《正多边形的镶嵌规律》教案

正多边形的镶嵌规律正多边形的镶嵌规律 教案教案 学习了 美妙的镶嵌 我知道镶嵌的两个基本特征 1 拼接点处的各个角之和等于 360 度 2 拼接边相等 课后老师布置了作业 请同学们设计一个镶嵌图形 这是一个非常好的作业 老师没有规定用什么图形进行镶嵌 可以任意选择图形 于是课堂 上老师给我们展示了许多美丽的镶嵌图形 便浮现在我的脑海中 这些镶嵌图形 有的是单一多边形进行镶嵌 也有的几种多边形进行镶嵌 有的是一 般多边形进行镶嵌 有的是正多边形进行镶嵌 到底是怎样的正多边形可以进行镶嵌呢 一 探索单种正多边形镶嵌问题 能够镶嵌的条件之一是 拼接点处的几个角的和为 360 用单一正多边形进行镶嵌 就 是要求几个正多边形的内角的和为 360 如下表 通过上表 我发现 要使正多边形能够进行镶嵌 必须是整数 而且我们说几个多 边形能够镶嵌 当然是至少有 3 个多边形进行镶嵌 3 个以下是不可能的 因为 多边形 这 里一般是指凸多边形 的内角都是锐角 小于 180 度 于是 3 两边同时乘以 n 2 n 2 n 2 0 得 2n 3 n 2 解得 n 6 这样看来 表格中六边形以上的多边形是不可能进行单独镶嵌的 而能够进行单独镶 嵌的多边形只有三种 1 6 个正三角形 2 4 个正四边形 3 3 个正六边形 二 探索两种正多边形镶嵌问题 镶嵌的关键是内角的度数 所以对正多边形的内角度数必须要有所了解 为了弄清 n 取 何值时中是整数 我在 Excel 中输入公式 输出 60 度到 179 度之间的正多边形内角度数 结果表示如左表 取其中内角度数是整数的多边形内角度数 结果表示成右表 由表格可知中 当 n 是 3 4 5 6 8 9 10 12 15 18 20 24 30 36 40 45 60 72 90 120 180 360 时 是整数 共 22 个 在上述的 22 种正多边形中可以两个组合进行镶嵌 共有以下几种 1 正三角形与三边以上的正多边形镶嵌 1 60 1 300 1 60 2 150 1 个正三角形 2 个正 12 边形 2 60 1 240 2 60 2 120 2 个正三角形 2 个正 6 边形 3 60 1 180 3 60 2 90 3 个正三角形 2 个正 4 边形 4 60 1 120 4 60 1 120 4 个正三角形 1 个正 6 边形 5 60 1 30 小于 60 度舍去 2 正四边形与四边以上的正多边形镶嵌 1 90 1 270 1 90 2 135 1 个正四边形 2 个正 8 边形 2 90 1 180 2 90 2 90 等于 90 度舍去 3 正五边形与五边以上的正多边形镶嵌 1 108 1 252 1 108 2 126 1 108 3 84 小于 108 度舍去 2 108 1 144 2 108 1 144 2 个正五边形 1 个正 10 边形 3 108 1 36 小于 108 度舍去 4 正六边形与六边以上的正多边形镶嵌 1 120 1 240 1 120 2 120 等于 120 度舍去 设六边以上的正多边形的内角是 x x 120 所要镶嵌的图形共有 n 个 n 3 则 由 120 n 1 x 360 得 n 240 x 1 再由 n 3 得 240 x 1 3 解得 x 120 显然 对于六边以上的正多边形是无法用 2 种图形进行镶嵌 因此 两种正多边形进行镶嵌只有六种 来源 正多边形的镶嵌规律 学 生小论文 春暖花开 新浪博客 1 1 个正三角形 2 个正 12 边形 2 2 个正三角形 2 个正 6 边形 3 3 个正三角形 2 个正 4 边形 4 4 个正三角形 1 个正 6 边形 5 1 个正四边形 2 个正 8 边形 6 2 个正五边形 1 个正 10 边形 三 探索三种正多边形镶嵌问题 根据探索二的结论 可以将探索二中的正多边形分成两个不相同的正多边形 组成三 种正多边形的镶嵌 由探索二中的 1 变化出如下 1 1 60 2 150 1 60 2 90 1 120 1 个正三角形 2 个正 4 边形 1 个正 6 边形 2 1 60 2 150 1 60 1 135 1 165 1 个正三角形 1 个正 8 边形 1 个正 24 边形 3 1 60 2 150 1 60 1 140 1 160 1 个正三角形 1 个正 9 边形 1 个正 18 边形 4 1 60 2 150 1 60 1 144 1 156 1 个正三角形 1 个正 10 边形 1 个正 25 边形 由探索二中的 2 变化出如下 1 2 60 2 120 2 60 1 90 1 150 2 个正三角形 1 个正 4 边形 1 个正 12 边形 由探索二中的 3 4 无法变化 由探索二中的 5 变化如下 1 1 90 2 135 1 90 1 108 1 162 1 个正 4 边形 1 个正 4 边形 1 个正 20 边形 2 1 90 2 135 1 90 1 120 1 150 1 个正 4 边形 1 个正 6 边形 1 个正 12 边形 由探索二中的 6 无法变化 因此 三种正多边形进行镶嵌只有七种 1 1 个正三角形 2 个正 4 边形 1 个正 6 边形 2 1 个正三角形 1 个正 8 边形 1 个正 24 边形 3 1 个正三角形 1 个正 9 边形 1 个正 18 边形 4 1 个正三角形 1 个正 10 边形 1 个正 25 边形 5 2 个正三角形 1 个正 4 边形 1 个正 12 边形 6 1 个正 4 边形 1 个正 4 边形 1 个正 20 边形 7 1 个正 4 边形 1 个正 6 边形 1 个正 12 边形 四 探索四种或以上正多边形镶嵌问题 根据上面的方法 我突然想到 是否还有四种正多边形进行镶嵌 或者说还有五种 甚至于六种呢 回答是否定的 因为正三角形 正四边形 正五边形 正六边形中 四个图形的角之和 为 60 90 108 120 378 360 所以不可能镶嵌 五 未能完成的探索 当我为自己探索出 16 种正多边形的镶嵌而高兴时 我在网络上偶尔发现关于正多边形 镶嵌的问题 网络却给我一个很大的打击 用正多边形进行镶嵌 有 17 种可能 而我却只能找出 16 种 我无法肯定按我的这种方法 是否会遗漏某种可能 网上介绍 这 17 种能镶嵌的正多边形情况 早在 1924 年 已被波尔亚发现 更为甚者 在波尔亚之前 西班牙阿尔汉布拉宫的装饰已经一个不少地制出了这些图样 真是令人叹 为观止 17 种可能镶嵌的正多边形如下 在这里 我不得不承认古人的聪明 他们在 100 年前研究过的东西 我还是找不出来 我所探索的 16 种可能镶嵌的正多边形情形当中 还遗漏了内角度不是整数的一种情况 1 个