导数--复合函数的导数练习题(精品)

第 1 页 共 8 页 函数求导函数求导 1 简单函数的定义求导的方法 一差 二比 三取极限 1 求函数的增量 00 xfxxfy 2 求平均变化率 x xfxxf x y 00 3 取极限求导数 0 xf x xfxxf x lim 00 0 2 导数与导函数的关系 特殊与一般的关系 函数在某一点的导数就是 0 xf 导函数 当时的函数值 xf 0 xx 3 常用的导数公式及求导法则 1 公式 C 是常数 0 Cxxcos sin xxsin cos 1 nn nxx aaa xx ln xx ee ax x a ln 1 log x x 1 ln x x 2 cos 1 tan x x 2 sin 1 cot 2 法则 xgxfxgxf xfxgxgxfxgxf 2 xg xfxgxgxf xg xf 例 1 2 32 4yxx sin x y x 3 4 3cos4sinyxx 2 23yx 5 ln2yx 第 2 页 共 8 页 复合函数的导数复合函数的导数 如果函数在点 x 处可导 函数 f u 在点 u 处可导 则复合函数 x x y f u f 在点 x 处也可导 并且 x f x xf x 或记作 x y u y x u 熟记链式法则 若 y f u u y f 则 x x x y xuf 若 y f u u v y f 则 v x x x y xvuf 2 复合函数求导的关键是正确分析已给复合函数是由哪些中间变量复合而 成的 且要求这些中间变量均为基本初等函数或经过四则运算而成的初等函数 在 求导时要由外到内 逐层求导 例例 1 1 函数的导数 4 31 1 x y 解 4 31 1 x y 4 31 x 设 则 4 uyxu31 xux uyy xu xu 31 4 3 4 5 u 55 31 1212 xu 5 31 12 x 第 3 页 共 8 页 例例 2 2 求的导数 5 1x x y 解 5 1 1 x x y 5 4 115 1 x x x x y 2 5 4 1 1 1 15 1 x xx x x 2 5 4 1 1 15 1 xx x 5 6 5 4 1 5 1 xx 例例 3 求下列函数的导数 xy23 解 解 1 xy23 令 u 3 2x 则有 y u 3 2xu 由复合函数求导法则 xux uyy 有 y x uxu 23 xu23 1 2 2 1 在运用复合函数的求导法则达到一定的熟练程度之后 可以不再写出中间变量 u 于是前面可以直接写出如下结果 y x x x23 1 23 232 1 在运用复合函数求导法则很熟练之后 可以更简练地写出求导过程 y xx23 1 2 232 1 第 4 页 共 8 页 例例 4 求下列函数的导数 1 y cos x 2 y ln x x21 2 1x 解 解 1 y cos xx21 由于 y cos x 是两个函数与 cos x 的乘积 而其中x21 x21 又是复合函数 所以在对此函数求导时应先用乘积求导法则 而在求x21 导数时再用复合函数求导法则 于是x21 y cos x sin xx21 x21 sin x sin x x x cos 212 2 x21 x x 21 cos x21 2 y ln x 2 1x 由于 y ln x 是 u x 与 y ln u 复合而成 所以对此函数 2 1x 2 1x 求导时 应先用复合函数求导法则 在求时用函数和的求导法则 而求 x u 的导数时再用一次复合函数的求导法则 所以 2 1x y 1 2 1 1 xx 2 1x 2 1 1 xx 2 12 2 1 x x 2 1 1 xx 2 2 1 1 x xx 2 1 1 x 例例 5 设 求 1ln xxy y 解解 利用复合函数求导法求导 得 1 1 1 1 ln 2 2 2 xx xx xxy 1 1 1 1 2 2 x xx 第 5 页 共 8 页 1 12 1 1 1 1 2 22 x xxx1 1 1 1 1 1 222 xx x xx 1 求下函数的导数 1 2 cos 3 x y 21yx 1 y 5x 3 4 2 y 2 3x 5 3 y 2 x2 3 4 y 2x3 x 2 1 y 2 y 3 y sin 3x 4 y cos 1 x2 32 12 1 x 4 13 1 x6 32 2 xy 2 sin xy 4 cos xy 13sin ln xy 1 求下列函数的导数 1 y sinx3 sin33x 2 3 12 2sin x x y 2 log 2 x a 第 6 页 共 8 页 2 求的导数 132ln 2 xx 一 选择题 本题共5小题 每题6分 共30分 1 函数 y 的导数是 2 13 1 x A B C D 3 13 6 x 2 13 6 x 3 13 6 x 2 13 6 x 3 函数 y sin 3x 的导数为 4 A 3sin 3x B 3cos 3x 4 4 C 3sin2 3x D 3cos2 3x 4 4 4 曲线在 x 2 处的导数是 12 则 n n xy A 1 B 2 C 3 D 4 5 函数 y cos2x sin的导数为 x A 2sin2x B 2sin2x x x 2 cos x x 2 cos C 2sin2x D 2sin2x x x 2 sin x x 2 cos 6 过点 P 1 2 与曲线 y 2x2相切的切线方程是 A 4x y 2 0 B 4x y 2 0 C 4x y 0 D 4x y 2 0 二 填空题 本题共 5 小题 每题 6 分 共 30 分 8 曲线 y sin3x 在点 P 0 处切线的斜率为 3 9 函数 y xsin 2x cos 2x 的导数是 2 2 10 函数 y 的导数为 3 2cos x 11 2 ln 00 xxfxxxf则 第 7 页 共 8 页 例例 2 计算下列定积分 1 2 3 2 0 1 x xdx 2 2 1 1 x edx x 2 0 sin xdx 5 5 的值等于 4 2 x e dx B C D 42 Aee 42 ee 42 2ee 42 2ee 9 计算由曲线和所围成的图形的面积 3 6yxx