车轮为什么做成圆形

3 3 1 1 车轮为什么做成圆形车轮为什么做成圆形 姓名 主备教师 管红芳 审核 数学教研组 内容 车轮为 什么做成圆形 课型 新授 时间 年 月 日 教学目标教学目标 一一 教学知识点教学知识点 1 理解圆的概念 2 理解点与圆的位置关系 二二 能力训练要求能力训练要求 1 经历通过实例归纳出圆的定义的过程 2 会利用点到圆心的距离和圆的半径之间的数量关系判定点和圆的位置关 系 三 情感与价值要求 通过对圆的图形的认识 使学生认识新的几何图形的对称美 体会所体现 出的完美性 培养学生美的感受 激发学习兴趣 教学重点教学重点 点和圆的三种位置关系 教学难点教学难点 用集合的观点研究圆的概念 教学方法教学方法 指导探索法 教具准备教具准备 自制两个车轮模具 一个圆形 一个方形 教学过程教学过程 创设现实情境 引入新课 创设现实情境 引入新课 前面我们已经学习过两种常见的几何图形 三角形 四边形 大家回忆一 下我们是通过一些什么方法研究了它们的性质 可以通过可以通过折叠 平移 旋转 推理证明等方法 大家总结得很详细 今天我们继续运用这些方法来学习和研究小学已接触 过的另一种常见的几何图形 圆 和三角形 四边形一样 圆的性质与应用同样需要通过折叠 平移 旋转 推理证明等方法去学习和探究 下面我们来学习第一节 车轮为什么做成圆形 讲授新课 讲授新课 日常生活中同学们经常见到的汽车 摩托车 自行车等一些交通运输工具 的车轮是什么形状的 请同学们思考一个问题 为什么车轮要做成圆形呢 能否做成长方形或正 方形 我这里有两个车轮模具 一个是圆形 一个是正方形 我们一起观察一下 这两个车轮在行进中有些什么特点 大家讨论 讨论如下图 圆形车轮行进时 较平稳 方形车轮运转不方便 颠簸较大 行走不平 稳 通过我们平常乘坐汽车 或骑自行车感受到 圆形的车轮只要路面平整 车子就不会上下颠簸 人坐在车上就感到平稳 舒服 假如车轮是方形的 那 么车子在行进中 就会对人产生一种上下颠簸 坐着不舒服的感觉 下面我们一起来探讨一下 是什么原因导致车轮要做成圆形 不能做成方 形 看 P83图 A B表示车轮边缘上的两点 点O表示车轮的轴心 A O之间 的距离与B O之间的距离有什么关系 用什么方法可以判断 大家动手做一 做 同学们做得很好 大家通过不同的方法 得到的结果是什么 OA OB 刚才是两个特殊点 现在我们在车轮边缘上任意取一点C 要使车轮能够 平稳地滚动 C O之间的距离与A O之间的距离应有什么关系 CO AO 这样才能保证车轮平稳地滚动 同学们以前画过圆 画一个圆很简单 将圆规的一个脚固定 另一个带有铅笔 头的脚转一圈 一个圆就画出来了 固定的那一点称为圆心 所画得的圆圈叫 圆周 从画圆的过程中可以看到 圆规两个脚之间的长度始终保持不变 也就 是说圆心到圆周上任意一点的距离都相等 这是圆的一个重要而又最基本的性 质 人们就是用圆的这种性质来制造车轮的 车轴总是安装在车轮的圆心位置 上 这样 车轴到车轮边缘的距离处处相等 也就是说 车子在行进中 车轴 离路面的距离总是一样的 车子在平路上行走较平稳 假如是方形的 车轴到 路面的距离时大时小 车子就会产生颠簸 下面我们再看一个游戏队形 一些学生正在做投圈游戏 他们呈 一 字排开 这样的队形对每个人都公平吗 你认为他们应当排成什么样的队形 1 排成方形的 2 2 你的说法不对 排成方形的 顶点处的同学还是吃亏 我觉得应当竖着 排成一行 3 3 我觉得今天学的是圆 应当排成圆形或圆弧形较合适 大家讨论得很好 每个人都说出了各自的想法 就这个问题 如果单纯从 队形来考虑 排成圆形或圆弧形比较公平 因为每个同学离要投的目标一样远 近 这样我们就得到了圆的定义 平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆 circle 其中 定点称为圆心 Centre of a circle 定长称为半径 radius 的长 通常也称为 半径 以点O为圆心的圆记作 O 读作 圆O 注意 确定一个圆需要两个要素 一是位置 二是大小 圆心确定其位置 半径确定其大小 只有圆心没有半径 虽圆的位置固定 但大小不定 因而圆 不确定 只有半径而没有圆心 虽圆的大小固定 但圆心的位置不定 因而圆 也不确定 只有圆心和半径都固定 圆才被唯一确定 巩固练习 课本 P85随堂练习 1 体育教师想利用一根 3m 长的绳子在操场上画一个半径为 3m 的圆 你能 帮他想想办法吗 答 将绳子的一端A固定 然后拉紧绳子的另一端B 并绕A在地上转一 圈 B所经过的路径就是所希望的圆 接下来我们研究点和圆的位置关系 请同学们在练习本上画一个圆 大家想一想这个圆把平面分成了几部分 互相讨论一下 两部分 圆的内部和外部 三部分 还有一部分在圆上 同学们讨论得很好 一个圆应该将平面分成三部分 圆的内部 圆 圆的 外部 下面我们看书 P84想一想 图 3 3 由图可以看出A C在 O内 点B在 O上 点D E在 O外 如果我们把这个靶看成一个以O为圆心 以r为半 径的圆 飞镖落的位置看成点 那么我们可以发现点和圆的位置有三种情况 点在圆内 点在圆上 点在圆外 若设 O的半径为r 点P到圆心O的距离为d 当点P与圆心的距离由小 于半径变到等于半径再变到大于半径时 点和圆的位置关系就由圆内变到圆上 再变到圆外 这说明由点和圆的位置关系可以得到d与r之间的关系 