结构 通过本节课的学习 你有哪些收获 学生小结 教师对学生小结内容作肯定或补充 启发学生动脑思考 归纳 总结所学知识 从 而培养学生简明的语言概括能力和准确的语言表达能力 通过学生自我总结使之进一步理解一元一 次不等式组的概念 并从中初步体会一元一次不等式与一元一次不等式组的内在联系 促进学生对 数学知识的记忆 并把所学知识结构化系统化 5 课外作业与拓展课外作业与拓展 课外作业 课本第 26 页 习题 1 8 教学反思 17 第二课时第二课时 一 教学目标 一 教学目标 1 一元一次不等式组的解集的表示 尤其是在数轴上的表示让学生们必需掌握 2 让学生理解一元一次不等式组及其解的意义 利用不等式来解决实际问题 让学生进一步 感受数形结合的作用 18 3 让学生经历具体具体问题抽象出不等式组的过程 二 教学重难点 二 教学重难点 教学重点 掌握一元一次不等式组的解法 会用数轴表示一元一次不等式组解集的几种情 况 教学难点 不等式组解集几种情况的灵活应用 三 教学过程设计 三 教学过程设计 1 基础运用 基础运用 例例 1 解不等式组 并将解集标在数轴上 解不等式组的基本思路是求组成这个不等式组的各个不等式的解集的公共部分 在解的过程中 各个不等式彼此之间无关系 是独立的 在每一个不等式的解集都求出之后 才从 组 的角度去 求 组 的解集 在此可借助于数轴用数形结合的思想去分析和解决问题 步骤 解 解 解不等式 1 得 x 解不等式 2 得 x 4 利用数轴确定不等式组的解集 原不等式组的解集为 1 解不等式 2 得 x 1 解不等式 3 得 x 2 在数轴上表示出各个解为 原不等式组解集为 14x 5 得 x 3 解不等式 1 得 x 2 原不等式组解集为 x 2 这个不等式组的正整数解为 x 1 或 x 2 1 先求出不等式组的解集 2 在解集中找出它所要求 的特殊解 正整数解 20 例例 4 4 m 为何整数时 方程组 的解是非负数 本题综合性较强 注意审题 理解方程组解为非负数概念 即 先解方程组用 m 的代 数式表示 x y 再运用 转化思想 依据方程组的解集为非负数的条件列出不等式组寻求 m 的取 值范围 最后切勿忘记确定 m 的整数值 解 解 解方程组得 方程组 的解是非负数 即 解不等式组 此不等式组解集为 又 m 为整数 m 3 或 m 4 例例 5 5 解不等式 0 由 这部分可看成二个数的 商 此题转化为求商为负数的问题 两个数的商为负 数 这两个数异号 进行分类讨论 可有两种情况 1 或 2 因此 本题 可转化为解两个不等式组 21 例例 6 6 解不等式 3 3x 1 5 解法 解法 1 1 原不等式相当于不等式组 解不等式组得 x 2 原不等式解集为 x 2 解法 解法 2 2 将原不等式的两边和中间都加上 1 得 2 3x 6 将这个不等式的两边和中间都除以 3 得 x 2 原不等式解集为 xb b c 那么 a c 3 两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等 4 菱形的四条边都相等 5 全等三角形的面积相等 生甲 第一个命题的条件是 两个角相等 结论是 它们是对顶角 生乙 第二个命题的条件是 a b b c 结论是 a c 生丙 第三个命题的条件是 在两个三角形中 有两角和其中一角的对边对应相等 结论是 这两个三角形全等 生丁 第四个命题的条件是 菱形的四条边 结论是 都相等 生戊 丁同学说得不对 这个命题可改写为 如果一个四边形是菱形 那么这个四边形的四 条边都相等 显然 这个命题的条件是 一个四边形是菱形 结论是 这个四边形的四条边都相等 生己 第五个命题可改写为 如果两个三角形全等 那么这两个三角形的面积相等 