考研数学复习题

1 五 五 导 函数的零点 方程的根或曲线与 导 函数的零点 方程的根或曲线与轴的交点 轴的交点 x 1 函数方程 函数方程的根的根0 xf 三种语言 函数的零点 曲线与三种语言 函数的零点 曲线与 轴的交点 方程的根轴的交点 方程的根x 常用方法 常用方法 存在性存在性 闭区间上连续函数的介值定理闭区间上连续函数的介值定理 唯一性唯一性 单调性单调性 导数的符号导数的符号 反证法 反证法 简单作图 单调区间 极值 简单作图 单调区间 极值 分析与 分析与轴的相对位置轴的相对位置x 1 设常数设常数 在在内内0 kk e x xxf ln 0 零点个数为零点个数为 A3B2C1D0 2 当当取何值时 取何值时 恰好恰好aaxxxxf 1292 23 有两个不同零点有两个不同零点 2 4 6 8ABCD 3 若 若 则方程 则方程053 2 ba0432 35 cbxaxx 无实根无实根 有唯一实根有唯一实根 AB 有三个不同实根有三个不同实根 有五个不同实根有五个不同实根CD 4 设函数 设函数在在连续 且连续 且 xf ba0 xf 2 则则在在内的根是内的根是0 1 dt tf dttf x b x a ba 0 1 2 无穷多个无穷多个ABCD 5 在 在内 方程内 方程 0cos 2 1 4 1 xxx 无实根无实根 有且仅有唯一实根有且仅有唯一实根 AB 有且仅有两个实根有且仅有两个实根 有无穷多个实根有无穷多个实根CD 6 证明 证明 在在内有内有dxx e x x 0 2cos1ln 0 且仅有两个不同实根且仅有两个不同实根 7 讨论 讨论 的零点个数的零点个数axexF x 0 a 8 讨论曲线 讨论曲线与与的交点个数的交点个数 kxy ln4xxy 4 ln4 2003 2 9 就 就的不同取值 确定方程的不同取值 确定方程在在kkxx sin 2 2 0 内根的个数 并证明你的结论内根的个数 并证明你的结论 10 求方程 求方程不同实根的个数 不同实根的个数 0arctan xxk 其中其中为参数为参数k 2011 1 11 设有方程 设有方程 其中 其中为正整数 为正整数 01 nxxnn 证明此方程存在唯一正实根证明此方程存在唯一正实根 3 2004 1 12 证明方程证明方程恰有恰有 2 个实根个实根03 3 4 arctan4 xx 2011 3 4 第三部分第三部分 一元函数积分学一元函数积分学 一一 基本要求 基本要求 1 掌握不定积分的基本性质和基本积分公式掌握不定积分的基本性质和基本积分公式 2 掌握不定积分的换元与分部积分法掌握不定积分的换元与分部积分法 3 会求有理函数 三角函数有理式和简单无理函数的积分会求有理函数 三角函数有理式和简单无理函数的积分 数一 二数一 二 4 理解定积分的概念和基本性质 掌握定积分中值定理理解定积分的概念和基本性质 掌握定积分中值定理 5 理解积分上限函数 并会求其导数理解积分上限函数 并会求其导数 6 会计算反常积分会计算反常积分 7 掌握定积分计算平面图形的面积 旋转体的体积和函数的掌握定积分计算平面图形的面积 旋转体的体积和函数的 平均值 仅数一 二要求 掌握用定积分计算平面曲线平均值 仅数一 二要求 掌握用定积分计算平面曲线 的弧长 旋转体的侧面积 平行截面面积已知的立体体积 的弧长 旋转体的侧面积 平行截面面积已知的立体体积 功引力 压力等 仅数三要求 利用定积分求解简单的功引力 压力等 仅数三要求 利用定积分求解简单的 经济应用问题经济应用问题 二二 重点 重点 1 不定积分与定积分的概念 性质 计算不定积分与定积分的概念 性质 计算 2 各种类型的变限积分问题各种类型的变限积分问题 3 和定积分相关的证明和定积分相关的证明 4 定积分的应用问题定积分的应用问题 5 三三 难点 难点 1 和定积分相关的证明和定积分相关的证明 2 定积分的应用问题定积分的应用问题 四四 内容小结 内容小结 1 原函数 不定积分 存在定理原函数 不定积分 存在定理 连续函数必有原函数连续函数必有原函数 注 含间断点的函数也可能存在原函数注 含间断点的函数也可能存在原函数 如 如 在在 0 0 0 1 cos 1 sin2 x x xx x