高中微积分基本知识

高中微积分基本知识高中微积分基本知识 第一章 第一章 极限与连续极限与连续 一 数列的极限 1 数列 定义 按着正整数的顺序排列起来的无穷多个数 叫数列数列 记作 并把每个数叫做数列的项项 第 n 个数叫做数数 1 n xx n x 列的第列的第 n n 项项或通项通项 界的概念 一个数列 若 对 都有 则称是有界的有界的 n x0M st nN n xM n x 若不论有多大 总 则称是无界的无界的M mN st m xM n x 若 则称为的下界下界 称为的上界上界 n axb a n xb n x 有界的充要条件 有界的充要条件 既有上界 又有下界 n x n x 2 数列极限的概念 定义 设为一个数列 为一个常数 若对 总 当时 有 n xa 0 N stnN 则称是数列的极限极限 记作或 n xa a n xlim n n xa n xa n 数列有极限时 称该数列为收敛收敛的 否则为发散发散的 几何意义 从第项开始 的所有项全部落在点的邻域1N n xa aa 3 数列极限的性质 唯一性 收敛必有界 保号性 极限大小关系数列大小关系 时时 nN 二 函数的极限 1 定义 两种情形 设在点处的某去心邻域内有定义 为常数 若对 0 xx f x 0 xA0 当时 恒有成立 则称在时0 st 0 0 xx f xA f x 0 xx 有极限极限A 记作或 0 lim xx f xA 0 f xA xx 几何意义几何意义 对 当时 介于两直线0 0 st 0 0 xx f x yA 单侧极限单侧极限 设在点处的右侧某邻域内有定义 为常数 若对 f x 0 xA0 当时 恒有成立 称在处有右极限0 st 0 0 xx f xA f x 0 x A 记作或 0 lim xx f xA 0 f xA 的充要条件充要条件为 0 lim xx f xA 00 f xf x A 垂直渐近线 垂直渐近线 当时 为在处的渐近线 0 lim xx f x 0 xx f x 0 x 设函数在上有定义 为常数 若对 x f x0 xb A0 当时 有成立 则称在时有极限极限 Xb st xX f xA f xx A 记作 或lim x f xA f xA x 的充要条件充要条件为 lim x f xA lim lim xx f xf xA 水平渐进线水平渐进线 若或 则是的水平渐近线lim x f xA lim x f xA yA f x 2 函数极限的性质 唯一性 局部有界性 局部保号性 在当时成立 0 0 xx 三 极限的运算法则 1 四则运算法则 设 的极限存在极限存在 则 f x g xlim lim f xAg xB lim f xg xAB lim f x g xAB 当时 lim f xA g xB 0B 为常数 lim cf xcA c 为正整数正整数 lim k k f xA k 2 复合运算法则 设 若 则 yfx 0 lim xx xa 0 lim xx fxf a 可以写成 换元法基础 00 lim lim xxxx fxfx 四 极限存在准则及两个重要极限 1 极限存在准则 夹逼准则 设有三个数列 满足 n x n y n z 则 nnn yxz limlim nn nn yza lim n n xa 单调有界准则 有界数列必有极限 3 重要极限 或 0 sin lim1 x x x 1 lim 1 x x e x 1 0 lim 1 x x xe 五 无穷大与无穷小 1 无穷小 在自变量某个变化过程中某个变化过程中 则称为 x 在该变化过程中的无穷小lim 0f x f x 若 则为 x 在所有变化过程中的无穷小 0f x f x 若 则不是无穷小 f x f x 性质 1 有限个无穷小的代数和为无穷小 2 常量与无穷小的乘积为无穷小 3 有限个无穷小的乘积为无穷小 4 有极限的量与无穷小的乘积为无穷小 5 有界变量与无穷小的乘积为无穷小 定理 的充要条件充要条件是 其中为 x 在该变化中过程lim f xA f xAx x 中的无穷小 无穷小的比较 趋于 0 的速度的大小比较 为同一变化过程中同一变化过程中的无穷小 xx 若 常数 则是的同阶无穷小同阶无穷小 当时为等价无穷小 limc 0c 1c 若 常数 则是的 k k 阶无穷小阶无穷小lim k c 0c 若 则是的高阶无穷小高阶无穷小lim0 常用等价无穷小 常用等价无穷小 0 x sintanarcsinarctanln 1 1 x xxxxxxe 2 1 cos 2 x x 1 1xx 1ln x axa 2 无穷大 设函数在的某去心邻域内有定义 若对于 当 f x 0 x0M 0 st 