初高中函数知识点总结大全

1 初高中函数知初高中函数知识识点点总结总结大全大全 正比例函数正比例函数 形如 y kx k 为常数 k 0 形式 y 是 x 的正比例函数 1 定义域 R 实数集 2 值域 R 实数集 3 奇偶性 奇函数 4 单调性 当 k 0 时 图像位于第一 三象限 y 随 x 的增大而增大 单调递增 当 k 0 时 图像位于第二 四象限 y 随 x 的增大而减小 单调递减 一次函数一次函数 一 定义与定义式 自变量 x 和因变量 y 有如下关系 y kx b 则此时称 y 是 x 的一次函 数 特别地 当 b 0 时 y 是 x 的正比例函数 即 y kx k 为常数 k 0 一次函数与正比例函数的识别 方法 若 y kx b k b 是常数 k 0 那么 y 叫做 x 的一次函数 特别的 当 b 0 时 一次函数就成为 y kx k 是常数 k 0 这时 y 叫 做 x 的正比例函数 当 k 0 时 一次函数就成为若 y b 这时 y 叫做常函数 A 与 B 成正比例 A kB k 0 二 一次函数的性质 2 1 y 的变化值与对应的 x 的变化值成正比例 比值为 k 即 y kx b k 为任意不为零的实数 b 取任何实数 2 当 x 0 时 b 为函数在 y 轴上的截距 三 一次函数的图像及性质 1 作法与图形 通过如下 3 个步骤 1 列表 2 描点 3 连线 可以做出一次函数的图像 一条直线 因此 作一次函数 的图像只需知道 2 点 并连成直线即可 通常找函数图像与 x 轴和 y 轴的交点 2 性质 1 在一次函数上的任意一点 P x y 都满足等式 y kx b 2 一次 函数与 y 轴交点的坐标总是 0 b 与 x 轴总是交于 b k 0 正比例 函数的图像总是过原点 3 k b 与函数图像所在象限 当 k 0 时 直线必通过一 三象限 y 随 x 的增大而增大 当 k 0 时 直线必通过二 四象限 y 随 x 的增大而减小 当 b 0 时 直线必通过一 二象限 当 b 0 时 直线通过原点 当 b 0 时 直线必通过三 四象限 特别地 当 b 0 时 直线通过原点 O 0 0 表示的是正比例函数的图 像 3 这时 当 k 0 时 直线只通过一 三象限 当 k 0 时 直线只通过二 四象限 四 确定一次函数的表达式 已知点 A x1 y1 B x2 y2 请确定过点 A B 的一次函数的表达式 1 设一次函数的表达式 也叫解析式 为 y kx b 2 因为在一次函数上的任意一点 P x y 都满足等式 y kx b 所 以可以列出 2 个方程 y1 kx1 b 和 y2 kx2 b 3 解这个二元一次方程 得到 k b 的值 4 最后得到一次函数的表达式 五 一次函数在生活中的应用 1 当时间 t 一定 距离 s 是速度 v 的一次函数 s vt 2 当水池抽水速度 f 一定 水池中水量 g 是抽水时间 t 的一次函数 设水池中原有水量 S g S ft 六 常用公式 1 求函数图像的 k 值 y1 y2 x1 x2 2 求与 x 轴平行线段的中点 x1 x2 2 3 求与 y 轴平行线段的中点 y1 y2 2 4 关于点的距离的问题 方法 点到 x 轴的距离用纵坐标的绝对值表示 点到 y 轴的距离用横 坐标的绝对值表示 任意两点的距离为 AABB A xyB xy 22 ABAB xxyy 若 AB x 轴 则的距离为 0 0 AB A xB x AB xx 4 若 AB y 轴 则的距离为 0 0 AB AyBy AB yy 点到原点之间的距离为 AA A xy 22 AA xy 点的坐标 方法 x 轴上的点纵坐标为 0 y 轴上的点横坐标为 0 若两个点关于 x 轴对称 则他们的横坐标相同 纵坐标互为相 反数 若两个点关于 y 轴对称 则它们的纵坐标相同 横坐标互为相 反数 若两个点关于原点对称 则它们的横坐标互为相反数 纵坐标 也互为相反数 一次函数 y kx b k 0 中 k b 的意义 k 称为斜率 表示直线 y kx b k 0 的倾斜程度 b 称为截距 表示直线 y kx b k 0 与 y 轴交点的 也表示直线在 y 轴上的 同一平面内 不重合的两直线 y k1x b1 k1 0 与 y k2x b2 k2 0 的位置关系 当 时 两直线平行 当 时 两直线垂直 当 时 两直线相交 当 时 两直线交于 y 轴上同一点 特殊直线方程 X 轴 直线 Y 轴 直线 与 X 轴平行的直线 与 Y 轴平行的直线 三象限角平分线 二 四象限角平分线 待定系数法求解析式 5 方法 依据两个独立的条件确定 k b 的值 