论文函数最值问题1

1 函数最值问题解法探讨函数最值问题解法探讨 摘要摘要 函数最值问题是函数的核心知识 在现实生活中也有着广泛的应用 是中学数学教学与研究的重点内容 同时函数最值问题也与数学中 众多知识与方法是紧密相关的 本文主要就函数最值问题的基本求 解方法与技巧加以讨论 并结合一些具体的例子进一步说明这些方 法在解题当中的应用 AbstractAbstract The maximum and minimum of the function is the core knowledge of function which is also widely applied in real life and is the key content of middle school mathematics teaching and research Meanwhile it is closely related to numerous knowledge and methods in mathematics This article mainly discusses the basic calculation methods and skills of the maximum and minimum of the function and combines with some concrete examples to further illustrate the application of these methods in the problem solving 关键词关键词 函数函数 最值最值 解法解法 2 目录目录 1 引言 3 2 函数最值问题解法探讨 3 3 例题探讨 5 4 总结语 13 参考文献 13 3 一 引言一 引言 函数是中学数学的主体内容 贯穿于整个中学阶段 而函数最值问题是函数 的重要组成部分 并且函数最值问题也与数学中众多知识与方法是紧密相关的 根据平时教学中教授知识内容 我认为总结函数最值问题解法很有必要 对提 高学生解决问题的能力有很重要的作用 一般函数的求最值的方法可归纳为十种 判别式法 配方法 不等式法 三角函数法 换元法 数形结合法 函数单调性法 复数思想 求导法 线性规划法等 这些方法具有极强的针对性 每一种方法针对性不同 本文 就常用的几种方法进行探讨 二 函数最值问题解法探讨二 函数最值问题解法探讨 函数最值的定义 设函数 y 在内有定义 如果有 使得对于任一 xf ba bax 0 x 都有 或 成立 则称函数在点处有最 ba 0 xfxf 0 xfxf xf 0 x 大 小 值 f 0 x 1 1 判别式法判别式法 有些函数经过适当的变形后 可整理为 的形式 根0 2 cbxax0 a 据 x 是实数 因而可以用判别式求最值 但要注意把变形过程中函数值域扩大 或缩小 的部分去掉 或找回 1 2 2 配方法 配方法 当函数是二次函数 或者经过变形后可以转化为二次函数时 就可以利用这 种方法进行求解 当涉及到具体问题 在使用配方法时必须注意题目中的隐含条 件及问题的转化 换元 经转化后问题一般就成了求函数 y a 0 在闭区间 或区间 上cbxaxxf 2 21 x x 1 x 2 x 的最值 此时就可以用二次函数的单调性来确定最值 2 3 3 不等式法 不等式法 有些函数可利用已证过的重要不等式来求最值 特别是均值不等式在求最 值的问题中更是应用广泛 著名的平均值不等式 若 R 则 当且仅当 n aaa 21 n n aaa n aaa n 21 21 是一个应用广泛的不等式 许多外形与它截然相异的函数式 n aaa 21 4 常常也能利用它巧妙地求出最值 3 4 4 三角函数法 三角函数法 求三角函数最值 主要利用正 余弦函数的有界性 结合函数的图像和性 质来求解 求三角函数的最值方法 1 可用辅角化为其中 sinx bcosxya 22 sin x yab tan b a 2 可化为 22 sinsinxcosx ccosyaxbx sin2xcos2xyAB 3 可换元转化为二次函数 2 ysincosx caxb 4 与同时存在型可换元转换 xxcossinxxcossin 5 或可用分离系数法或由来解决 可化为 sin y sin axb cxd cos y cos axb cxd 1sin x 