xf xf 不连续 但显然不连续 但显然是是0 x 0 0 0 1 sin 2 x x x x xF 的一个原函数 因为的一个原函数 因为是是只有一个间断点的只有一个间断点的 xf xf 1 0 有界函数 所以可积 且有界函数 所以可积 且1sin 1 0 1 0 xFdxxf 2 不定积分的性质上不定积分的性质上 其中其中 CxFdxxf xfxF Cdttfdxxf x a dxxgbdxxfadxxbgxaf xfdxxf dx d dxxf 6 dxxfdxxfd Cxfdxxf Cxfxdf 3 基本公式 熟 基本公式 熟 C a x axa arctan 11 22 C a x dx xa arcsin 1 22 C xa xa a dx xa ln 2 11 22 Caxxdx ax 22 22 ln 1 4 基本积分法基本积分法 重要重要 凑微分法凑微分法 熟悉常见的凑微分因子熟悉常见的凑微分因子 换元法换元法 三角代换三角代换 根式代换 倒代换 指数代换 根式代换 倒代换 指数代换 其他代换其他代换 分部积分法分部积分法 适用于两种不同类型函数乘积的积分适用于两种不同类型函数乘积的积分 注 注 等在初等等在初等dxe x 2 dx x x sin dx x ln 1 dx x 4 1 1 函数范围内没有原函数 函数范围内没有原函数 7 5 定积分定义定积分定义 b a k n k k dxxfxf 10 lim 连续连续可积 即可积 即 xf xf n ab k n ab afdxxf n kn b a 1 0 lim n ab k n ab af n kn 1 lim 特例特例 即 即 等分等分 n xk 1 1 0n nn k fdxxf n kn 1 1 0 1 0 lim nn k f n kn 1 1 lim 如 如 1 1 22222 1 2 1 1 1 lim nnnn n 2 2 222222 21 lim nn n n n n n n 8 3 3 n b n n a n b aa n 1 sin sin sin lim 4 4 2004 22004 2 等于等于 n n n n nn 1 2 1 1 1 lim 222 ln Axdx 2 1 2 lnB 2 1 ln2xdx C 2 1 1ln 2dxxD 2 1 2 1 lndxx 5 5 n n n n n n n n n 1 sin 2 1 2 sin 1 sin lim 9 6 定积分性质定积分性质 1 a b b a dxxfdxxf a a dxxf0 2 b a b a b a duufdttfdxxf 3 线性性质 可加性 线性性质 可加性 4 abdx b a 1 以上性质用于计算 以上性质用于计算 5 比较定理 比较定理 若若在在可积可积 xgxf ba 且且 则 则 baxxgxf b a b a dxxgdxxf 事实上 若事实上 若在在连续 连续 xgxf ba 且且 只要 只要不恒等于不恒等于 baxxgxf xf xg 则则 b a b a dxxgdxxf 推论 推论 若若在在可积 且可积 且 xf ba baxxf 0 则则0 b a dxxf 若若在在可积 则可积 则在在可积 且可积 且 xf ba xf ba 常考 常考 dxxfdxxf b a b a 若若是是上非负的连续函数 上非负的连续函数 只要只要不恒不恒 xf ba xf 等于零 则必有等于零 则必有0 b a dxxf 6 估值定理 估值定理 10 设设的最小值与最大值分别为的最小值与最大值分别为和和 xfmM bax 则则 abMdxxfabm b a 7 定积分中值定理 定积分中值定理 常用于证明 常用于证明 若若在在连续 则在连续 则在上至少存在一点上至少存在一点 xf ba ba 使使 b a abfdxxf 或或 ab dxxf f b a 称称 上式为上式为在在的平均值公式的平均值公式 xf ba 8 如果 如果在在连续 且连续 且不变号 则至不变号 则至 xgxf ba xg 少存在一点少存在一点 使 使 ba b a b a dxxgfdxxgxf 7 重要公式 定理重要公式 定理 1 b a dxxf dx d 0 