反过来 由d与r的数量关系也可以判定点和圆的位置关系 注意 点与圆的位置关系可以转化为点到圆心的距离与半径之间的数量关 系 反过来 也可以通过这种数量关系判断点与圆的位置关系 2 做一做 设AB 3cm 作图说明满足下列要求的图形 1 到点A和点B的距离都等于 2cm 的所有点组成的图形 2 到点A和点B的距离都小于 2cm 的所有点组成的图形 提示 解决这类题的关键是明确用集合的观点定义的圆 圆的内部 外部 的含义 向学生渗透一种常用的数学方法 交集法 注意 2 的图形不包括重 叠部分的边界 可先让学生思考 满足条件的点分别与OA OB有怎样的位置关 系 解 解 1 到点A和点B的距离都等于 2cm 的点组成的图形为 A和 B的交 点C D 2 到点A B距离都小于 2cm 的点组成的图形为 A和 B的公共部分 不 包括公共部分的两条弧 课时小结 课时小结 通过这节课的学习 同学们谈一下你有何收获和体会 我们知道了车轮为什么做成圆形以及圆的定义和确定一个圆的两个条件 我还学会了如何确定点和圆的三种位置关系 课后作业 课后作业 课本 P86 习题 3 1 1 4 题 活动与探究 活动与探究 已知 O的半径为 10cm 圆心O至直线l的距离OD 6cm 在直线l上有 A B C三点 并且有AD 10cm BD 8cm CD 6cm 分别指出点A B C和 O的位置关系 过程过程 让学生画出图形 数形结合 根据勾股定理 分别求得 OA cm OB 10cm OC cm 再分别比较OA OB OC与半径的大小13672 即可 结果结果 A点在 O外 B点在 O上 C点在 O内 板书设计板书设计 3 1 车轮为什么做成圆形 一 圆的定义 圆心 半径 圆的表示法 二 点和圆的位置关系 1 点在圆外 即d r 2 点在圆上 即d r 3 点在圆内 即d r 三 做一做 四 小结 五 作业 3 3 2 2 1 1 圆的对称性圆的对称性 姓名 主备教师 管红芳 审核 数学教研组 内容 圆的对称性 课型 新授 时间 年 月 日 教学目标 一一 教学知识点教学知识点 1 圆的轴对称性 2 垂径定理及其逆定理 3 运用垂径定理及其逆定理进行有关的计算和证明 二二 能力训练要求能力训练要求 1 经历探索圆的对称性及相关性质的过程 进一步体会和理解研究几何图 形的各种方法 2 培养学生独立探索 相互合作交流的精神 三三 情感与价值观要求情感与价值观要求 通过学习垂径定理及其逆定理的证明 使学生领会数学的严谨性和探索精 神 培养学生实事求是的科学态度和积极参与的主动精神 四 四 教学重难点 教学重难点 垂径定理及其逆定理 垂径定理及其逆定理的证明 指导探索和自主探索相结合 投影片两张 第一张 做一做 记作 3 2 1A 第二张 想一想 记作 3 2 1B 教学过程教学过程 创设问题情境 引入新课 创设问题情境 引入新课 前面我们已探讨过轴对称图形 哪位同学能叙述一下轴对称图形的定义 如果一个图形沿着某一条直线折叠后 直线两旁的部分能够互相重合 那 么这个图形叫轴对称图形 这条直线叫对称轴 我们是用什么方法研究了轴对称图形 折叠 今天我们继续用前面的方法来研究圆的对称性 讲授新课 讲授新课 同学们想一想 圆是轴对称图形吗 如果是 它的对称轴是什么 你能找 到多少条对称轴 圆是轴对称图形 过圆心的直线是它的对称轴 有无数条对称轴 是吗 你是用什么方法解决上述问题的 大家互相讨论一下 我们可以利用折叠的方法 解决上述问题 把一个圆对折以后 圆的两半 部分重合 折痕是一条过圆心的直线 由于过圆心可以作无数条直线 这样便 可知圆有无数条对称轴 板书 圆是轴对称图形 其对称轴是任意一条过圆心的直线 下面我们来认识一下弧 弦 直径这些与圆有关的概念 1 圆弧 圆上任意两点间的部分叫做圆弧 简称弧 arc 2 弦 连接圆上任意两点的线段叫做弦 chord 3 直径 经过圆心的弦叫直径 diameter 如下图 以A B为端点的弧记作 读作 圆弧AB 或 弧AB 线段 A AB AB是 O的一条弦 弧CD是 O的一条直径 注意 注意 1 弧包括优弧 major arc 和劣弧 minor arc 大于半圆的弧称为优弧 小于半圆的弧称为劣弧 如上图中 以A D为端点的弧有两条 优弧ACD 记 作 劣弧ABD 记作 半圆 圆的任意一条直径的两个端点分圆成两 A ACD A AD 条弧 每一条弧叫半圆弧 简称半圆 半圆是弧 但弧不一定是半圆 半圆既 不是劣弧 也不是优弧 2 直径是弦 但弦不一定是直径 下面我们一起来做一做 出示投影片 3 2 1A 按下面的步骤做一做 1 在一张纸上任意画一个 O 沿圆周将圆剪下 把这个圆对折 使圆的 两半部分重合 2 得到一条折痕CD 3 在 O上任取一点A 过点A作CD折痕的垂线 得到新的折痕 其中 点M是两条折痕的交点 即垂足 4 将纸打开 新的折痕与圆交于另一点B 如上图 大家一起动手 教师叙述步骤 师生共同操作 通过第一步 我们可以得到什么 可以知道 圆是轴对称图形 过圆心的直线是它的对称轴 在上述的操作过程中 你发现了哪些相等的线段和相等的弧 我发现了 AM BM AA ACBC AA ADBD 为什么呢 因为折痕AM与BM互相重合 A点与B点重合 还可以怎么说呢 能不能利用构造等腰三角形得出上面的等量关系 如下图示 连接OA OB得到等腰 OAB 即OA OB 