则这个 命题的题设是 两个三角形全等 结论是 这两个三角形的面积相等 师 同学们分析得很好 能够经过分析 准确地找出命题的条件和结论 接下来我们来思考 出示投影片 6 2 2 B 2 上述命题中哪些是正确的 哪些是不正确的 你怎么知道它们是不正确的 师 大家思考后 来分组讨论 生甲 第三个 第四个 第五个命题是正确的 第一个 第二个命题是不正确的 生乙 我们讨论的结果是与甲同学的一样 如图 6 10 1 2 从图形中可知 1 与 2 不是对 顶角 所以第一个命题 如果两个角相等 那么它们是对顶角是错误的 生丙 第二个命题中的 a 取 6 b 取 3 c 取 2 这样可知 a 与 c 是不相等的 所以第二个命 题是不正确的 157 师 很好 同学们不仅能辨别命题的正确与否 还能举例说明命题的错误 真棒 我们把正确 的命题称为真命题 true statement 不正确的命题称为假命题 false statement 由大家刚才分析可以知道 要说明一个命题是一个假命题 通常可以举出一个例子 使它具备 命题的条件 而不具有命题的结论 这种例子称为反例 counter example 注意 对于假命题并不要求 在题设成立时 结论一定错误 事实上 只要你不能保证结论一 定成立 这个命题就是假命题了 因此 要说明一个命题是假命题 只要举出一个 反例 就可以了 那一个正确的命题如何证实呢 大家来想一想 出示投影片 6 2 2 C 如何证实一个命题是真命题呢 生甲 用我们以前学过的观察 实验 验证特例等方法 生乙 这些方法往往并不可靠 生丙 能不能根据已经知道的真命题证实呢 生丁 那已经知道的真命题又是如何证实的 生戊 哦 那可怎么办呢 师 其实 在数学发展史上 数学家们也遇到过类似的问题 公元前 3 世纪 人们已经积累 了大量的数学知识 在此基础上 古希腊数学家欧几里得 Euclid 公元前 300 前后 编写了一本书 书名叫 原本 Elements 为了说明每一结论的正确性 他在编写这本书时进行了大胆创造 挑 选了一部分数学名词和一部分公认的真命题作为证实其他命题的起始依据 其中的数学名词称为原 名 公认的真命题称为公理 axiom 除了公理外 其他真命题的正确性都通过推理的方法证实 推 理的过程称为证明 proof 经过证明的真命题称为定理 theorem 而证明所需的定义 公理和其 他定理都编写在要证明的这个定理的前面 原本 问世之前 世界上还没有一本数学书籍像 原本 这样编排 因此 原本 是一部具 有划时代意义的著作 生 老师 我知道了 除公理 定义外 其他的真命题必须通过证明才能证实 师 对 我们这套教材有如下命题作为公理 出示投影片 6 2 2 D 1 两直线被第三条直线所截 如果同位角相等 那么这两条直线平行 2 两条平行线被第三条直线所截 同位角相等 3 两边及其夹角对应相等的两个三角形全等 4 两角及其夹边对应相等的两个三角形全等 5 三边对应相等的两个三角形全等 6 全等三角形的对应边相等 对应角相等 师 同学们来朗读一次 师 好 除这些以外 等式的有关性质和不等式的有关性质都可以看作公理 在等式或不等式中 一个量可以用它的等量来代替 如 如果 a b b c 那么 a c 这一性质也看 做公理 称为 等量代换 注意 1 公理是通过长期实践反复验证过的 不需要再进行推理论证而都承认的真命题 2 公理可以作为判定其他命题真假的根据 好 下面我们通过 读一读 来进一步了解 原本 这套书 进而了解数学史 3 巩固应用 拓展研究巩固应用 拓展研究 1 课本 P185 读一读 2 看课本 P181 185 然后小结 3 将一个命题的条件与结论交换得到一个新命题 我们称这个命题为原命题的逆命题 请 写出下列命题的逆命题 