内切球与外接球习题讲义教师版

1 立体几何中的立体几何中的 内切内切 与与 外接外接 问题的探究问题的探究 1 1 球与柱体球与柱体 规则的柱体 如正方体 长方体 正棱柱等能够和球进行充分的组合 以外接和内 切两种形态进行结合 通过球的半径和棱柱的棱产生联系 然后考查几何体的体积或 者表面积等相关问题 1 11 1 球与正方体球与正方体 如图 1 所示 正方体 设正方体的棱长为 为棱的中点 1111 DCBAABCD aGHFE 为球的球心 O 常见组合方式有三类 一是球为正方体的内切球 截面图为正方形和其内切EFHG 圆 则 2 a rOJ 二是与正方体各棱相切的球 截面图为正方形和其外接圆 则 EFHGaROG 2 2 三是球为正方体的外接球 截面图为长方形和其外接圆 则 11A ACC 2 3 1 a ROA 通过这三种类型可以发现 解决正方体与球的组合问题 常用工具是截面图 即根 据组合的形式找到两个几何体的轴截面 通过两个截面图的位置关系 确定好正方体 的棱与球的半径的关系 进而将空间问题转化为平面问题 例例 1 1 棱长为 1 的正方体 1111 ABCDABC D 的 8 个顶点都在球O的表面上 EF 分别是棱 1 AA 1 DD的中点 则直线EF被球O截得的线段长为 A 2 2 B 1 C 2 1 2 D 2 1 21 2 球与长方体球与长方体 长方体各顶点可在一个球面上 故长方体存在外切球 但是不一定存在内切球 设长 方体的棱长为 a b c其体对角线为l 当球为长方体的外接球时 截面图为长方体的对角 面和其外接圆 和正方体的外接球的道理是一样的 故球的半径 222 22 labc R 例例 2 2 在长 宽 高分别为 2 2 4 的长方体内有一个半径为 1 的球 任意摆动此长方 体 则球经过的空间部分的体积为 A B 4 C D 10 3 8 3 7 3 1 31 3 球与正棱柱球与正棱柱 球与一般的正棱柱的组合体 常以外接形态居多 下面以正三棱柱为例 介绍本类题 目的解法 构造直角三角形法 设正三棱柱的高为 底面边长为 如 111 CBAABC ha 图 2 所示 和分别为上下底面的中心 根据几何体的特点 球心必落在高的中D 1 D 1 DD 2 点 借助直角三角形的勾股定理 可求OaADRAO h OD 3 3 2 AOD 2 2 3 3 2 a h R 例例 3 3 正四棱柱 1111 ABCDABC D 的各顶点都在半径为R的球面上 则正四棱柱的侧面积有 最 值 为 2 2 球与锥体球与锥体 规则的锥体 如正四面体 正棱锥 特殊的一些棱锥等能够和球进行充分的组合 以外接和内切两种形态进行结合 通过球的半径和棱锥的棱和高产生联系 然后考查 几何体的体积或者表面积等相关问题 2 12 1 球与正四面体球与正四面体 正四面体作为一个规则的几何体 它既存在外接球 也存在内切球 并且两心合一 正四面体作为一个规则的几何体 它既存在外接球 也存在内切球 并且两心合一 利用这点可顺利解决球的半径与正四面体的棱长关系 利用这点可顺利解决球的半径与正四面体的棱长关系 如图如图 4 4 设正四面体 设正四面体的棱长为的棱长为 内切球半径为 内切球半径为 外接球的半径为 外接球的半径为R 取 的 ABCS arAB 中点为 为 在底面的射影 连接为正四面体的高 在截面三角形 DESSESDCD SDC 作一个与边和相切 圆心在高上的圆 即为内切球的截面 SDDCSE 因为正四面体本身的对称性可知 外接球和内切球的球心同为 此时 O 则有则有 2 2 22 2 33 a RraRrCE 解得 3 3 3 2 aCEaSErOEROSCO 66 412 Ra ra 这个解法是通过利用两心合一的思路 建立含有两个球的半径的等量 关系进行求解 同时我们可以发现 球心O为正四面体高的四等分点 如果我们牢记这 些数量关系 可为解题带来极大的方便 例例 4 4 将半径都为 的四个钢球完全装入形状为正四面体的容器里 这个正四面体的高 的最小值为 A 32 6 3 B 2 2 6 3 C 4 2 6 3 D 4 32 6 3 3 球的外切正四面体 这个小球球心与外切正四面体的中心重合 而正四面体的中心到顶点的距离是中心到地面距离的 3 倍 2 22 2 球与三条侧棱互相垂直的三棱锥球与三条侧棱互相垂直的三棱锥 球与三条侧棱互相垂直的三棱锥组合问题 主要是体现在球为三棱锥的外接球 解 决的基本方法是补形法 即把三棱柱补形成正方体或者长方体 常见两种形式 一是三棱锥的三条棱互相垂直且相等 则可以补形为一个正方体 它的外接球的 球心就是三棱锥的外接球的球心 如图 5 三棱锥的外接球的球心和正方体 111 DABA 的外接球的球心重合 设 则 1111 DCBAABCD aAA 1 aR 2 3 二是如果三棱锥的三条侧棱互相垂直且不相等 则可以补形为一个长方体 它的 外接球的球心就是三棱锥的外接球的球心 为长方体的体对角线长 44 2222 2 lcba R l 例例 5 5 在正三棱锥SABC 中 MN 分别是棱SCBC 的中点 且AMMN 若侧棱 2 3SA 则正三棱锥外接球的表面积是 ABCS 2 32 3 球与正棱锥球与正棱锥 球与正棱锥的组合 常见的有两类 一是球为三棱锥的外接球 此时三棱锥的各个顶点在球面上 根据截面图的特点 