xfdxxf dx d x a xfdttf dx d 11 2 变限积分的性质及其导数 变限积分的性质及其导数 若若在在可积 则可积 则在在上连续 上连续 xf ba x a dttfx ba 若若在在连续 则连续 则在在上可上可 xf ba x a dttfx ba 导导 证明定积证明定积 分有关命题时使用 分有关命题时使用 注 变限积分注 变限积分只要存在就是连续的 只要存在就是连续的 x a dttfx 设设是连续函数 是连续函数 xf xfdttf dx d x a xfdttf dx d b x xaxafdttf dx d xa a xbxbfdttf dx d b xb xaxafxbxbfdttf dx d xa xb x a x a dttgxf dx d dttgxf dx d xgxfdttgxf x a 12 0 axfduuf dx d utxdttxf dx d ax x a 3 当 当为奇函数 为奇函数 为偶函数 为偶函数 xfdttf x 0 当当为偶函数 为偶函数 为奇函数 为奇函数 xfdttf x 0 奇函数的所有原函数都是偶函数 奇函数的所有原函数都是偶函数 偶函数的所有原函数只有一个是奇函数偶函数的所有原函数只有一个是奇函数 4 定积分存在的充分条件 定积分存在的充分条件 在在连续或在连续或在 xf ba 上有界且只有有限个间断点 则上有界且只有有限个间断点 则存在 存在 ba b a dxxf 也称也称在在可积可积 xf ba 定积分存在的必要条件 可积函数必有界定积分存在的必要条件 可积函数必有界 即若即若存在 则存在 则在在上必有界上必有界 b a dxxf xf ba 5 微积分基本公式 微积分基本公式 牛顿 牛顿 莱布尼兹公式 莱布尼兹公式 b a aFbFdxxf xfxF 注 注 在在连续 揭示了不定积分和定积分连续 揭示了不定积分和定积分 xf ba 的联系的联系 在积分区间在积分区间上只有有限个间断点的被积函数上只有有限个间断点的被积函数 ba xf 只要其在只要其在上存在原函数 牛顿上存在原函数 牛顿 莱布尼兹公式依然成莱布尼兹公式依然成 ba 立立 6 换元公式 换元公式 dtttftxdxxf b a 13 条件 条件 在在连续 连续 在在连续 且连续 且 xf ba t a b 通常取通常取为单调函数为单调函数 tx 注 注 换元必换限 换元必换限 分部积分公式 分部积分公式 b a b a b a vduuvudv 7 在在连续 则连续 则 xf aa 奇函数 偶函数 0 2 0 xf xfdxxf dxxf a a a dxxfxfdxxf aa a 0 8 2 0 22 4 adxxa a 222 2 adxxa a a 9 设 设是连续函数 则是连续函数 则 xf 利用换元法证明利用换元法证明 2 0 2 0 cos sin dxxfdxxf 奇数 偶数 n n n n n n n n n n xdxxdx nn 1 3 2 2 31 22 1 2 31 cossin 2 0 2 0 14 2 00 sin2sin xdxxdx nn 奇数 偶数 n nxdx xdx n n 0 cos2 cos 2 0 0 奇数 偶数 n nxdx xdxxdx n nn 0 sin4 sincos 2 0 2 0 2 0 2 2 1sin 4 0 xdx 2 2 sin 2 4 xdx 1cossin 2 0 2 0 xdxxdx 2sin 0 xdx 00 sin 2 sindxxfdxxxf 10 概率积分概率积分1 2 1 2 2 dxe x 2 2 0 dxe x dxe x2 15 11 设 设是以是以为周期的连续函数 则为周期的连续函数 则 xfT 其中 其中为任意常为任意常 2 2 0 T T TTa a dxxfdxxfdxxfa 数数 TnT dxxfndxxf 00 12 三角函数系 三角函数系 2cos 2sin cos sin 1 xxxx 在在正交 即任意两个不同函数在正交 即任意两个不同函数在 cos sinnxnx 上的积分值等于零上的积分值等于零 0coskxdx 0sinkxdx 0sincoslxdxkx 0coscoslxdxkx 