因CD AB 故 OAM 与 OBM都是Rt 又OM为公共边 所以两个直角三角形全等 则 AM BM 又 O关于直径CD对称 所以A点和B点关于CD对称 当圆沿着直 径CD对折时 点A与点B重合 与重合 与重合 因此 AM BM 在上述操作过程中 你会得出什么结论 垂直于弦的直径平分这条弦 并且平分弦所对的弧 同学们总结得很好 这就是利用圆的轴对称性得到的与圆相关的一个重要 性质 垂径定理 在这里注意 条件中的 弦 可以是直径 结论中的 平分弧 指平分弦所对的劣弧 优弦 下面 我们一起看一下定理的证明 如上图 连结OA OB 则OA OB 在Rt OAM和Rt OBM中 OA OB OM OM Rt OAM Rt OBM AM BM 点A和点B关于CD对称 O关于直径CD对称 当圆沿着直径CD对折时 点A与点B重合 与重合 与 重合 为了运用的方便 不易出现错误 易于记忆 可将原定理叙述为 一条直 线若满足 1 过圆心 2 垂直于弦 那么可推出 平分弦 平分弦所对 的优弧 平分弦所对的劣弧 即垂径定理的条件有两项 结论有三项 用符号语言可表述为 如图 3 7 在 O中 AA A AMBM CD ADBD CDABM ACBC 是直径 于 下面 我们通过求解例 1 来熟悉垂径定理 例 1 如下图所示 一条公路的转弯处是一段圆弧 即图中 点O是 的圆心 其中CD 600m E为上一点 且OE CD 垂足为 A CD F EF 90m 求这段弯路的半径 要求弯路的半径 连结OC 只要求出OC的长便可以了 因为已知 OE CD 所以CF CD 300cm OF OE EF 此时就得到了一个Rt CFO 哪 1 2 位同学能口述一下如何求解 连结OC 设弯路的半径为R m 则 OF R 90 m OE CD CF CD 600 300 m 1 2 1 2 据勾股定理 得 OC2 CF2 OF2 即R2 3002 R 90 2 解这个方程 得R 545 这段弯路的半径为 545m 在上述解题过程中使用了列方程的方法 用代数方法解决几何问题 这种 思想应在今后的解题过程中注意运用 随堂练习 P92 1 略 下面我们来想一想 出示投影片 3 2 1B 如下图示 AB是 O的弦 不是直径 作一条平分AB的直径CD 交AB于 点M 上图是轴对称图形吗 如果是 其对称轴是什么 它是轴对称图形 其对称轴是直径CD所在的直线 很好 你是用什么方法验证上述结论的 大家互相交流讨论一下 你还有 什么发现 通过折叠的方法 与刚才垂径定理的探索方法类似 在一张纸上画一个 O 作一条不是直径的弦AB 将圆对折 使点A与点B重合 便得到一条折 痕CD与弦AB交于点M CD就是 O的对称轴 A点 B点关于直径CD对 称 由轴对称可知 AB CD 大家想想还有别的方法吗 互相讨论一下 如上图 连接OA OB便可得到一个等腰 OAB 即OA OB 又AM MB 即 M点为等腰 OAB底边上的中线 由等腰三角形三线合一的性质可知CD AB 又CD是 O的对称轴 当圆沿CD对折时 点A与点B重合 与重合 与重合 在上述的探讨中 你会得出什么结论 平分弦 不是直径 的直径垂直于弦 并且平分弦所对的弧 为什么上述条件要强调 弦不是直径 因为圆的任意两条直径互相平分 但是它们不一定是互相垂直的 我们把上述结论称为垂径定理的一个逆定理 同学们 你能写出它的证明过程吗 如上图 连结OA OB 则OA OB 在等腰 OAB中 AM MB CD AB 等腰三角形的三线合一 O关于直径CD对称 当圆沿着直径CD对折时 点A与点B重合 与重合 与 重合 接下来 做随堂练习 P92 2 如果圆的两条弦互相平行 那么这两条弦所夹的弧相等吗 为什么 答 相等 理由 如下图示 过圆心O作垂直于弦的直径EF 由垂径定理设 用等量减等量差相等 得 即 故结论成立 符合条件的图形有三种情况 1 圆心在平行弦外 2 在其中一条线弦上 3 在平行弦内 但理由相同 课时小结 课时小结 1 本节课我们探索了圆的对称性 2 利用圆的轴对称性研究了垂径定理及其逆定理 3 垂径定理和勾股定理相结合 构造直角三角形 可解决计算弦长 半径 弦心距等问题 课后作业 课后作业 一 课本 P93 习题 3 2 1 2 二 1 预习内容 P94 97 2 预习提纲 1 圆是中心对称图形 2 圆心角 弧 弦之间相等关系定理 活动与探究 活动与探究 1 银川市某居民区一处圆形下水管道破裂 修理人员准备更换一段新管 道 如图所示 污水水面宽度为 60cm 水面至管道顶部距离为 10cm 问修理人 员应准备内径多大的管道 过程过程 让学生在探究过程中 进一步把实际问题转化为数学问题 掌握通 过作辅助线构造垂径定理基本结构图 进而发展学生的思维 结果结果 如下图示 连结OA 过O作OE AB 垂足为E 交圆于F 则 AE AB 30cm 令 O的半径为R 则OA R OE OF EF R 10 在Rt 1 2 AEO中 OA2 AE2 OE2 即R2 302 R 10 2 解得R 50cm 修理人员应准 备内径为 100cm 的管道 板书设计板书设计 3 2 1 圆的对称性 一 圆是轴对称图形 其对称轴是任意一条过圆心的直径 二 与圆有关的概念 1 圆弧 2 弦 3 直径 注意 弧包括优弧 劣弧 半圆 三 垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦 并且平分弦所对的弧 例 1 略四 垂径定理逆定理 平分弦 不是直径 的直径垂直于弦 并且 平分弦所对的弧 注意 弦不是直径 五 课堂练习 六 课时小结 七 课后作业 3 3 2 2 2 2 圆的对称性圆的对称性 二二 姓名 主备教师 管红芳 审核 数学教研组 内容 圆的对称性 二 课型 新授 时间 年 月 日 教学目标 一 教学知识点 二 1 圆的旋转不变性 2 圆心角 弧 弦之间相等关系定理 二 能力训练要求 1 通过观察 比较 操作 推理 归纳等活动 发展空间观念 推理能力 以及概括问题的能力 2 利用圆的旋转不变性 研究圆心角 弧 弦之间相等关系定理 三 情感与价值观要求 培养学生积极探索数学问题的态度及方法 教学重点 圆心角 弧 弦之间关系定理 教学难点 圆心角 弧 弦之间关系定理 中的 在同圆或等圆 条件的理解及定 理的证明 教学方法 指导探索法 教具准备 投影片两张 第一张 做一做 记作 3 2 2 A 第二张 举反例图 记作 3 2 2B 教学过程 创设问题情境 引入新课 我们研究过中心对称图形 我们是用什么方法来研究它的 它的定义是什么 哪 位同学知道 用旋转的方法 中心对称图形是指把一个图形绕某一个点旋转 180 如 果旋转后的图形能够和原来的图形互相重合 那么这个图形叫中心对称图 形 这个点就是它的对称中心 师 圆是一个特殊的圆形 通过前面的学习 同学们已经了解到圆既是一 个轴对称图形又是一个中心对称图形 那么 圆还有其他特性吗 下面我们继续 来探讨 讲授新课 同学们请观察老师手中的两个圆有什么特点 大小一样 现在老师把这两个圆叠在一起 使它俩重合 将圆心固定 将上面这个圆旋转任意一个角度 两个圆还重合吗 通过旋转的方法我们知道 圆具有旋转不变的特性 即一个圆绕着它的 圆心旋转任意一个角度 都能与原来的图形重合 圆的中心对称性是其旋转不 变性的特例 即圆是中心对称图形 对称中心为圆心 我们一起来做一做 出示投影片 3 2 2 A 按下面的步骤做一做 1 在两张透明纸上 作两个半径相等的 O 和 O 沿圆周分别将两圆剪 下 2 在 O 和 O 上分别作相等的圆心角 AOB 和 A O B 如下图示 圆心固定 注意 在画 AOB 与 A O B 时 要使 OB 相对于 OA 的方向与 O B 相对于 O A 的方向一致 否则当 OA 与 OA 重合时 OB 与 O B 不能重合 3 将其中的一个圆旋转一个角度 使得 OA 与 O A 重合 教师叙述步骤 同学们一起动手操作 通过上面的做一做 你能发现哪些等量关系 同学们互相交流一下 说一说 你的理由 由已知条件可知 AOB A O B 由两圆的半径相等 可以得到 OAB OBA O A B O B A 由 AOB A O B 可得到 AB A B 由旋转法可知弧 AB 弧 A B 大家说得思路很清晰 其实刚才丁同学说到弧 AB 弧 A B 的理由是 一种新的证明弧相等的方法 叠合法 我们在上述做一做的过程中发现 固定圆心 将其中一个圆旋转一个角度 使半径 OA 与 O A 重合时 由于 AOB A O B 这样便得到半径 OB 与 O B 重合 因为点 A 和点 A 重合 点 B 和点 B 重合 所以弧 AB 和弧 A B 重合 弦 AB 与弦 A B 重合 即 弧 AB 弧 A B AB A B 在上述操作过程中 你会得出什么结论 在等圆中 相等的圆心角所对的弧相等 所对的弦相等 同学做得很好 这就是我们通过实验利用圆的旋转不变性探索到的圆的另 一个特性 圆心角 弧 弦之间相等关系定理 下面 我们一起来看一看命题的证明 如上图所示 已知 O 和 O 是两个半径相等的圆 AOB A O B 求证 弧 AB 弧 A B AB A B 证明 将 O 和 O 叠合在一起 固定圆心 将其中的一个圆旋转 一个 角度 使得半 径 OA 与 O A 重合 AOB A O B 半径 OB 与 O B 重合 点 A 与点 A 重合 点 D 与点 B 重合 弧 AB 与弧 A B 重合 弦 AB 与弦 A B 重合 弧 AB 弧 A B AB A B 上面的结论 在同圆中也成立 于是得到下面的定理 在同圆或等圆中 相等的圆心角所对的弧相等 所对的弦相等 注意 在运用这个定理时 一定不能忘记 在同圆或等圆中 这个前 提 否则也不一定 有所对的弧相等 弦相等这样的结论 通过举反例强化对定理的理解 请同学们画一个只能是圆心角相等的这个 条件的图 出示投影片 3 2 2 B 如下图示 虽然 AOB A O B 但 AB A B 弧 AB 弧 A B 下面我们共同想一想 如果我们把两个圆心角用 表示 两条弧用 表示 两条弦用 表示 我 们就可以得出这样的结论 在同圆或等圆中 也相等 相等 如果在同圆或等圆这个前提下 将题设和结论中任何一项交换一下 结论 正确吗 你是怎么想的 请你说一说 同学们互相交流 讨论 如果将上述题设 和结论 换一下 结论仍正确 可以通过旋转法或叠合 法得到证明 如果将上述题设 和结论 互换一下 结论也正确 可以通过证明全等或 叠合法得到 好 通过上面的探索 你得到了什么结论 在同圆或等圆中 如果两个圆心角 两条弧 两条弦中有一组量相等 那 么它们所 对应的其余各组量都分别相等 在同圆或等圆中 如果两个圆心角 两条弧 两条弦或两条弦的弦心距中 有一组量相等 那么它们所对应的其余各组量都分别相等 