并判断是真命题还是假命题 凡直角都相等 对顶角相等 两直线平行 同位角相等 158 如果两数中有一个是正数 那么这两个数之和是正数 过程 让学生充分考虑 使他们能分清命题的题设和结论 写出逆命题的关键是分清原命题 的题设和结论 而判别真假则依赖于对知识的掌握 结果 解 凡相等的角都是直 假命题 相等的角是对顶角 假命题 同位角相等 两直线平行 真命题 如果两个数之和是正数 那么这两个数中必须有一个正数 真命题 4 回顾联系 形成结构回顾联系 形成结构 本节课我们主要研究了命题的组成及真假 知道任何一个命题都是由条件和结论两部分组成 命 题分为真命题和假命题 在辨别真假命题时 注意 假命题只需举一个反例即可 而真命题除公理和性质外 必须通过推 理得证 大家要会灵活运用本节课谈到的公理来证明一些题 5 课外作业与拓展课外作业与拓展 课外作业 课本 P197 习题 6 3 1 2 3 教学反思 159 6 3 为什么它们平行为什么它们平行 一 教学目标一 教学目标 一 教学知识点 1 平行线的判定公理 2 平行线的判定定理 二 能力训练要求 1 通过经历探索平行线的判定方法的过程 发展学生的逻辑推理能力 2 理解和掌握平行线的判定公理及两个判定定理 3 掌握应用数学语言表示平行线的判定公理及定理 逐步掌握规范的推理论证格式 三 情感与价值观要求 通过学生画图 讨论 推理等活动 给学生渗透化归思想和分类思想 二 教学重难点二 教学重难点 教学重点 平行线的判定定理 公理 教学难点 推理过程的规范化表达 三 教具准备三 教具准备 投影片五张 第一张 定理 记作投影片 6 3 A 第二张 议一议 记作投影片 6 3 B 第三张 定理 记作投影片 6 3 C 第四张 想一想 记作投影片 6 3 D 第五张 小结 记作投影片 6 3 E 四 教学过程设计四 教学过程设计 1 创设情景 引入新课创设情景 引入新课 师 前面我们探索过直线平行的条件 大家来想一想 两条直线在什么情况下互相平行呢 生甲 在同一平面内 不相交的两条直线就叫做平行线 生乙 两条直线都和第三条直线平行 则这两条直线互相平行 生丙 同位角相等 两直线平行 内错角相等 两直线平行 同旁内角互补 两直线平行 师 很好 这些判定方法都是我们经过观察 操作 推理 交流等活动得到的 上节课我们谈到了要证实一个命题是真命题 除公理 定义外 其他真命题都需要通过推理的 方法证实 我们知道 在同一平面内 不相交的两条直线叫做平行线 是定义 两条直线被第三条直 线所截 如果同位角相等 那么这两条直线平行 是公理 那其他的三个真命题如何证实呢 这节 课我们就来探讨第三节 为什么它们平行 2 讲授新课讲授新课 师 看命题 出示投影片 6 3 A 两条直线被第三条直线所截 如果同旁内角互补 那么这两条直线平行 师 这是一个文字证明题 需要先把命题的文字语言转化成几何图形和符号语言 所以根据 题意 可以把这个文字证明题转化为下列形式 160 如图 6 12 已知 1 和 2 是直线 a b 被直线 c 截出的同旁内角 且 1 与 2 互补 求证 a b 那如何证明这个题呢 我们来分析分析 师生共析 要证明直线 a 与 b 平行 可以想到应用平行线的判定公理来证明 这时从图中可 以知道 1 与 3 是同位角 所以只需证明 1 3 则 a 与 b 即平行 因为从图中可知 2 与 3 组成一个平角 即 2 3 180 所以 3 180 2 又因为已 知条件中有 2 与 1 互补 即 2 1 180 所以 1 180 2 因此由等量代换可以知道 1 3 师 好 下面我们来书写推理过程 大家口述 老师来书写 在书写的同时说明 符号 读作 因为 读作 所以 证明 1 与 2 互补 已知 1 