0sinsinlxdxkx 为正整数为正整数lk lk kxdx 2 cos kxdx 2 sin 13 广义积分 反常积分 广义积分 反常积分 b a b a dxxfdxxf lim b a a b dxxfdxxf lim 16 c c dxxfdxxfdxxf 其中其中 b a cb c a dxxfdxxf lim 0 cf 其中其中 b a ac b c dxxfdxxf lim 0 cf 其中其中 c a b c b a dxxfdxxfdxxf lim xf cx 一般是看分母为零的点一般是看分母为零的点 但也有例外但也有例外 是瑕积分是瑕积分 1 0ln xdx 而而不是广义积分不是广义积分 因为因为 1 0 1 2 1 dxe x x 0 1 1 2 0 lim x x e x 几个重要的广义积分 几个重要的广义积分 dx x ap 1 0 a 1 1 p p 发散 收敛 记法记法 将将看作看作 ap n 1 倒代换后利用上面的结果可得倒代换后利用上面的结果可得 dx x b q 0 1 0 b 1 1 q q 发散 收敛 dx xx a ap ln 1 1 1 1 p p 发散 收敛 14 定积分的应用 定积分的应用 17 典型例题 典型例题 一 不定积分一 不定积分 1 原函数与不定积分的概念原函数与不定积分的概念 1 且 且 则 则 xx xeef 0 1 f xf 2 已知 已知 求 求 cxdxxxfarcsin dx xf 1 2 不定积分的计算不定积分的计算 基本积分法基本积分法 重要 重要 凑微分 熟悉常见的凑微分因子凑微分 熟悉常见的凑微分因子 1 0 1 abaxdbaxf a dxbaxf 2 nnnn dxxf n dxxxf 1 1 3 xxxx deefdxeef 18 xxxx daaf a dxaaf ln 1 4 xdxfdx x xfln ln 1 ln xdxfadx x xf aaa log logln 1 log 5 xdxfdx x xf 2 1 6 xdxfxdxxfsin sincos sin xdxfdx x xfarctan arctan 1 1 arctan 2 xdxfxdxxftan tansec tan 2 xdxfdx x xfarcsin arcsin 1 1 arcsin 2 19 xdxfxdxxxfsec sectansec sec 1 练习凑微分 练习凑微分 dxe xex dx xx 22 1arcsin 1 dx x x 1 cos 1 2 dx x x 2 1 arctan21 dx xx xx 5 sin cos cossin dxxxx 1 ln ln 2 3 dxexxexx xx 13 22 dxexxe xxex sin cos cos 20 dx x xx 2 2 1 5 1ln dx xbxa x 2222 sincos 2sin ab dx xx x 2 ln ln1 dx xex xx x cos1 cos sincos sin 2 换元法 根式代换 三角代换 指数代换 倒代换 换元法 根式代换 三角代换 指数代换 倒代换 其他代换 反三角或对数代换 等其他代换 反三角或对数代换 等 2 dx x xe x 2 3 1 2 arctan dx x211 1 21 3 dx e xe x x 1 dx x x 1 1ln 0 x 4 dx e e x x 2 arctan xx x dx 421 2 5 dx xx x 1 arctan 22 dxx sin ln 6 222 xax dx 0 adx x x 100 3 1 12 分部积分法 适用于两种不同类型函数乘积的积分 也常分部积分法 适用于两种不同类型函数乘积的积分 也常 用于递推公式的推导用于递推公式的推导 7 dxex x22 1 xdxxx2cos 522 3 22 8 dx x x 2 1 ln 9 xdxx 2 sin 10 dxxe x 2 2 1 tan 11 dx x x 2 sin sinln dx x xx lnarcsin 2011 3 12 dx ax I n n 1 22 有理函数 分子 分母都是多项式函数 的不定积分有理函数 