注意 1 不能忽略 在同圆或等圆中 这个前提条件 否则 丢掉这个前 提 虽然圆心角相等 但所对的弧 弦 弦心距不一定相等 2 此定理中的 弧 一般指劣弧 3 要结合图形深刻体会圆心角 弧 弦 弦心距这四个概念和 所对 一 词的含义 否则易错用此关系 4 在具体应用上述定理解决问题时 可根据需要 择其有关部分 如 在 同圆中 等弧所对的圆心角相等 在等圆中 弦心距相等的弦相等 等等 例如 右图中的 1 2 有的同学认为 1 对 AD 2 对 BC 就推出了 AD BC 显 然这是错误的 因为 AD BC 不是 等圆心角对等弦 的弦 下面我们通过练习巩固本节课的内容 课本 P97 随堂练习 1 2 3 课时小结 通过这一节的学习 在得出本节结论的过程中 回忆一下我们使用了哪些研究 图形的方法 同学们之间相互讨论 归纳 本节采用的方法有多种 利用折叠法研究了圆是轴对称图形 利用圆的轴对 称性研究了垂径定理及其逆定理 利用旋转的方法得到了圆的旋转不变性 由 圆的旋转不变性 我们探究了圆心角 弧 弦 弦心距之间相等关系定理 课后作业 课本 P98 习题 3 3 1 2 活动与探究 略 板书设计 3 2 2 圆的对称性 二 一 圆的旋转不变性圆是中心对称图形 对称中心为圆心 二 圆心角 弧 弦之间相等关系定理 证明 略 三 随堂练习 四 课时小结 五 课后作业 3 3 1 圆周角和圆心角的关系圆周角和圆心角的关系 姓名 主备教师 管红芳 审核 数学教研组 内容 圆周角和圆心角的关系 课型 新授 时间 年 月 日 教学目标教学目标 一一 教学知识点教学知识点 1 了解圆周角的概念 2 理解圆周角定理的证明 二二 能力训练要求能力训练要求 经历探索圆周角和圆心角的关系的过程 学会以特殊情况为基础 通过转 化来解决一般性问题的方法 渗透分类的数学思想 三三 情感与价值观要求情感与价值观要求 通过观察 猜想 验证推理 培养学生探索数学问题的能力和方法 教学重点教学重点 圆周角概念及圆周角定理 教学难点教学难点 认识圆周角定理需分三种情况证明的必要性 教学方法教学方法 指导探索法 教具准备教具准备 投影片两张 第一张 射门游戏 记作 3 3 1A 第二张 补充练习 1 记作 3 3 1B 教学过程教学过程 创设问题情境 引入新课 创设问题情境 引入新课 前面我们学习了与圆有关的哪种角 它有什么特点 请同学们画一个圆心 角 学习了圆心角 它的顶点在圆心 圆心是圆中一个特殊的点 当角的顶点在圆心时 就有圆心角 这样角与 圆两种不同的图形产生了联系 在圆中还有比较特殊的点吗 如果有 把这样 的点作为角的顶点 会是怎样的图形 讲授新课 讲授新课 1 圆周角的概念 同学们请观察下面的图 1 出示投影片 3 3 1A 这是一个射门游戏 球员射中球门的难易与他所处的位置B对球门AC的张 角 ABC 有关 图中的 ABC 顶点在什么位置 角的两边有什么特点 ABC的顶点B在圆上 它的两边分别和圆有另一个交点 通过学生观察 类比得到定义 圆周角 angle in a circular segment 定义 顶点在圆上 并且角的两边 和圆相交的角 请同学们考虑两个问题 1 顶点在圆上的角是圆周角吗 2 圆和角的两边都相交的角是圆周角吗 请同学们画图回答上述问题 通过画图 相互交流 讨论认清圆周角概念的本质特征 从而总结出圆周 角的两个特征 1 角的顶点在圆上 2 两边在圆内的部分是圆的两条弦 2 补充练习 1 出示投影片 3 3 1B 判断下列图示中 各图形中的角是不是圆周角 并说明理由 答 答 由圆周角的两个特征知 只有C是圆周角 而A B D E都不是 3 研究圆周角和圆心角的关系 在图 1 中 当球员在B D E处射门时 他所处的位置对球门AC分别形 成三个张角 ABC ADC AEC 这三个角的大小有什么关系 我们知道 在同圆或等圆中 相等的弧所对的圆心角相等 那么 在同圆 或等圆中 相等的弧所对的圆周角有什么关系 请同学们动手画出 O中所对的圆心角和圆周角 观察所对的圆周 角有几个 它们的大小有什么关系 你是通过什么方法得到的 所对的圆心 角和所对的圆周角之间有什么关系 所对的圆周角有无数个 通过测量的方法得知 所对的圆周角相等 所对的圆周角都等于它所对的圆心角的一半 对于有限次的测量得到的结论 必须通过其论证 怎么证明呢 说说你的 想法 并与同伴交流 互相讨论 交流 寻找解题途径 能否考虑从特殊情况入手试一下 圆周角一边经过圆心 特殊 由下图可知 显然 ABC AOC 结论成立 1 2 如上图 已知 O中 所对的圆周角是 ABC 圆心角是 AOC 求证 ABC AOC 1 2 证明 证明 AOC是 ABO的外角 AOC ABO BAO OA OB ABO BAO AOC 2 ABO 即 ABC AOC 1 2 如果 ABC的两边都不经过圆心 如下图 那么结果怎样 特殊情况会给 我们什么启发吗 你能将下图中的两种情况分别转化成上图中的情况去解决吗 学生互相交流 讨论 如图 1 点O在 ABC内部时 只要作出直径BD 将这个角转化为上述情 况的两个角的和即可证出 由刚才的结论可知 ABD AOD CBD COD 1 2 1 2 ABD CBD AOD COD 即 ABC AOC 1 2 1 2 在图 2 中 当点O在 ABC外部时 仍然是作出直径BD 将这个角转化成 上述情形的两个角的差即可 由前面的结果 有 