极坐标与参数方程知识讲解

泉州七中数学组 王剑峰 参数方程和极坐标系参数方程和极坐标系 一 一 知识要点知识要点 一 曲线的参数方程的定义 在取定的坐标系中 如果曲线上任意一点的坐标 x y 都是某个变数 t 的函数 即 tfy tfx 并且对于 t 每一个允许值 由方程组所确定的点 M x y 都在这条曲线上 那么方程组 就叫做这条曲线的参数方程 联系 x y 之间关系的变数叫做参变数 简称参数 二 常见曲线的参数方程如下 1 过定点 x0 y0 倾角为 的直线 t 为参数 sin cos 0 0 tyy txx 其中参数 t 是以定点 P x0 y0 为起点 对应于 t 点 M x y 为终点的有向线段 PM 的 数量 又称为点 P 与点 M 间的有向距离 根据 t 的几何意义 有以下结论 设 A B 是直线上任意两点 它们对应的参数分别为 tA和 tB 则 1 AB AB tt BAAB tttt 4 2 线段 AB 的中点所对应的参数值等于 2 2 BA tt 2 中心在 x0 y0 半径等于 r 的圆 为参数 sin cos 0 0 ryy rxx 3 中心在原点 焦点在 x 轴 或 y 轴 上的椭圆 为参数 或 sin cos by ax sin cos ay bx 中心在点 x0 y0 焦点在平行于 x 轴的直线上的椭圆的参数方程 为参数 sin cos 0 0 byy axx 泉州七中数学组 王剑峰 4 中心在原点 焦点在 x 轴 或 y 轴 上的双曲线 为参数 或 tg sec by ax ecay bx s tg 5 顶点在原点 焦点在 x 轴正半轴上的抛物线 t 为参数 p 0 pty ptx 2 2 2 直线的参数方程和参数的几何意义 过定点 P x0 y0 倾斜角为的直线的参数方程是 t 为参数 sin cos 0 0 tyy txx J3 2 极坐标系 1 定义 在平面内取一个定点 O 叫做极点 引一条射线 Ox 叫做极轴 再选一个长度 单位和角度的正方向 通常取逆时针方向 对于平面内的任意一点 M 用 表示线段 OM 的长 度 表示从 Ox 到 OM 的角 叫做点 M 的极径 叫做点 M 的极角 有序数对 就 叫做点 M 的极坐标 这样建立的坐标系叫做极坐标系 2 极坐标有四个要素 极点 极轴 长度单位 角度单位及它的方向 极坐标 与直角坐标都是一对有序实数确定平面上一个点 在极坐标系下 一对有序实数 对应惟 一点 P 但平面内任一个点 P 的极坐标不惟一 一个点可以有无数个坐标 这些坐标 又有规律可循的 P 极点除外 的全部坐标为 或 k2 Z 极点的极径为 0 而极角任意取 若对 的取值范围加以限制 则 12 k k 除极点外 平面上点的极坐标就惟一了 如限定 0 0 或0 则下列极坐标方程中 表示直线的是 A B cos 0 C tg 1 D 3 2 3 sin 1 0 5 若点 A 4 与 B 关于直线 对称 在 0 条件下 B 的极坐标是 6 7 3 6 直线 cos 1 与极轴所成的角是 4 7 直线 cos 1 与直线 sin 1 的位置关系是 8 直线 y kx 1 k 0 且 k 与曲线 2sin sin2 0 的公共点的个数是 2 1 A 0 B 1 C 2 D 3 例 8 讨论下列问题 1 圆的半径是 1 圆心的极坐标是 1 0 则这个圆的极坐标方程是 A cos B sin C 2cos D 2sin 2 极坐标方程分别是 cos 和 sin 的两个圆的圆心距是 A 2 B C 1 D 2 2 2 3 在极坐标系中和圆 4sin 相切的一条直线方程是 A sin 2 B cos 2 C sin 4 D cos 4 4 圆 Dcos Esin 与极轴相切的充分必要条件是 A D E 0 B D2 E2 0 C D 0 E 0 D D 0 E 0 5 圆2sin 2cos 的圆心的极坐标为 3 6 若圆的极坐标方程为 6cos 则这个圆的面积是 7 若圆的极坐标方程为 4sin 则这个圆的直角坐标方程为 8 设有半径为 4 的圆 它在极坐标系内的圆心的极坐标为 4 0 则这个圆的极坐标方程为 例 9 当 a b c 满足什么条件时 直线与圆相切 sincos 1 ba cos2c 例 10 试把极坐标方程 化为直角坐标方程 并就 m 值的变化 0cos6 2 sin3 2 cos m 讨论曲线的形状 泉州七中数学组 王剑峰 例 11 过抛物线 y2 2px 的焦点 F 且倾角为的弦长 AB 并证明 为常数学 1 1 FBFA 例 12 设椭圆左 右焦点分别为 F1 F2 左 右端点分别为 A A 过 F1 作一条长度等于椭圆短轴长的 弦 MN 设 MN 的倾角为 1 若椭圆的长