概率论习题及答案

概率论习题概率论习题 一 填空题一 填空题 1 掷次硬币 则出现正面次数多于反面次数的概率是 21n 2 把 10 本书任意的放到书架上 求其中指定的三本书放在一起的概率 3 一批产品分一 二 三级 其中一级品是二级品的两倍 三级品是二级品的 一半 从这批产品中随机的抽取一件 试求取到二级品的概率 4 已知 则 0 7 0 3 P AP AB P AB 5 已知 则 0 3 0 4 0 5 P AP BP AB P B AB 6 掷两枚硬币 至少出现一个正面的概率为 7 设 若独立 则 0 4 0 7 P AP AB A B P B 8 设为两事件 则 A B 11 36 P AP BP A B P A B 9 设相互独立 且 则最多出现一个的 123 A A A 2 1 2 3 3 i P Ai 123 A A A 概率是 10 某人射击三次 其命中率为 0 8 则三次中至多命中一次的概率为 11 一枚硬币独立的投 3 次 记事件 第一次掷出正面 事件 第二A B 次掷出反面 事件 正面最多掷出一次 那么 C P C AB 12 已知男人中有 5 是色盲患者 女人中有 0 25 是色盲患者 今从男女人数相 等的人群中随机地挑选一人 恰好是色盲患者 求此人是男性的概率 13 将 3 个球随机的放入 4 个杯子中 求杯子中球的最大个数分别为 1 2 3 的概率 杯中最多有两个球时 概率为 14 把表示为互不相容事件的和是 CBA 15 中不多于两个发生可表示为 A B C 二 选择题二 选择题 1 下面四个结论成立的是 AABCABC BABCABC CABBA DABBA 若且则 2 设则下列说法正确的是 0 P AB 0 0 AABBAB CP AP BDP ABP A 和不相容 是不可能事件 或 3 掷次硬币 正面次数多于反面次数的概率为 21n 1 2121 1 0 5 21 nn AB nn n CD n 4 设为随机事件 则必有 A B 0 1 P BP A B AP ABP ABBA CP AP BDP ABP A 5 设A B相互独立 且P A 0 P B 0 则下列等式成立的是 P AB 0 P A B P A P A BB P A P B 1 P A B 0 C D 6 设事件A与B互不相容 且P A 0 P B 0 则有 P l P A 1 P B AAB B P AB P A P B P A B 1 C D 7 已知 则 0 5P A 0 4P B 0 6P AB P A B 0 2 0 45 0 6 0 75 A B C D 8 同时抛掷 3 枚均匀的硬币 则恰好有两枚正面朝上的概率为 0 125 0 25 A B 0 375 0 50 C D 9 设事件互不相容 已知 则 A B 0 4P A 0 5P B P AB 0 1 0 4 0 91 A B C D 10 已知事件 A B 相互独立 且 则下列等式成立的是 0P A 0P B A P ABP AP B B 1 P ABP A P B C P ABP A P B D 1P AB 11 设 则 1 0 AP1 0 BP1 BAPBAP 事件与互不相容 事件与相互独立 AAB BAB 事件与相互对立 事件与互不独立 CAB DAB 12 对于任意两事件和 AB BAP A BPAP B ABPBPAP C ABPAP D BAPAPAP 13 设 A B 是两事件 且 P A 0 6 P B 0 7 则 P AB 取到最大值时是 0 6 0 7 1 0 42 A B C D 14 某人忘记了电话号码的最后一个数字 因而他随意地拨号 求他拨号不超 过三次而接通所需电话的概率 0 5 0 3 0 8 A B C 1 3 D 15 设每次试验成功的概率为 重复进行试验直到第次才取得成 10 ppn 