2 180 互补的定义 1 2 180 1 180 2 等式的性质 3 2 180 1 平角 180 3 180 2 等式的性质 1 180 2 3 180 2 1 3 等量代换 1 3 a b 同位角相等 两直线平行 这样我们经过推理的过程证明了一个命题是真命题 我们把这个真命题称为 直线平行的判定 定理 这一定理可简单地写成 同旁内角互补 两直线平行 注意 1 已给的公理 定义和已经证明的定理以后都可以作为依据 用来证明新定理 2 方括号内的 1 2 180 等 就是上面刚刚得到的 1 2 180 在这 种情况下 方括号内的这一步可以省略 3 证明中的每一步推理都要有根据 不能 想当然 这些根据 可以是已知条件 也可以 是定义 公理 已经学过的定理 在初学证明时 要求把根据写在每一步推理后面的括号内 好 下面大家来议一议 出示投影片 6 3 B 小明用下面的方法作出了平行线 你认为他的作法对吗 为什么 161 生 我认为他的作法对 他的作法可用图 6 14 来表示 CFE 45 BEF 45 因为 BEF 与 FEA 组成一个平角 所以 FEA 180 BEF 180 45 135 而 CFE 与 FEA 是同旁内角 且 这两个角的和为 180 因此可知 CD AB 师 很好 从图中可知 CFE 与 FEB 是内错角 因此可知 内错角相等 两直线平行 是 真命题 下面我们来用规范的语言书写这个真命题的证明过程 师生共析 已知 如图 6 15 1 和 2 是直线 a b 被直线 c 截出的内错角 且 1 2 求证 a b 证明 1 2 已知 1 3 180 1 平角 180 2 3 180 等量代换 2 与 3 互补 互补的定义 a b 同旁内角互补 两直线平行 这样我们就又得到了直线平行的另一个判定定理 出示投影片 6 3 C 两条直线被第三条直线所截 如果内错角相等 那么这两条直线平行 这一定理可以简单说成 内错角相等 两直线平行 师 刚才我们是应用判定定理 同旁内角互补 两直线平行 来证明这一定理的 下面大家 来想一想 出示投影片 6 3 D 借助 同位角相等 两直线平行 这一公理 你还能证明哪些熟悉的结论呢 生甲 已知 如图 6 16 直线 a c b c 求证 a b 162 证明 a c b c 已知 1 90 2 90 垂直的定义 1 2 等量代换 b a 同位角相等 两直线平行 生乙 由此可以得到 如果两条直线都和第三条直线垂直 那么这两条直线平行 的结论 师 同学们讨论得真棒 下面我们通过练习来熟悉掌握直线平行的判定定理 3 课堂练习课堂练习 一 课本 P200随堂练习 1 蜂房的底部由三个全等的四边形围成 每个四边形的形状如图 6 17 所示 其中 109 28 70 32 试确定这三个四边形的形状 并说明你的理由 解 这三个四边形的形状是平行四边形 理由是 109 28 70 32 已知 180 等式的性质 AB CD AD BC 同旁内角互补 两直线平行 四边形 ABCD 是平行四边形 平行四边形的定义 二 你能用圆规和直尺作出两条平行线吗 能证明你的作法吗 过程 通过这个活动 一来复习用尺规作图 二来熟悉掌握证明的步骤 结果 如图 6 18 所示 用圆规和直尺能作出两条平行线 因为在作图中 作 而 与 是同位角 由 同位角相等 两直线平行 可知 a b 还可以作内错角 即 作一个角等于已知角 使所作的角与 是内错角即可 4 回顾联系 形成结构回顾联系 形成结构 这节课我们主要探讨了平行线的判定定理的证明 同学们来归纳一下完成下表 出示投影片 6 3 E 163 由角的大小关系来证两直线平行的方法 再一次体现了 数 与 形 的关系 而应用这些公理 定理时 必须能在图形中准确地识别出有关的角 