ABD AOD CBD COD 1 2 1 2 ABD CBD AOD COD 即 ABC AOC 1 2 1 2 还会有其他情况吗 请思考 不会有 经过刚才我们一起探讨 得到了什么结论 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半 这一结论称为圆周角定理 在上述经历探索圆周角和圆心角的关系的过程 中 我们学到了什么方法 由 特殊到一般 的思想方法 转化的方法 分类讨论的方法 好 同学们总结得很好 由此我们可以知道 当解决一问题有困难时 可 以首先考虑其特殊情形 然后再设法解决一般问题 这是解决问题时常用的策 略 今后我们在处理问题时 注意运用 4 课本 P103 随堂练习 1 2 课时小结 课时小结 到目前为止 我们学习到和圆有关系的角有几个 它们各有什么特点 相 互之间有什么关系 和圆有关系的角有圆心角和圆周角 圆心角顶点在圆心 圆周角顶点在圆 上 角的两边和圆相交 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半 这节课我们学会了什么定理 是如何进行探索的 我们学会了圆周角定理 通过分类讨论的思想方法 渗透了由特殊到一般 的转化方法 对定理进行了研究和证明 好 同学们今后在学习中 要注意探索问题方法的应用 注意 1 定理的条件是同一条弧所对的圆周角和圆心角 结论是圆周角等 于圆心角的一半 2 不能丢掉 一条弧所对的 而简单说成 圆周角等于圆心角的一半 课后作业 课后作业 习题 3 4 活动与探究 活动与探究 同学们知道 顶点在圆上 并且两边都和圆相交的角 叫圆周角 因为一 条弧所对的角圆周角等于它所对的圆心角的一半 而圆心角的度数等于它所对 的弧的度数 所以圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半 类似地 我们 定义 顶点在圆外 并且两边都和圆相交的角叫圆外角 如下图中 DPB是 圆外角 那么 DPB的度数与它所夹的两段弧和的度数有什么关系 类 似地可定义圆内角及其度量 1 你的结论用文字表述为 不准出现字母和数学符号 2 证明你的结论 过程过程 让学生通过思考讨论 想办法把圆外角转化成和已学过的圆周角联 系起来 借助圆周角把 DPB的度数转化成它所夹的两段弧和的度数差 的一半 结果结果 1 圆外角的度数等于它所夹弧的度数差的一半 2 证明 连结BC DCB DPB ABC DPB DCB ABC 而 DCB 的度数 2 1 ABC 的度数 2 1 DPB 的度数 的度数 1 2 板书设计板书设计 3 3 1 圆周角和圆心角的关系 一 一 1 探究圆周角的定义及其特征 2 探究圆周角定理及其证明 二 课堂练习 三 课时小结 四 课后作业 3 3 3 3 2 2 圆周角和圆心角的关系圆周角和圆心角的关系 二二 姓名 主备教师 管红芳 审核 数学教研组 内容 圆周角和圆心角的关系 二 课型 新授 时间 年 月 日 教学目标 一 教学知识点 1 掌握圆周角定理几个推论的内容 2 会熟练运用推论解决问题 二 能力训练要求 1 培养学生观察 分析及理解问题的能力 2 在学生自主探索推论的过程中 经历猜想 推理 验证等环节 获得正 确的学习方式 三 情感与价值观要求 培养学生的探索精神和解决问题的能力 教学重点 圆周角定理的几个推论的应用 教学难点 理解几个推论的 题设 和 结论 教学方法 指导探索法 教具准备 投影片三张 第一张 引例 记作 3 3 2 A 第二张 例题 记作 3 3 2 B 第三张 做一做 记作 3 3 2 C 教学过程 创设问题情境 引入新课 请同学们回忆一下我们前几节课学习了哪些和圆有关系的角 它们之间有什 么关系 学习了圆心角和圆周角 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一 半 即圆周角定理 我们在分析 证明上述定理证明过程中 用到了些什么数学思想方法 分类讨论 化归 转化思想方法 同学们请看下面这个问题 出示投影片 3 3 2 A 已知弦 AB 和 CD 交于 O 内一点 P 如下图 求证 PA PB PC PD 要证 PA PB PC PD 可证 由此考虑证明以 PA PC 为边的三角形 PB PC PD PA 与以 PD PB 为边的三角形相似 由于图中没有这两个三角形 所以考虑作辅助 线 AC 和 BD 要证 PAC PDB 由已知条件可得 APC 与 DPB 相等 如能再 找到一对角相等 如 A D 或 C B 便可证得所求结论 如何寻找 A D 或 C B 要想解决这个问题 我们需先进行下面的学习 讲授新课 请同学们画一个圆 以 A C 为端点的弧所对的圆 周角有多少个 至少画三个 它们的大小有什么关系 你是 如何得到的 弧 AC 所对的圆周角有无数个 它们的大小相等 我是通过度量得到的 大家想一想 我们能否用验证的方法得到上图中的 ABC ADC AEC 同学们互相交流 讨论 由图可以看出 ABC ADC 和 AEC 是同弧 弧 AC 所对的圆周角 根据 上节课我们所学的圆周角定理可知 它们都等于圆心角 AOC 的一半 所以这 几个圆周角相等 通过刚才同学的学习 我们上面提出的问题 A D 或 C B 找到答案了 吗 找到了 它们属于同弧所对的圆周角 由于它们都等于同弧所对圆心角的 一半 