时 恒有 0 0 xx f xM 称当时为无穷大 记作 f x 0 xx 0 lim xx f x 定理定理 下 趋于某点 去心邻域不为lim f x 1 lim 1 lim f x f x 无穷大为无穷小 无穷小为无穷大 0 无穷大的乘积为无穷大 其和 差 商不确定 六 连续函数 1 定义 设函数在某邻域有定义 若对 当时 yf x 0 x0 0 st 0 0 xx 恒有 0 f xf x 也可记作 或 0 0 lim xx f xf x 0 lim0 x y 或 为左左 或右或右 连续连续 00 f xf x 00 f xf x 2 函数的间断点 第一类间断点 左右极限存在 左右极限相等 该处无定义可去间断点 左右极限不等跳跃间断点 第二类间断点 无穷间断点 震荡间断点等 3 连续函数的运算 若函数与都在处连续 则函数 f x g xx f xg x f x g x f x g x 0g x 定理 若在处连续 在处连续 则 yf g x 00 g xu g x 0 x f g 0 u 在处连续 yf g x 0 x 4 闭区间连续闭区间连续函数的性质 最值定理 在上连续 则 对一切有 f x a b 12 x x xa b 12 f xf xf x 介值定理 在上连续 对于与之间的任何数 至少一点 f x a b f a f bu st fu 第二章 第二章 导数导数 一 导数的概念 定义 设函数在点的某邻域有定义 如果极限 yf x 0 x 存在 则称函数在点 00 0 lim x f xxf x x yf x 可导可导 极限值为函数在点处的导数导数 记为 0 x yf x 0 x 0 fx 单侧导数 设函数在点处的左侧有定义 若极限 yf x 0 x 00 xx 存在 则称此极限为函数 00 0 lim x f xxf x x 在点处的左导数 左导数 记为 类似有右导数右导数 yf x 0 x 0 fx 0 fx 导函数 函数在某区间上可导 则 yf x 0 lim x f xxf x fx x 性质 函数在点处可导的充要条件可导的充要条件 yf x 0 x 00 fxfx 可导连续 导数的几何意义 函数点处的切线斜率 二 求导法则 1 函数的和 差 积 商的求导法则 定理 若都在都在 x x 处可导处可导 则函数在 x 处也可导 且 uu x vv x u xv x u xv xu xv x 定理 若都在都在 x x 处可导处可导 则函数在 x 处也可导 且 uu x vv x u x v x u x v xuvuv 推论 若都在都在 x x 处可导 处可导 则函数在 x 处也可导 且 1 n uu 12n u uu 12121212 nnnn u uuu uuu uuu uu 定理 若都在都在 x x 处可导处可导 则函数在 x 处也可导 且 uu x vv x u x v x 2 u xuvuv v xv 2 反函数的求导法则 定理 设函数在上单调可导单调可导 它的值域为 而 则其反函 xg y y I x I 0g y 数在区间上可导 并且有 1 ygxf x x I 1 fx g x 4 复合函数的求导法则 定理 若函数在可导 函数在点可导 则复合函数 ux 0 x yf u 00 ux 在处可导 yfx 0 x 或 连锁规则 fxfxx dydy du dxdu dx 三 高阶导数 定义 若函数的导数仍可导 则导数为的二二 yf x yfx yfx yf x 阶导数 阶导数 记作 类似的 有 n 阶导数 2 2 d y yfx dx n nn n d y yfx dx 四 隐函数求导 对于 或 若求 0F x y x F x y xG x y x dy dx 求导法 方程两侧对 x 求导 微分法 方程两侧求微分 公式法 将方程化成 0 将 F 看成关于 x y 的二元函数 分 x y Fdy dxF F x y 别对 x y 求偏导 xy F F 五 参数方程所确定的函数求导 xt yt t t ydydy dtdy dxt dxdt dxdtdttx 导数公式导数公式 基本函数 导数运算法则 uvuv CuCu uvuvuv 2 uuvuv vv nnn uvuv 0 n nkn kk n k uvC uv 高阶导数 nnn Cf axbCa faxb 0 nmmn m n xA xnNmn 若则 1 1 1 n n n n xx ln xnxn aaa 1 1 log 1 ln nn a n n x xa sin sin 2 n n xx cos cos 2 n n xx 1 1 nn o xo x x 2 需补充条件在处可导或该极限存在 0 0 0 0 lim