计算机图形学2010_03二维图形变换

计算机图形学 教案 第三章 二维几何变换1 第三章第三章 二维图形变换二维图形变换 一 问题 二维图形变换 就是对平面图形进行平移 缩放 旋转 对称 错切等变换 点是构成图形的基本要素 各种平面图形都可以基于点来定义 如 两点可定义一 条直线段 三点定义三角形 多边形由若干个顶点定义 圆及椭圆可由一个外接矩形来 定义 因此 对各种图形的二维变换就可归结为对定义图形的各个点进行的坐标变换 设一个图形由 n 个点定义 则从图形变换的角度 该图形可表示为一个的矩n 2 阵 称为点集矩阵 如下 nn yx yx yx 22 11 对图形进行几何变换不会使定义图形的点发生增减 只会使各点的坐标值发生变化 因此 变换后的图形仍可表示为一个的矩阵 因而 可以将图形变换问题视为数n 2 学上的一个矩阵变换问题 如下 nn yx yx yx 22 11 图形变换 矩阵变换 nn yx yx yx 22 11 二 变换矩阵及齐次坐标 矩阵变换的形式有多种 这里尝试采用矩阵乘法运算来完成各种几何变换 用原点 集矩阵 G 乘以一个变换矩阵 T 得到新点集矩阵 G 即 GTG T 是一个二乘二方阵 有 dc ba T 则 计算机图形学 教案 第三章 二维几何变换2 nn nnnnnnyx yx yx dybxcyax dybxcyax dybxcyax dc ba yx yx yx 22 11 2222 1111 22 11 在该变换中 对每个点的变换结果只与该点本身的值相关 与其它点的值无关 则对点集矩阵中的一个点 x y 变换结果为 yxdybxcyax dc ba yx 即有 dybxy cyaxx 通过矩阵乘法可以有效完成缩放 旋转 对称 错切变换 但无法完成平移变换 平移变换的关系式如下 yyy xxx 其中包含有常数项 因而无法通过矩阵乘法来实现 为使矩阵乘法能够有效完成平移变换 将二维点 x y 扩展表示为 x y 1 这种坐标 称为二维齐次坐标 相应的 定义图形的点集矩阵则变为的矩阵 如下 n 3 1 1 1 22 11 nn yx yx yx 变换矩阵也改为 3X3 的矩阵 由此 对点的矩阵变换如下 1 hyxsqypxmdybxkcyax smk qdc pba yx 二维坐标与二维齐次坐标的相互转换 二维坐标 x y 齐次坐标 x y 1 齐次坐标 x y h 二维坐标 x h y h 采用这种齐次坐标后 就可以有效进行平移变换 同时还可以有效进行一些更为复 杂的变换 计算机图形学 教案 第三章 二维几何变换3 三 二维基本变换 1 比例变换 比例变换也即缩放变换 其将点的 x 和 y坐标值各乘一个比例因子 dyy axx 这一变换对应的齐次矩阵变换如下 1 1 100 00 00 1 yxdyaxd a yx a 和 d 分别为 x 方向和 y方向的缩放系数 在一般的缩放变换中 有 a d 例 例 将 10 26 10 10 20 10 三点定义的三角形放大 2 倍 点集矩阵为 11020 11010 12610 变换矩阵为 100 020 002 变换 12040 12020 15220 100 020 002 11020 11010 12610 计算机图形学 教案 第三章 二维几何变换4 2 平移变换 平移变换即将点的 x 值和 y值各加一个偏移量 如下 myy kxx 这一变换对应的齐次矩阵变换如下 1 1 1 010 001 1 yxmykx mk yx 例 例 将三角形 10 26 10 10 20 10 在x 方向平移 20 在 y方向平移 10 点集矩阵为 11020 11010 12610 变换矩阵为 11020 010 001 变换 12040 12030 13630 11020 010 001 11020 11010 12610 3 旋转变换 图形绕原点旋转角 逆时针方向为正 计算机图形学 教案 第三章 二维几何变换5 设点 x y 与原点的连线 长度为r 与 x 轴的夹角为 则旋转后的夹角为 则变换后的坐标为 sincoscossin sin sinsincoscos cos rrry rrrx 由于 cosrx sinry 所以有 sincos sincos xyy yxx 可得矩阵变换式如下 1 1 cossin sincos 100 0cossin 0sincos 1 yxyxyxyx 例 例 将三角形 10 26 10 10 20 10 逆时针旋转60 度 点集矩阵为 11020 11010 12610 变换矩阵为 100 05 0866 0 0866 0 5 0 100 060cos60sin 060sin60cos 变换 132 2234 1 166 1366 3 166 21516 17 100 05 0866 0 0866 0 5 0 11020 11010 12610 计算机图形学 教案 第三章 二维几何变换6 60 四 二维组合变换 组合变换就是多个基本变换组合而成的变换 基本变换由一个矩阵乘法完成 多个基本变换的组合 就是连续进行多个矩阵乘法 由于矩阵乘法满足结合律 因此 组合变换可以综合为一个变换矩阵 设组合变换包括三个基本变换 三个基本变换矩阵为 T1 T2 T3 组合变换的过程 如下 TTTT T TT 321321 1 1 1 1 yxyxyxyx T 即为综合变换矩阵 有 321 TTTT 绕任意点的旋转变换 绕点 P xp yp 旋转角 分三步完成 1 平移图形 使点 P 位于原点 2 旋转角 3 反向平移 至原来位置 1 旋转中心点平移到原点 变换矩阵 1 010 001 pp yx 1 T 2 旋转角 100 0cossin 0sincos 2 T 计算机图形学 教案 第三章 二维几何变换7 3 旋转中心点平移到原来位置 1 010 001 3 pp yx T 组合变换矩阵为 1cossinsincos 0cossin 0sincos 1 010 001 1cossinsincos 0cossin 0sincos 1 010 001 100 0cossin 0sincos 1 010 001 32 pppppp pppppp pppp yyxxyx yxyxyx yxyx TTTT 1 矩阵乘法不适合交换律 因此组合变换中的各个基本变换必须具有一定的次序 不 能颠倒 作业 1 写出如下几个基本变换的变换矩阵 1 在 x 方向平移 8 y方向平移 5 2 图形放大 3 倍 3 绕原点逆时针旋转 30 度 2 分别写出对 x 轴 y轴