凸函数的性质

凸函数的性质凸函数的性质 摘自 前苏 克拉斯诺西尔斯基等著 凸函数与奥尔里奇空间 中译本 通常称函数在区间内是 下下 上上 凸函数凸函数 若对于内任意两点和 xf ba ba 1 x 与任意 都满足 琴生琴生 Jesen Jesen 不等式不等式 2 x 21 xx 1 0 t 1212 1 1 f txt xtf xt f x 或 1 1221122 f t xt xt f xt f x 其中和为正数且 1 t 2 t1 21 tt 它的特别情形 取 是 2 1 t 12 12 22 f xf xxx f 21 xx 在 2 7 中曾把它作为下 上 凸函数的定义 我们将证明 对于连续函数来说 不等式 与琴生不等式 是等价的 正因为这样 我们在教科书中就用简单的不等式 定义了下 上 凸函数 因为我们研究的函数都是连续函数 下凸函数简称为凸凸 函数函数 上凸函数简称为凹函数凹函数 请读者注意 这些称呼同国内某些教科书中的称呼是不 一致的 但是 我们的上述称呼与新近出版的许多教科书或发表的论文中的称呼是一致 的 因为函数的 上凸 与 下凸 是对偶的 所以 下面只讨论下凸函数的性质 相 信读者一定能够把下面得出的结论 类比到上凸函数上 一一 琴生不等式的几何意义 琴生不等式的几何意义 我们先解释一下琴生不等式的几何意义 如图一 设 则 根据解析几何中的定比分点公式 231 xxx 2 12 13 1 12 32 3 x xx xx x xx xx x 根据琴生不等式 区间 上的点 a b 1 01 xtat bt x3 x A B C x1x2 图一 凸函数的性质2 2 注意 3 xf 2 12 13 1 12 32 xf xx xx xf xx xx 12 13 2 12 32 1 xx xx t xx xx t 从而 得不等式 基本不等式基本不等式 32 32 12 12 13 13 xx xfxf xx xfxf xx xfxf 它说明 见图一 弦的斜率小于弦的斜率 而弦的斜率又小于弦的斜ACABABCB 率 二 凸函数的性质 二 凸函数的性质 为简单起见 下面只讨论与我们的问题有关的凸函数的性 质 性质性质 1 1 若在区间内是下凸函数 则 f x ba 在每一点都有左导数和右导数 因此 凸函数是连续函凸函数是连续函 bax xf xf 数数 而且 xf xf 左导数和右导数都是单调增大的函数 xf xf 证证 设 并且满足不等式 图二 21 0hh bhxhxxhxhxa 2112 根据基本不等式 则有 2 2 1 1 1 1 2 2 h xfhxf h xfhxf h hxfxf h hxfxf 考虑函数 h hxfxf h axh 0 根据上述不等式中最左边的不等式 当时 函数是单增的且有上界 所以0 h h 有极限 0 lim h h lim 0 xf h hxfxf h 类似地 根据最右边的 函数 h xfhxf h xbh 0 当时是单减的且有下界 所以有极限0 h lim lim 00 xf h xfhxf h hh 根据中间一个不等式 再让 得 h h 0 h xf xf 有左导数 说明函数在点左连续 有右导数说明函数在点右连续 fx f xx fx f xx x h2 x h1 x x h1 x h2 b a x 图二 凸函数的性质3 3 证证 为证左 右导数都是单调增大的 譬如证是单调增大的 设 并 xf 21 xx 取正数h足够小 使 图三 2211 xhxhxx 根据基本不等式 h hxfxf h xfhxf 2211 注意到当时 左端 关于 是单减的 右端是单增的 所以 0 hh 21 xfxf 再根据上面已证的结论 就得到 22 xfxf 21 xfxf 假若函数在区间内可微分 根据教科书中的定理 2 3 则 xf ba 导数是增大的函数是下凸的 x f xf 现在 我们又证明了 函数是下凸的导数是增大的 注意 xf x f 因此 对于可微函数来说 fxfxfx 它是下凸的它是下凸的它的导函数是增大的它的导函数是增大的 根据对偶性 它是上凸的它是上凸的它的导函数是减小的它的导函数是减小的 性质性质 2 2 若是区间内的连续函数 则不等式 xf ba 12 12 22 f xf xxx f 21 xx 与琴生不等式 21 1xttxf 21 1xftxtf 10 21 txx 是等价的 证证 显然 在琴生不等式中取 就是不等式 剩下来就是要证明 1 2t 从不等式 也可以推出琴生不等式 为简单起见 我们只证明其中的情形 事实上 反证法 假若琴生不等式 不成立 即至少有一个和有与 1 0 t 1 x 使 212 xxx 1 1 2121 xftxftxtxtf 作 连续 函数 1 1 2121 xftxtfxttxft 10 21 xxt 并记它的最大值为 则 根据反证法的假设 首先假定 并把函数M0 M0 M 在区间上取到最大值的最大值点的最小者记为 则 因为 t 1 0M 0 t10 0 t 取正数足够小 使 于是对于点0 1 0 1 0 00 tt 和 20101 1xtxtx 20102 1xtxtx 则根据不等式 即 x1 x1 h x2 h x2 x 图三 凸函数的性质4 4 22 2121 xfxfxx f 可得 注意 2 21 xx 2010 1 xtxt 2 1 1 1 20102010 2010 xtxtfxtxtf xtxtf 两端再同时减去 便得到 1 2010 xftxft 00 0 2 tt MtM 这是不可能的 MM 其次 若 根据反证法的假设 则至少有一点使 重复上面0 M 1 0 t0 t 的作法 则得 0 2 0 M tt t 这也是不可能的 因此 对于一切和任意与 都有 0