分子 分母都是多项式函数 的不定积分 13 dx x x 1 1 4 2 14 dx xx x 2 2 4 三角有理式 由正 余弦函数及常数经过有限次四则运算三角有理式 由正 余弦函数及常数经过有限次四则运算 得到的函数 的不定积分 数三不要求 得到的函数 的不定积分 数三不要求 15 dx x sin1 1 23 16 dx x x cos1 cos 17 dx xx 22 cos2sin 1 不全为零 不全为零 dx xbxa 2222 cossin 1 ba 18 dx xx xx sin2cos5 sin3cos7 19 x dx tan53 简单无理函数的不定积分简单无理函数的不定积分 20 dx xx 3 1 21 dx xx 3 42 1 1 1 抽相函数的不定积分抽相函数的不定积分 22 dx xfx xf ln ln 23 其中 其中的原函数为的原函数为 dxxf x 2 xf x xsin 24 分段函数的不定积分分段函数的不定积分 24 dxxx 1max 32 二 定积分 反常积分 变限积分二 定积分 反常积分 变限积分 1 定积分的性质定积分的性质 1 比较 比较 1 2 dxe x 1 2 2 dxe x 1 2 1 dxx 2 设 设 则 则dx x x I 4 0 1 tan dx x x I 4 0 2 tan A1 21 IIB 21 1II C1 12 IID 12 1II 3 设 设 则 则tdtexF x x t sin 2 sin xF 为正常数为正常数 为负常数为负常数AB 恒为零恒为零 不为常数不为常数CD 4 设 设 3 2 1 sin 0 2 kxdxeI k x k A 321 III B 123 III 25 C 132 III D 312 III 2 定积分的计算定积分的计算 1 dxe x 2ln 0 2 1 2 dxxxx 2 0 2 2 3 dxxx 1 0 2 3 4 1 4 dx xx x e e e e ln lnln 5 dxx 0 sin1 6 dxex x 2 2 1ln 26 7 dx x x 1 02 2 1ln 8 dx x xxe x 4 4 2 cos sin cos 9 xdxx 2 0 8 sin 10 设 设在区间在区间上连续 上连续 xgxf 0 aaa 为偶函数 且为偶函数 且满足条件满足条件 xg xf 为常数为常数 证明证明Axfxf A aa a dxxgAdxxgxf 0 利用利用 的结论计算的结论计算 2 2 arctansin dxex x 抽象函数的定积分抽象函数的定积分 1 设设 求 求dt t t xf x 0 sin 0 dxxf 2 及及 2 1 2 f0 2 f 2 0 1 dxxf 27 求求dxxfx 2 1 0 2 对称区间奇 偶函数的积分 周期函数的积分对称区间奇 偶函数的积分 周期函数的积分 1 dxxx 1 1 22 1 2 xdxxx 22 2 2 3 cos sin 3 xdx 3 4 3 22 4 sin 4 dxx n 0 2sin1 5 dxxx e e sin1 sin 2 2 特殊形式的积分特殊形式的积分 1 设 设在在满足满足 xf xxfxfsin 且且 求 求 0 xxxf 3 dxxf 28 分段函数的定积分分段函数的定积分 1 求 求 0 01 2 xe xx xf x 3 1 2 dxxf 2 dxx 2min 2 3 2 3 dxxx 5 2 2 32 4 dtxt t 1 0 杂例杂例 1 设 设连续 且连续 且 xf 1 0 2 dttfxxf 则则 xf 2 在在上的平均值为上的平均值为 2 2 1x x y 2 3 2 1 3 会读图 会读图 29 递推公式 常用分部积分法 递推公式 常用分部积分法 1 4 0 tan xdxa n n Zn 求求 tan lim 4 0 xdxn n n 2 xdxxb n n 0 sin Zn 3 变限积分 变限积分 1 设设连续 且连续 且 xf 2 0 arctan 2 1 2 xdttxtf x 已知已知 求 求1 1 f 2 1 dxxf 2 设 设为连续函数 为连续函数 xf t y t dxxfdytF 