这样可知 A D 或 C B 如果我们把上面的同弧改成等弧 结论一样吗 一样 等弧所对的圆心角相等 而圆周角等于圆心角的一半 这样 我们 便可得到等弧所对的圆周角相等 通过我们刚才的探讨 我们可以得到一个推论 在同圆或等圆中 同弧或等弧所对的圆周角相等 若将上面推论中的 同弧或等弧 改为 同弦或等弦 结论成立吗 请同学 们互相议一议 如右图 结论不 成立 因为一条弦所对的 圆周角有两种可能 在弦 不是 直径的情况下是不相 等的 注意 1 同弧 指 同一个圆 2 等弧 指 在同圆或等圆中 3 同弧或等弧 不能改为 同弦或等弦 接下来我们看下面的问题 如右图 BC 是 O 的直径 它所对的圆周 角是锐角 直角 还是 钝角 你是如何判断的 同学们互相交流 讨论 直径 BC 所对的圆周角是直角 因为一条直径将圆分成了两个半圆 而半圆 所对的圆心角是 BOC 180 所以 BAC 90 反过来 在右 图中 如果圆周角 BAC 90 那么它所对的弦 BC 经过圆心 O 吗 为什么 弦 BC 经过圆心 O 因为圆周角 BAC 90 连结 OB OC 所以圆心角 BOC 180 即 BOC 是一条线段 也就是 BC 是 O 的一条直径 通过刚才大家的交流 我们又得到了圆周角定理的又一个推论 直径所对的圆周角是直角 90 的圆周角所对的弦是直径 注意 这一推论应用非常广泛 一般地 如果题目的已知条件中有直径时 往往作出直径上的圆周角 直角 如果需要直角或证明垂直时 往往作出直 径即可解决问题 为了进一步熟悉推论 我们看下面的例题 出示投影片 3 3 2 B 例 如图示 AB 是 O 的直径 BD 是 O 的弦 延长 BD 到 C 使 AC AB BD 与 CD 的大小有什么关系 为什么 由于 AB 是 O 的直径 故连接 AD 由推论直径所对的圆周角是直角 便可 得 AD BC 又因为 ABC 中 AC AB 所以由等腰三角形的二线合一 可证得 BD CD 下面哪位同学能叙述一下理由 生 BD CD 理由是 连结 AD AB 是 O 的直径 ADB 90 即 AD BC 又 AC AB BD CD 通过我们学习圆周角定理及推论 大家互相交流 讨论一下 我们探索上述 问题时 用到了哪些方法 试举例说明 在得出本节的结论过程中 我们用到了度量与证明的方法 比如说在研究 同圆或等圆中 同弧或等弧所对的圆周角相等 还学到了分类与转化的方 法 比如说在探索圆周角定理过程中 定理的证明应分三种情况 在这三种情 况中 第一种情况是特殊情况 是证明的基础 其他两种情况都可以转化为第 一种情况来解决 再比如说 学习圆周角定义时 可由前面学习列的圆心角类 比得出圆周角的概念 P107 随堂练习 1 为什么有些电影院的坐位排列 横排 呈圆弧形 说一说这种设计的合理 性 答 有些电影院的坐位排列呈圆弧形 这样设计的理由是尽量保证同排的 观众视角相等 2 如下图 哪个角与 BAC 相等 答 BDC BAC 3 如下图 O 的直径 AB 10 cm C 为 O 上的一点 ABC 30 求 AC 的长 解 AB 为 O 的直径 ACB 90 又 ABC 30 AC AB 10 5 cm 2 1 2 1 4 小明想用直角尺检查某些工件是否恰好为半圆形 根据下图 你能判断 哪个是半圆形 为什么 答 图 2 是半圆形 理由是 90 的圆周角所对的弦是直径 下面我们一起来看一个问题 做一做 出示投影片 3 3 2 C 船在航行过程中 船长常常通过测定角度来确定是否会遇到暗礁 如下图 A B 表示灯塔 暗礁分布在经过 A B 两点的一个圆形区域内 C 表示一个危险 临界点 ACB 就是 危险角 当船与两个灯塔的夹角大于 危险角 时 就 有可能触礁 当船与两个灯塔的夹角小于 危险角 时 就能避免触礁 1 当船与两个灯塔的夹角 大于 危险角 时 船位于哪个区域 为什么 2 当船与两个灯塔的夹角 小于 危险角 时 船位于哪个区域 为什么 分析 这是一个有实际背景的问题 由题意可知 危险角 ACB 实际 上就是圆周角 船 P 与两个灯塔的夹角为 P 有可能在 O 外 P 有可能在 O 内 当 C 时 船位于暗礁区域内 当 C 时 船位于暗礁区 域外 我们可采用反证法进行论证 解 1 当船与两个灯塔的夹角 大于 危险角 C 时 船位于暗礁 区域内 即 O 内 理由是 连结 BE 假设船在 O 上 则有 C 这与 C 矛盾 所以船不 可能在 O 上 假设船在 O 外 则有 AEB 即 C 这与 C 矛盾 所以船不可能在 O 外 因此 船只能位于 O 内 2 当船与两个灯塔的夹角 小于 危险角 C 时 船位于暗礁区域 外 即 O 外 理由是 假设船在 O 上 则有 C 这与 AEB 即 C 这与 C 矛盾 所以船不可能在 O 内 因此 船只能位于 O 外 注意 用反证法证明命题的一般步骤 1 假设命题的结论不成立 2 从这个假设出发 经过推理论证 得出矛盾 3 山矛盾判定假设不正确 从而肯定命题的结论正确 课时小结 本节课我们学习了圆周角定理的 2 个推论 结合我们上节课学到的圆周角 定理 我们知道 在同圆或等圆中 根据弦及其所对的圆心角 弧 弦 弦心 距之间的关系 实现了圆中这些量之间相等关系的转化 而圆周角定理建立了 圆心角与圆周角之间的关系 因此 最终实现了圆中的角 圆心角和圆周角 线段 弦 弦心距 弧等量与量之间相等关系的相等相互转化 