重分式求解 6 可用斜率公式求解决 sin y cos axb cxd 5 5 换元法 换元法 换元法就是通过引入一个或几个新的变量 来替代原来的某些量的解题方 法 达到化抽象为具体形象 化繁杂为简单明确 化难为易的目的 换元法主 要有代数换元和三角换元 用换元法时 要注意换元后变元的范围 6 6 数形结合法 数形结合法 数形结合能将抽象的问题直观化 形象化 函数最值也常借助数形结合方 法来解 7 7 函数单调性法 函数单调性法 一般对于可化为 y 型 或化为余弦函数形式 的三角函数 axAsin 在自变量的范围限制在某个区间的情况下 函数最值问题通常通过三角恒等变 换将已知函数式直接转化为一个角的三角函数的形式 将异名三角函数化为同 名三角函数 然后利用三角函数的单调性来求解 4 8 8 复数思想 复数思想 复数 z 是形如 R 的数 它与以原点 O 为起点的向量bia ba 建立一一对应关系后 从侧面获得了 1 长度的含义 即 z OZ 2 非零实数的性质 即 z 0 这样 z 就列入到求最大 22 yx 小 值问题了 其解法有以下四种 1 运用图形的直观性求解 2 运 5 用复数的三角不等式求解 3 运用复数的几何意义求解 4 运用共轭复 数的性质求解 9 9 求导法 求导法 如果函数 f x 在闭区间 a b 上是连续函数 那么 f x 在闭区间 a b 上 必有最大值和最小值 它的最大值 最小值 是函数 f x 的极大值与极小值以 及 f a f b 中最大的 最小的 5 1010 线性规划法 线性规划法 线性规划问题 一般可用图解法求线性目标函数在约束条件下的最大值或 最小值问题 分为三个步骤 第一步 在平面直角坐标系中作出可行域 第二 步 利用平移直线的方法在可行域内找到最优解析对应的点 第三步 将最优 解代入目标函数求出最大值或最小值 三 例题探讨三 例题探讨 例 1 已知函数 求其最值 12 2 2 2 xx xx y 解 由得 12 2 2 2 xx xx y0 22 1 2 yxyxy 即 0 1y 2 5 2 1 1 y y 2 5 2 1 maxmin yy 例 2 已知实数满足求的最大值 yx xyx523 22 22 2yx 解 从已知条件xyx523 22 推得 22 2 3 2 5 xxy 22 2yx 2 3 2 5 2 22 xxx 8 25 2 5 2 1 2 x 又 解得0 2 3 2 5 2 xx 3 5 0 21 xx 当时 无最小值 3 5 x 22 2yx max 9 50 例 3 的最小值 4 1 1 yxx x 6 解 4 1 yx x 4 11 1 x x 110 xx 原式2 1 4 5 当且仅当时 即 x 3 时 等号成立 4 1 1 x x 注意 1 两个正数的和为定值 则积有最大值 两个正数的积为定值 则和 有最小值 2 应用均值不等式求最值时 要注意三点 一正 二定 三相等 例 4 1 求函数的最大值与最小值 sin cos2 x y x 解 函数的几何意义为两点 P 2 0 Q连线的斜率 K sin cos2 x y x xx sin cos 而 Q 点的轨迹为单位圆 可知 33 33 K max 3 3 y min 3 3 y 例 4 2 函数满足且 xxbxaxfcossincos2 2 0 2f 2 3 2 1 3 f 求函数 f x 的最值 解 0 22 1 31313 2 2 24422 fa a b fab 把代入得 1 2 a b 2 2cos2sin cos2sin 2 1 4 f xxxxx 21 12 1 4 2sin 1 min max xf xf x 例 4 3 已知函数 422 fsincos24xxxaa 16 4 x 7 1 求函数的最小值 f x g a 2 求 1 中的最大值 g a 解 422 2 2 2 2 2 2 fsincos24 1 cosx1 cos2x 24 22 cos 23 24 4 17 cos424 88 139 cos42 88 xxxaa aa x aa xaa xaa 4 4 4 16 xx f x 取得最小值 cos4x1 22 3819 g22 84 aaaaa 2 19 g2 4 aaa 当 a 1 时 max 23 4 g a 例 5 函数 f x 2 x 1 9 x 3 log 求的最大值 最小值 22 yf