即可求解出一次函数 y kx b k 0 的解析式 已知是直线或一次函数可以设 y kx b k 0 若点在直线上 则可以将点的坐标代入解析式构建方程 平移 方法 直线 y kx b 与 y 轴交点为 0 b 直线平移则直线上的点 0 b 也会同样的平移 平移不改变斜率 k 则将平移后的点代入解 析式求出 b 即可 直线 y kx b 向左平移 2 向上平移 3 y k x 2 b 3 左加右 减 上加下减 交点问题及直线围成的面积问题 方法 两直线交点坐标必满足两直线解析式 求交点就是联立两直线解 析式求方程组的解 复杂图形 外补内割 即 往外补成规则图形 或分割成规则图形 三角形 往往选择坐标轴上的线段作为底 底所对的顶点的坐标确定高 二次函数二次函数 I 定义与定义表达式 一般地 自变量 x 和因变量 y 之间存在如下关系 6 y ax2 bx c a b c 为常数 a 0 且 a 决定函数的开口方向 a 0 时 开口方向向上 a0 时 y a x h 2 的图象可由抛物线 y ax 2 向右平行移动 h 个 单位得到 当 h0 k 0 时 将抛物线 y ax2向右平行移动 h 个单位 再向上移动 k 个单位 就可以得到 y a x h 2 k 的图象 当 h 0 k 0 时 将抛物线 y ax2向右平行移动 h 个单位 再向下移动 k 个单位可得到 y a x h 2 k 的图象 当 h0 时 将抛物线向左平行移动 h 个单位 再向上移动 k 个单 位可得到 y a x h 2 k 的图象 当 h 0 k0 时 开口向上 当 a0 当 x b 2a 时 y 随 x 的增大而 减小 当 x b 2a 时 y 随 x 的增大而增大 若 a0 图像与 x 轴交于两点 A x 0 和 B x 0 其中 的 x1 x2是一元二次方程 ax2 bx c 0 a 0 的两根 这两点间的距离 AB x x 当 0 图像与 x 轴只有一个交点 当 0 时 图像落在 x 轴的上方 x 为任何实数时 都有 y 0 当 a 0 时 图像落在 x 轴的下方 x 为任何实数时 都有 y0 a0 时 开 口方向向上 a0 时 当 b2 4ac 0 时 x1 x2 b 2a 一般式折叠 y ax2 bx c a b c 为常数 a 0 顶点式折叠 抛物线的顶点 P h k y a x h 2 k a h k 为常数 a 0 交点式折叠 仅限于与 x 轴有交点 A x1 0 和 B x2 0 的抛物线 y a x x1 x x2 a x1 x2为常数 a 0 3 种形式的转化 一般式和顶点式 对于二次函数 y ax2 bx c 其顶点坐标为 b 2a 4ac b2 4a 即 11 h b 2a x1 x2 2 k 4ac b2 4a 一般式和交点式 x1 x2 b b2 4ac 2a 即一元二次方程求根公式 抛物线的性质折叠 1 抛物线是轴对称图形 对称轴为直线 x b 2a 对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点 P 特别地 当 b 0 时 抛物线的对称轴是 y 轴 即直线 x 0 2 抛物线有一个顶点 P 坐标为 P b 2a 4ac b2 4a 当 b 2a 0 即 b 0 时 P 在 y 轴上 当 b2 4ac 0 时 P 在 x 轴上 3 二次项系数 a 决定抛物线的开口方向和大小 当 a 0 时 抛物线开口向上 当 a0 对称轴在 y 轴左 当 a 与 b 异号时 即 a b0 时 抛物线与 x 轴有 2 个交点 b2 4ac 0 时 抛物线与 x 轴有 1 个交点 b2 4ac0 时 函数在 x b 2a 处取得最小值 f b 2a 4ac b2 4a 在 x x b 2a 上是增函数 抛物线的开口向上 函 数的值域是 y y 4ac b2 4a 相反不变 当 b 0 时 抛物线的对称轴是 y 轴 这时 函数是偶函数 解析式变 形为 y ax2 c a 0 7 定义域 R 值域 对应解析式 且只讨论 a 大于 0 的情况 a 小于 0 的情况请读者 自行推断 4ac b2 4a 正无穷 k 正无穷 8 奇偶性 非奇非偶 当且仅当 b 0 时 函数解析式为 f x ax2 c 此 时为偶函数 周期性 无 解析式 y ax2 bx c 一般式 a 0 a b c 为常数 13 a 0 则抛物线开口朝上 a0 图象与 x 轴交于两点 b 2a 0 和 b 2a 0 0 图象与 x 轴交于一点 b 2a 0 10 aaxn xann 1 且 nN 负数没有偶次方根 0 的任何次方根都是 0 记作 00 n 