1 求求 2 F 3 设 设为连续函数 为连续函数 xf t s dxtxftI 0 其中其中 则 则的值的值0 0 stI 依赖于依赖于 依赖于依赖于和和Ats Bts x 依赖于依赖于不依赖于不依赖于 依赖于依赖于 不依赖于不依赖于Cxt sDst 30 4 设 设 01 00 01 x x x xf x dttfxF 0 问问在在处处 xF0 x 不连续不连续 连续但不可导连续但不可导AB C 可导且可导且 xfxF 可导但可导但未必等于未必等于D x F xf 5 设 设 则 则 xdtexf x t 0 2 1 2 x f 的单调性是的单调性是 xf 的奇偶性是的奇偶性是 xf 图形的拐点是图形的拐点是 凸凹区间是凸凹区间是 水平渐近线是水平渐近线是 4 广义积分 反常积分 广义积分 反常积分 31 1 1 dx x x 12 arctan 2 2 已知 已知 则 则1 dxe xk k 注 对称区间上奇 偶函数的反常积分与对称区间上奇 注 对称区间上奇 偶函数的反常积分与对称区间上奇 偶函数的定积分比较 多了一个条件 收敛 如果不满足偶函数的定积分比较 多了一个条件 收敛 如果不满足 这个条件 结论不成立 这个条件 结论不成立 反例 反例 是发散的 即认为是发散的 即认为 dx x x 2 1 dx x x 2 1 0 是错的 是错的 3 3 2 2 7 xx dx 4 4 当 当为何值时 为何值时 收敛 收敛 为何值 发散 为何值 发散 kdx xx k 2 ln 1 k 为何值 反常积分取得最小值为何值 反常积分取得最小值k 三 定积分的应用 微元法 三 定积分的应用 微元法 1 1 几何方面 几何方面 32 1 1 位于曲线 位于曲线下方 下方 轴上方的轴上方的 0 xxey x x 无界图形的面积是无界图形的面积是 2 2 曲线 曲线与与轴围成的平面图形绕轴围成的平面图形绕 0 sin 2 3 xxyx 轴旋转一周所得旋转体的体积轴旋转一周所得旋转体的体积x 3 3 曲线 曲线与与轴围成的平面图形绕轴围成的平面图形绕轴轴 2 1 xxyxy 旋转旋转一周所一周所得旋转体的体积得旋转体的体积 4 4 设有曲线 设有曲线 过原点做其切线 求由此曲线 过原点做其切线 求由此曲线 1 xy 切线及切线及轴围成的平面图形绕轴围成的平面图形绕轴旋转一周所得旋转轴旋转一周所得旋转xx 体的表面积体的表面积 5 5 过原点作曲线 过原点作曲线的切线 该切线与曲线的切线 该切线与曲线xyln xyln 及及轴围成平面图形轴围成平面图形 xD 求求的面积的面积 DA 求求绕直线绕直线旋转一周所得旋转体的体积旋转一周所得旋转体的体积Dex V 6 6 求曲线 求曲线与与轴围成的封闭图形绕直线轴围成的封闭图形绕直线13 2 xyx 旋转一周所得旋转体的体积旋转一周所得旋转体的体积3 yV 7 7 设 设星形线星形线 0 sin cos 3 3 atay tax 求面积求面积 全长 全长 绕 绕轴旋转得旋转面的全面积轴旋转得旋转面的全面积Asx 绕 绕轴旋转得旋转体的体积轴旋转得旋转体的体积 x Ax x V 33 8 8 双纽线 双纽线所围成区域的面积可表所围成区域的面积可表 22222 yxyx 示为示为 A 4 0 2cos2 dB 4 0 2cos4 d C 4 0 2cos2 dD 4 0 2 2 cos 2 1 d 9 9 曲线 曲线的弧长的弧长 4 0 0 xantdtty x s 2011 1 22011 1 2 1010 当 当时 对数螺线时 对数螺线的弧长为的弧长为 0 er 2010 22010 2 11 11 设封闭曲线设封闭曲线的极坐标方程为的极坐标方程为 L 3cos r 则 则所围平面图形的面积是所围平面图形的面积是 66 L 12 12 设曲线设曲线在在的部分与的部分与轴所围成轴所围成xey x sin 2 1 0 xx 的平面区域记为的平面区域记为 试求平面区域 试求平面区域绕绕轴旋转所得的旋轴旋转所得的旋 x 转体体积转体体积 V 2 2 物理方面 物理方面 1 1 某建筑工地打地基时 需用汽锤将桩打进土层 汽锤 某建筑工地打地基时 需用汽锤将桩打进土层 汽锤 每次击打 都将克服土层对桩的阻力