从而为研究圆 的性质提供了有力的工具和方法 课后作业 课本 P108 习题 3 5 活动与探究 1 如下右图 BC 为 O 的直径 AD BC 于 D P 是弧 AC 上一动点 连结 PB 分别交 AD AC 于点 E F 1 当弧 PA 弧 AB 时 求证 AE EB 2 当点 P 在什么位置时 AF EF 证明你的结论 过程 1 连结 AB 证 AE EB 需证 ABE BAE 2 执果索因寻条件 要 AF EF 即要 A AEF 而 AEF BED 而要 A BED 只需 B C 从而转化为弧 PC 弧 AB 结果 1 证明 延长 AD 交 O 于点 M 连结 AB BM BC 为 O 的直径 AD BC 于 D 弧 AB 弧 BM BAD BMD 又 弧 AB 弧 AP ABP BMD BAD ABP AE BE 2 当弧 PC 弧 AB 时 AF EF 证明 弧 PC 弧 AB PBC ACB 而 AEF BED 90 PBC EAF 90 ACB AEF EAF AF EF 板书设计 3 3 2 圆周角和圆心角的关系 二 一 推论一 在同圆或等圆中 同弧或等弧所对的圆周角相等 二 推论二 直径所对的圆周角是直角 90 的圆周角所对的弦是直径 三 例题 四 随堂练习 五 做一做 反证法 六 课时小结 七 课后作业 备课资料 参考练习 1 若 O 是 ABC 的外接圆 OD BC 于 D 且 BOD 48 则 BAC 2 ABC 是半径为 2 cm 的圆内接三角形 若 BC 2 cm 则 A 的度数3 为 3 在 O 中 直径 AB 10cm 弦 AC 6cm ACB 的平分线交 O 于 D 则 BC cm AD cm BD cm 参考答案 1 48 或 132 2 60 或 120 3 8 5 522 3 4 确定圆的条件确定圆的条件 姓名 主备教师 管红芳 审核 数学教研组 内容 确定圆的条件 课型 新授 时间 年 月 日 学习目标学习目标 通过经历不在同一直线上的三个点确定一个圆的探索 了解不在同一直线 上的三个点确定一个圆 掌握过不在同一直线上的三个点作圆的方法 了解三 角形的外接圆 三角形的外心 圆的内接三角形的概念 进一步体会解决数学 问题的策略 学习重点学习重点 1 定理 不在同一直线上的三个点确定一个圆 定理中 不在同一直线 这个条件不可忽略 确定 一词应理解为 有且只有 2 通过三角形各顶点的圆叫做三角形的外接圆 外接圆的圆心为三角形的 外心 这个三角形叫圆的内接三角形 只要三角形确定 那么它的外心和外接 圆半径也随之确定了 学习难点学习难点 分析作圆的方法 实质是设法找圆心 过已知点作圆的问题 就是对圆心 和半径的探讨 学习方法学习方法 教师指导学生自主探索交流法 学习过程学习过程 一 举例 例 1 下面四个命题中真命题的个数是 经过三点一定可以做圆 任意一个三角形一定有一个外接圆 而且只有一个外接圆 任意一个圆一定有一个内接三角形 而且只有一个内接三角形 三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等 A 4 个B 3 个C 2 个D 1 个 例 2 在 ABC 中 BC 24cm 外心 O 到 BC 的距离为 6cm 求 ABC 的 外接圆半径 例 3 如图 点 A B C 表示三个村庄 现要建一座深水井泵站 向 三个村庄分别送水 为使三条输水管线长度相同 水泵站应建在何处 请画出 图 并说明理由 例 4 阅读下面材料 对于平面图形 A 如果存在一个圆 使图形 A 上 的任意一点到圆心的距离都不大于这个圆的半径 则称图形 A 被这个圆所覆 盖 如图 3 4 5 中的三角形被一个圆所覆盖 图 3 4 6 中的四边形被两个圆所 覆盖 回答下列问题 1 边长为 1cm 的正方形被一个半径为 r 的圆所覆盖 r 的最小值是 cm 2 边长为 1cm 的等边三角形被一个半径为 r 的圆所覆盖 r 的最小值是 cm 3 边长为 2cm 1cm 的矩形被两个半径都为 r 的图所覆盖 r 的最小值 是 cm 这两个圆的圆心距是 cm 例 5 已知 Rt ABC 的两直角边为 a 和 b 且 a b 是方程 x2 3x 1 0 的两根 求 Rt ABC 的外接圆面积 例 6 如图 有一个圆形铁片 用圆规和直尺将它分成面积相等的两 部分 二 随堂练习 一 填空题 1 经过平面上一点可以画 个圆 经过平面上两点 A B 可以作 个 圆 这些圆的圆心在 2 经过平面上不在同一直线上的三点可以作 个圆 3 锐角三角形的外心在 直角三角形的外心在 钝角三 角形的外心在 二 选择题 4 下列说法正确的是 A 三点确定一个圆B 三角形有且只有一个外接圆 C 四边形都有一个外接圆D 圆有且只有一个内接三角形 5 下列命题中的假命题是 A 三角形的外心到三角形各顶点的距离相等 B 三角形的外心到三角形三边的距离相等 C 三角形的外心一定在三角形一边的中垂线上 D 三角形任意两边的中垂线的交点 是这个三角形的外心 6 下列图形一定有外接圆的是 A 三角形B 平行四边形C 梯形D 菱形 三 课后练习 1 下列说法正确的是 A 过一点 A 的圆的圆心可以是平面上任意点 B 过两点 A B 的圆的圆心在一条直线上 C 过三点 A B C 的圆的圆心有且只有一点 D 过四点 A B C D 的圆不存在 2 已知 a b c 是 AB