x f xf x fx xx f x 0 x 0C 1 xx ln xx aaa 1 log ln a x xa sin cosxx cos sinxx 2 cot cscxx sec sec tanxxx csc csc cotxxx 2 1 arcsin 1 x x 2 1 arccos 1 x x 2 1 arctan 1 x x 2 1 arccot 1 x x 第三章 微分第三章 微分 一 微分的概念 定义 设函数在某区间上有定义 若 yf x I 00 x xxI 可表示为 00 yf xxf x 其中其中 A 与与无关无关 则称为 y 在 yA xox x A x 处的微分 记作 0 xdyA x 的区别 dyy 与 当 y 为自变量时 dyy 当 y 为因变量时 为 y 的线性主部线性主部dyy ydyox dy 定理 对于一元函数 yf x 可导可微 性质 一阶微分形式不变性 对于高阶微分 nnn d yfx dx 二 微分的几何意义 以直代曲 三 微分中值定理 中值定理条件结论 RolleRolle 上连续 上可 a b a b 导 f af b 0f LagrangeLagrange 上连续 上 a b a b 可导 f bf a f ba CauchyCauchy 上连续 上 a b a b 可导 0g x f bf af g bg ag 有限增量定理 有限增量定理 yfxxx 01 至少存在一点 使得 法则 法则 LHospital 型未定式定值法 在的某去心邻域有定义 且 0 0 f x g x 0 x 在的某去心邻域可导 且 00 lim lim 0 xxxx f xg x f x g x 0 x 0g x 则有则有 0 lim xx fx A g x 00 limlim xxxx f xfx g xg x 类似 0 1 0 0 0 四 函数的单调性与极值 1 单调性 定理 设函数在上连续 在上可导 则 yf x a b a b 导数符号原函数单调性 0fx 0fx 2 极值 定义 设函数在点某邻域有定义 若对该邻域内一切 x 都有 yf x 0 x 0 f xf x 则是函数的一个极大值一个极大值 点为函数的一个极大值点一个极大值点 极小值类 0 f x f x 0 x f x 似 函数取得极值的一阶充分条件函数取得极值的一阶充分条件 函数在点去心邻域可导去心邻域可导 且在处可导或导数不存在 可导或导数不存在 则 yf x 0 x 0 x 当时 时 则是极大值 0 xx 0fx 0 xx 0fx 0 f x 当时 时 则是极小值 0 xx 0fx 0 xx 0fx 0 f x 无论还是 总有 或 则不是极值 0 xx 0 xx 0fx 0fx 0 f x 函数取得极值的二阶充分条件函数取得极值的二阶充分条件 函数在点处具有二阶导数二阶导数 且 则 yf x 0 x 0 0fx 0 0fx 若 则是极小值 0 0fx 0 f x 若 则是极大值 0 0fx 0 f x 第四章 不定积分第四章 不定积分 一 不定积分的概念和性质 1 原函数与不定积分 原函数 设在上有定义 若对 都有 f xIxI 或 F xf x dF xf x dx 则称为在上的一个原函数一个原函数 F x f xI 原函数存在定理 若函数在上连续 则在上可导函数 对 f xII F x st 都有 即连续函数一定有原函数连续函数一定有原函数xI F xf x 不定积分 设使的一个原函数 C 为任意常数 称为的不 F x f x F xC f x 定积分 记作 f x dxF xC 几何意义 积分曲线族 2 不定积分的性质 积分运算与微分运算为互逆运算 f xg x dxf x dxg x dx kf x dxkf x dx 0k 二 换元积分法 1 第一类换元积分法 定理 设有原函数 且具有连续导数连续导数 则有原函数 f u ux fxx fxx dxf u du 2 第二类换元积分法 定理 设连续 具有连续导数 且 则 f x xt 0t 其中 f x dxftt dt 1 tx 三 分部积分法 uvdxuvuvdx 四 有理函数的积分 1 简单有理函数的积分 将真分式分解为部分分式部分分式之和 P x Q x 对于形式 应分解成 k 个部分分式部分分式 kQ xxa 12 2 k k AAA xaxaxa 对于 应分解成 个部分分式部分分式 2 lQ xxpxq l 1122 2222 ll l C xDC xDC xD xpxqxpxqxpxq 求 4 种积分 1 dx xa 1 k dx xa 2 CxD dx xpxq 2 l CxD dx xpxq 其中 对于 可令 