可以构造直角三角形进行求解 二是球为正棱锥的内切球 例如正三棱锥的内切球 球与正三棱锥四个面相切 球心到四个面的距离相等 都为球半径R 这样求球的半径可转化为球球心到三棱锥 面的距离 故可采用等体积法解决 即四个小三棱锥的体积和为正三棱锥的体积 例例 6 6 在三棱锥 P ABC 中 PA PB PC 3 侧棱 PA 与底面 ABC 所成的 角为 60 则该三棱锥外接球的体积为 A B 3 C 4 D 4 3 4 2 42 4 球与特殊的棱锥球与特殊的棱锥 球与一些特殊的棱锥进行组合 一定要抓住棱锥的几何性质 可综合利用截面法 补 形法 等进行求解 例如 四面体都是直角三角形的三棱锥 可利用直角三角形斜边中点几何特征 巧定 球心位置 如图 8 三棱锥 满足面 取的中点为 由直角三角形的性ABCS SAABCBCAB SCO 质可得 所以点为三棱锥的外接球的球心 则 2 SC R OCOBOSOA OABCS 例例 7 7 矩形ABCD中 4 3 ABBC 沿AC将矩形ABCD折成一个直二面角BACD 则四 面体ABCD的外接球的体积是 A 12 125 B 9 125 C 6 125 D 3 125 3 3 球与球球与球 对个多个小球结合在一起 组合成复杂的几何体问题 要求有丰富的空间想象能 力 解决本类问题需掌握恰当的处理手段 如准确确定各个小球的球心的位置关系 或者巧借截面图等方法 将空间问题转化平面问题求解 例 8 在半径为的球内放入大小相等的 4 个小球 则小球的半径的最大值为 5 4 4 球与几何体的各条棱相切球与几何体的各条棱相切 球与几何体的各条棱相切问题 关键要抓住棱与球相切的几何性质 达到明确球心的 位置为目的 然后通过构造直角三角形进行转换和求解 如与正四面体各棱都相切的球的半径为相对棱的一半 2 4 ra 例例 8 8 把一个皮球放入如图 10 所示的由 8 根长均为 20 cm 的铁丝接成的四棱锥形骨架内 使皮球的表面与 8 根铁丝都有接触点 则皮球的半径为 A B C D cm310cm10cm210cm30 综合上面的四种类型 解决与球的外切问题主要是指球外切多面体与旋转体 解答时 首先要找准切点 通过作截面来解决 如果外切的是多面体 则作截面时主要抓住多面 体过球心的对角面来作 把一个多面体的几个顶点放在球面上即为球的内接问题 解 决这类问题的关键是抓住内接的特点 即球心到多面体的顶点的距离等于球的半 径 发挥好空间想象力 借助于数形结合进行转化 问题即可得解 如果是一些特殊 的几何体 如正方体 正四面体等可以借助结论直接求解 此时结论的记忆必须准确 外接球内切球问题外接球内切球问题 1 1 陕西理 陕西理 一个正三棱锥的四个顶点都在半径为 1 的球面上 其中底面的三个顶 点在该球的一个大圆上 则该正三棱锥的体积是 A 4 33 B 3 3 C 4 3 D 12 3 答案答案 B B 2 直三棱柱 111 ABCABC 的各顶点都在同一球面上 若 1 2ABACAA 120BAC 6 则此球的表面积等于 解 在ABC 中2ABAC 120BAC 可得2 3BC 由正弦定理 可得ABC 外接圆半 径 r 2 设此圆圆心为 O 球心为O 在RT OBO 中 易得球半径5R 故此球的 表面积为 2 420R 3 正三棱柱 111 ABCABC 内接于半径为2的球 若 A B两点的球面距离为 则正三棱柱 的体积为 答案 8 4 4 表面积为2 3 的正八面体的各个顶点都在同一个球面上 则此球的体积为 A 2 3 B 1 3 C 2 3 D 2 2 3 答案答案 A A 解析解析 此正八面体是每个面的边长均为a的正三角形 所以由 2 3 82 3 4 a 知 1a 则此球的直径为2 故选 A 5 5 已知正方体外接球的体积是 3 32 那么正方体的棱长等于 A 22 B 3 32 C 3 24 D 3 34 答案答案 D D 6 6 山东卷 山东卷 正方体的内切球与其外接球的体积之比为 A 1 3 B 1 3 C 1 33 D 1 9 答案答案 C C 7 7 海南 宁夏理科 海南 宁夏理科 一个六棱柱的底面是正六边形 其侧棱垂直底面 已知该六棱 柱的顶点都在同一个球面上 且该六棱柱的体积为 9 8 底面周长为 3 则这个球的体积 为 答案答案 3 4 8 8 天津理 天津理 一个长方体的各顶点均在同一球的球面上 且一个顶点上的三条棱的长 分别为 1 2 3 则此球的表面积为 答案答案 14 9 9 全国 全国 理 理 一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为 2 cm 的球面上 如果正四棱柱 的底面边长为 1 cm 那么该棱柱的表面积为 cm2 答案答案 24 2 10 10 辽宁辽宁 如图 半径为 2 的半球内有一内接正六棱锥PABCDEF 则此正六棱锥的 侧面积是 答案答案 6 7 11 11 辽宁省抚顺一中 辽宁省抚顺一中 棱长为 2 的正四面体的四个顶点都在同一个球面上 若过该球 球心的一个截面如图 则图中三角形 正四面体的截面 的面积是 答案答案 2 A B C P D E F 7 12 枣庄一模 一个几何体的三视图如右图所示 则该几何体外接球的表面积为 A 3B 2 C 3 16 D 以上都不对 答案 C 13 13 吉林省吉林市吉林省吉林