当 是奇数时 当 是偶数时 naa nn n 0 0 a a a a aa nn 2 分数指数幂 正数的分数指数幂的意义 规定 1 0 nNnmaaa nm n m 1 0 11 nNnma a a a nm n m n m 0 的正分数指数幂等于 0 0 的负分数指数幂没有意义 3 实数指数幂的运算性质 1 r a srr aa 0 Rsra 2 rssr aa 0 Rsra 3 srr aaab 0 Rsra 二 指数函数及其性质 1 指数函数的概念 一般地 函数叫做指数函数 1 0 aaay x 且 其中 x 是自变量 函数的定义域为 R 注意 指数函数的底数的取值范围 底数不能是负数 零和 1 2 指数函数的图像和性质 a 10 a 1 19 6 5 4 3 2 1 1 4 2246 0 1 6 5 4 3 2 1 1 4 2246 0 1 定义域 R定义域 R 值域 y 0值域 y 0 在 R 上单调递增在 R 上单调递减 非奇非偶函数非奇非偶函数 函数图像都过定点 0 1 函数图像都过定点 0 1 注意 利用函数的单调性 结合图像还可以看出 1 在 a b 上 值域是或 1a0a a x f x 且 b f a f a f b f 2 若 则 取遍所有正数当且仅当 0 x 1 x f x fRx 3 对于指数函数 总有 1a0a a x f x 且a 1 f 指数函数的一般形式为 从上面我们对于幂函数的讨论就可以知道 要想使得 x 能够取整个实数集合为定义域 则只有使得不同大小影响 函数图形的情况 可以看到 1 指数函数的定义域为所有实数的集合 这里的前提是 a 大于 0 对于 a 不大于 0 的情况 则必然使得函数的定义域不存在连续的区间 因此我们不予考虑 2 指数函数的值域为大于 0 的实数集合 3 函数图形都是下凹的 20 4 a 大于 1 则指数函数单调递增 a 小于 1 大于 0 则为单调递减 的 5 可以看到一个显然的规律 就是当 a 从 0 趋向于无穷大的过程中 当然不能等于 0 函数的曲线从分别接近于 Y 轴与 X 轴的正半轴 的单调递减函数的位置 趋向分别接近于 Y 轴的正半轴与 X 轴的负 半轴的单调递增函数的位置 其中水平直线 y 1 是从递减到递增的 一个过渡位置 6 函数总是在某一个方向上无限趋向于 X 轴 永不相交 7 函数总是通过 0 1 这点 8 显然指数函数无界 函数奇偶性 注图 1 为奇函数 2 为偶函数 1 定义 一般地 对于函数 f x 1 如果对于函数定义域内的任意一个 x 都有 f x f x 那么函 数 f x 就叫做奇函数 2 如果对于函数定义域内的任意一个 x 都有 f x f x 那么函数 f x 就叫做偶函数 3 如果对于函数定义域内的任意一个 x f x f x 与 f x f x 同 时成立 那么函数 f x 既是奇函数又是偶函数 称为既奇又偶函数 21 4 如果对于函数定义域内的任意一个 x f x f x 与 f x f x 都不 能成立 那么函数 f x 既不是奇函数又不是偶函数 称为非奇非偶函 数 说明 奇 偶性是函数的整体性质 对整个定义域而言 奇 偶函数的定义域一定关于原点对称 如果一个函数的定义域不 关于原点对称 则这个函数一定不是奇 或偶 函数 分析 判断函数的奇偶性 首先是检验其定义域是否关于原点对称 然后再严格按照奇 偶性的定义经过化简 整理 再与 f x 比较得出 结论 判断或证明函数是否具有奇偶性的根据是定义 2 奇偶函数图像的特征 定理 奇函数的图像关于原点成中心对称图表 偶函数的图像关于 y 轴或轴对称图形 f x 为奇函数的图像关于原点对称 点 x y x y 奇函数在某一区间上单调递增 则在它的对称区间上也是单调递增 偶函数 在某一区间上单调递增 则在它的对称区间上单调递减 3 奇偶函数运算 1 两个偶函数相加所得的和为偶函数 2 两个奇函数相加所得的和为奇函数 3 一个偶函数与一个奇函数相加所得的和为非奇函数与非偶函数 22 4 两个偶函数相乘所得的积为偶函数 5 两个奇函数相乘所得的积为偶函数 6 一个偶函数与一个奇函数相乘所得的积为奇函数 函数定义域 高中函数定义 设 A B 是两个非空的数集 如果按某个确定的 对应关系 f 使对于集合 A 中的任意一个数 x 在集合 B 中都有唯一确 定的数 f x 和它对应 那么就称 f A B 为集合 A 到集合 B 的一个函 数 记作 y f x x 属于集合 A 其中 x 叫作自变量 x 的取值范围 A 叫作函数的定义域 函数值域 名称定义 函数中 应变量的取值范围叫做这个函数的值域函数的值域 在 数学中是函