2 l CxD dx xpxq 2 p tx 2 4 44 qp a 则 再利用递推法递推法 2 l CxD dx xpxq 22 1 l dt ta 2 三角函数有理式的积分 万能变换 tan 2 x u 2 2 2 2 sin 1 1 cos 1 u x u u x u 2 2 1 dxdu u 其他方法 一 二 与 tannxdx cotnxdx nN 对于令tannxdx tantx 对于令cotnxdx cottx 形式换元 sin cos sin cos fxxfxx costx sin cos sin cos fxxfxx sintx sin cos sin cos fxxfxx tantx 三 与 为偶数偶数secnxdx cscnxdx n 对于令secnxdx tantx 对于令cscnxdx cottx 四 sincos mn xxdx 当 n m 至少有一个为奇数奇数时 可利用将其转化 22 sincos1xx 当 n m 均为偶数时 利用 2 倍角转化 五 11 sincos sincos axbxdx axbx 令 解出 A B 11 sincos sincos cossin axbxA axbxB axbx 分母分子 原函数为ln sincos AxBaxbxC 分母 积分表积分表 kdxkxC 1 1 1 nn x dxxC n 1n 1 lndxxC x ln x x a a dxC a sincosxdxxC cossinxdxxC tanln cosxdxxC cotln sinxdxxC secln sectanxdxxxC cscln csccotxdxxxC 2 sectanxxC 2 csccotxdxxC sec tansecxxdxxC csc cotcotxxdxxC 2 1 arcsin 1 dxxC x 2 1 arctan 1 dxxC x 22 11 arctan x dxC xaaa 22 11 ln 2 xa dxC xaaxa 22 1 arcsin x dxC a ax 22 22 1 lndxxaxC xa 第五章 定积分第五章 定积分 一 定积分的定义 定义 设函数在上有界 在内任意插入 n 1 个分点 f x a b a b 011nn axxxxb 把分成 n 个小区间 记 在第 个区间上 a b 1 ii xx 1 2 in 1iii xxx i 任取一点 用乘上区间长度 即 并作和 i i f i x ii fx 1 n ii i fx 记 无论怎么分割 无论怎么取 若时 12 max n xxx i 0 趋于同一极限 则称此极限为在上的定积分定积分 记作 1 n ii i fx f x a b b a f x dx b a f x dx 0 1 lim n ii i fx 可积定理 函数在上连续连续 f x a b 函数在上有界有界 且仅有有限个第一类间断点有限个第一类间断点 f x a b 函数在上单调有界单调有界 f x a b 二 定积分的性质 bb aa kf x dxkf x dx bbb aaa f xg x dxf x dxg x dx 区间可加性 bcb aac f x dxf x dxf x dx 单调性 若上则 b a Cdxba C a b f xg x bb aa f x dxg x dx bb aa f x dxf x dx 估值性质 设 分别为在上的最大值与最小值 则Mm f x a b b a m baf x dxM ba 定积分中值定理 若在上连续 则在区间上至少存在一点 f x a b a b st b a f x dxfba 在上的平均值为 f x a b 1 b a f x dx ba 若为奇函数 若为偶函数 f x 0 a a f x dx 0 2 aa a f x dxf x dx 22 00 sin cos fx dxfx dx 00 sin sin 2 xfx dxfx dx 为周期函数 f x 2 0 2 T T aT T a f x dxf x dxf x dx 00 nTT f x dxnf x dx 三 微积分学基本定理 1 变上限函数 x a xf t dt xa b 定理 若在上连续 则变上限函数可导可导 f x a b xf x 2 原函数存在定理 若在上连续 则函数是在上的一个原函数 f x a b x f x a b 3 Newton Leibniz 公式 微积分基本定理 在上连续 是在上一个原函数 f x a b F x f x a b 则 b a f x dxF bF a 若不满足连续条件 可分段积分 四 定积分换元法 定理 设函数在上