注意 1 证明语言的规范化 2 推理过程要有依据 3 两条直线都和第三条直线平行 这两条直线互相平行 这个真命题以后证 5 课外作业与拓展课外作业与拓展 课外作业 课本 P201习题 6 4 1 2 教学反思 164 6 4 如果两条直线平行如果两条直线平行 一 教学目标一 教学目标 一 教学知识点 1 平行线的性质定理的证明 2 证明的一般步骤 二 能力训练要求 1 经历探索平行线的性质定理的证明 培养学生的观察 分析和进行简单的逻辑推理能力 2 结合图形用符号语言来表示平行线的三条性质的条件和结论 并能总结归纳出证明的一般步骤 三 情感与价值观要求 通过师生的共同活动 培养学生的逻辑思维能力 熟悉综合法证明的格式 进而激发学生学习 的积极主动性 二 教学重难点二 教学重难点 教学难点 理解命题 分清其条件和结论 正确对照命题画出图形 写出已知 求证 三 教具准备三 教具准备 投影片六张 第一张 议一议 记作投影片 6 4 A 第二张 想一想 记作投影片 6 4 B 第三张 符号语言 记作投影片 6 4 C 第四张 命题 记作投影片 6 4 D 第五张 证明的一般步骤 记作投影片 6 4 E 第六张 练习 记作投影片 6 4 F 四 教学过程设计四 教学过程设计 1 创设情景 引入新课创设情景 引入新课 师 上节课我们通过推理得证了平行线的判定定理 知道它们的条件是角的大小关系 其结 论是两直线平行 如果我们把平行线的判定定理的条件和结论互换之后得到的命题是真命题吗 这节课我们就来研究 如果两条直线平行 2 讲授新课讲授新课 师 在前一节课中 我们知道 两条平行线被第三条直线所截 同位角相等 这个真命题 是公理 这一公理可以简单说成 两直线平行 同位角相等 下面大家来分组讨论 出示投影片 6 4 A 议一议 利用这个公理 你能证明哪些熟悉的结论 生甲 利用 两条直线平行 同位角相等 可以证明 两条直线平行 内错角相等 生乙 还可以证明 两条直线平行 同旁内角互补 师 很好 下面大家来想一想 出示投影片 6 4 B 1 根据 两条平行线被第三条直线所截 内错角相等 你能作出相关的图形吗 2 你能根据所作的图形写出已知 求证吗 3 你能说说证明的思路吗 165 生甲 根据上述命题的文字叙述 可以作出相关的图形 如图 6 23 生乙 因为 两条平行线被第三条直线所截 内错角相等 这个命题的条件是 两条平行线 被第三条直线所截 它的结论是 内错角相等 所以我根据所作的图形 如图 6 23 把这个文字命题 改写为符号语言 即 已知 如图 6 23 直线 a b 1 和 2 是直线 a b 被直线 c 截出的内错角 求证 1 2 师 乙同学叙述得很好 出示投影片 6 4 C 投影片为上面的符号语言 你能说说证明的思路吗 生丙 要证明内错角 1 2 从图中知道 1 与 3 是对顶角 所以 1 3 由此可知 只 需证明 2 3 即可 而 2 与 3 是同位角 这样可根据平行线的性质公理得证 师 丙同学的思路清楚 我们来根据他的思路书写证明过程 哪位同学上黑板来书写呢 学生举手 请一位同学来 生丁 证明 a b 已知 3 2 两直线平行 同位角相等 1 3 对顶角相等 1 2 等量代换 师 同学们写得很好 通过证明证实了这个命题是真命题 我们可以把它称为定理 即平行线 的性质定理 这样就可以把它作为今后证明的依据 注意 1 在课本 P191中曾指出 随堂练习和习题中用黑体字给出的结论也可以作为今后证 明的依据 所以像 对顶角相等 就可以直接应用 2 这个性质定理的条件是 直线平行 结论是 角的关系 在应用时一定要注意 接下来我们来做一做由判定公理可以证明的另一命题 出示投影片 6 4 D 两条平行线被第三条直线所截 同旁内角