xf x 解 由可得 22 yf xf x 定义域 2 19 x 13 19 x xx x 22222 3333 2log 2log log 6log6yf xf xxxxx 令 3 log xt 0 1 t 则 2 yt66t 2 2 23 21 4 23 1 4 aa a 8 t 0 t 1 min 6y max 12y 例 6 求函数的最大值和最小值 x x y cos4 sin3 解 x x y cos4 sin3 4 cos 3 sin x x 这可以看作是定点 A 4 3 与单位圆上的点 p连线的斜率 xx sin cos 由下图可知 过点 A 4 3 作单位圆的切线时 斜率有最值 故 y 的最值 就是当直线 AP 与单位圆相切时的斜率 A 4 3 x y O P P 因为单位圆 中斜率为 k 的切线方程为 1 22 yx 2 1kkxy 由于该切线过点 A 4 3 故 3 4 2 1kk 所以 15 6212 k 即 15 6212 15 6212 minmax yy 例 7 已知函数 求函数的最值 xxxxxf 22 cos3cossin2sin Rx 解 xxxxxf 22 cos3cossin2sin 9 2 2cos1 3 2sin 2 2cos1x x x xx2cos2sin2 4 2sin 22 x 当 2 2 4 2 kx 即时 8 Zkkx 22 max xf22 min xf 函数 f x 取得最值得自变量 x 的集合是 Zkkxx 8 例 8 已知复数 z 满足 z 2 求的最大值和最小值 zi 31 解法一 设 z R bia ba z 2 4 22 ba zi 31 22 3 1 ba 3 28ba 设 t a 则 t a b3b3 2222 4332babtbtt 4 2 2 b043 2 ttb b R t R 160 2 32t 4 2 t 解得 4 t 4 即 4 4 ba3 代入 得 0 4zi 31 min zi 31 max 解法二 z 2 点 z 是圆上的点 4 22 yx 表示 z 与 1 的对应点间的距离 zi 31i 3 由于点 P 1 在圆上 如下图 3 10 p p x y O2 p 2 p PZ 的最小值为 0 最大值为 4 即 0 4zi 31 min zi 31 max 解法三 由不等式 得 1 Z 2 Z 21 ZZ 1 Z 2 Z zi 31zi 31zi 31 0 4zi 31 0 4zi 31 min zi 31 max 解法四 设 z R 则由 z 2 得yix yx 4 22 yx 31 31 31 2 iziziz x 1 y x 1 y 3i3i x 1 y 2 3 2 4322 22 yxyx 3 28yx 由于 故可令4 22 yx sin2 cos2Ryx 于是上式可化为 8 4 zi 31 2 sin3cos 11 8 8 sin 2 3 cos 2 1 8 8 6 sin 0 16zi 31 2 即 0 4zi 31 min zi 31 max 在求函数的最值时 如果函数能够变形为平方和的形式 不妨引进复数 利 用复数的模来求解 利用复数的模的不等式性质 往往使问题迎刃而解 例 9 已知 a 为实数 f x x2 4 x a 若 f 1 0 求 f x 在 2 2 上的最大值与最小值 解 由原式得 f x x3 ax2 4x 4a f x 3x2 ax 4 由 f 1 0 得 a 2 1 此时有 2 1 4 2 xxxf 由 0 xf 得 3 4 x 或 1 x 又 2 9 1 f 02 f 02 f 450 327 f 所以 xf 在 2 2 上最大值为2 9 最小值为 50 27 注意 1 函数的最值是对函数在整个区间上的函数值相比较而言的 函数的极 值反映函数在某一点附近的情况 是在局部对函数值得比较 故函数的极值不 一定是最值 在某一区间上最值不一定是函数的极值 2 连续函数在开区间 a b 上不一定有最大值或最小值 如果连续函数 在开区间 a b 内只有一个极值 那么极大值就是最大值 极小值就是最小值 12 例 10 已知实数 x y 满足 求的最大值和最小值 4 01234 06 x yx yx x y 解析 作出不等式组表示的平面区域 如图所示 4 01234 06 x yx yx O y 426 A C D B x 4 x y 6