功的概率为 A 1 1 npp B 1 1 nnpp C 1 1 1 nnpp D 1 1 np 三 三 计算题计算题 1 一宿舍内住有 6 位同学 求他们之中至少有 2 个人的生日在同一个月份概率 2 设猎人在猎物 100 米处对猎物打第一枪 命中猎物的概率为 0 5 若第一枪 未命中 则猎人继续打第二枪 此时猎人与猎物已相距 150 米 若第二枪仍未 命中 则猎人继续打第三枪 此时猎人与猎物已相距 200 米 若第三枪还未命 中 则猎物逃逸 假如该猎人命中猎物的概率与距离成反比 试求该猎物被击 中的概率 3 一个人的血型为型的概率分别为 0 37 0 21 0 08 0 34 现在 A B AB O 任意挑选 4 个人 试求 1 此 4 个人的血型全不相同的概率 2 此 4 个人的血型全部相同的概率 4 一赌徒认为掷一颗骰子 4 次至少出现一次 6 点与掷两棵骰子 24 至少出现一次 双 6 点的机会是相等的 你认为如何 5 考虑一元二次方程 其中分别是将一颗骰子接连掷两0 2 CBxxCB 次先后出现的点数 求该方程有实根的概率和有重根的概率 pq 6 甲 乙 丙 3 位同学同时独立参加 数理统计 考试 不及格的概率分别为 0 4 0 3 0 5 1 求恰有两位同学不及格的概率 2 如果已经知道这 3 位同学中有 2 位不及格 求其中一位是同学乙的概率 7 设件产品中有件不合格品 从中任取两件 已知两件中有一件是不合格nm 品 求另一件也是不合格品的概率 8 设事件独立 两个事件仅发生的概率或仅发生的概率都是 求 A BAB 1 4 及 P A P B 9 将 12 个球随意放入 3 个盒子中 试求第一个盒子中有三个球的概率 10 每次射击命中率为 0 2 试求 射击多少次才能使至少击中一次的概率不 小于 0 9 11 在一个盒中装有 15 个乒乓球 其中有 9 个新球 在第一次比赛中任意取出 3 个球 比赛后放回原盒中 第二次比赛同样任意取出 3 个球 求第二次取出 的 3 个球均为新球的概率 12 某工厂生产的产品中 96 是合格品 检查产品时 一个合格品被误认为是 次品的概率为 0 02 一个次品被误认为是合格品的概率为 0 05 求在被检查后 认为是合格品产品确是合格品的概率 13 甲 乙 丙三人独立地向同一飞机射击 设击中的概率分别是 0 4 0 5 0 7 若只有一人击中 则飞机被击落的概率为 0 2 若有两人击中 则飞机被击落的概率为 0 6 若三人都击中 则飞机一定被击落 求飞机被击 落的概率 14 甲乙丙三人向靶子各射击一次 结果有 2 发子弹击中靶子 已知甲乙丙击中 靶子的概率分别为 4 5 3 4 2 3 求丙脱靶的概率 15 如图 1 2 3 4 5 表示继电器接点 假设每一继电器接点闭合的概率为 p 且 设各继电器接点闭合与否相互独立 求 L 至 R 是通路的概率 概率论习题答案概率论习题答案 一 填空题一 填空题 1 0 5 2 3 4 则 1 15 2 7 0 6 P AB 5 则6 0 8 P B AB 3 4 7 则 8 则 0 5 P B 7 12 P A B 9 10 0 104 11 12 0 95 7 27 0 5 13 16 9 43 1 3 1 4 2 3 CCC 14 答案不唯一 ABCCACBCBABA 15 CBAABC 二 选择题二 选择题 1 B 2 D 3 C 4 A 5 B 6 A 7 D 8 C 9 B 10 B 11 B 12 C 13 A 14 C 15 A 三 三 计算题计算题 1 1 解 设设事件为 至少有 2 个人的生日在同一个月份 事件为 6AA 个人生日全不同月 6 12 6 1 10 7772 12 P P AP A 2 2 解 记为猎人与猎物的距离 因为该猎人命中猎物的概率与距离成反比 X 所以有 又因为在 100 米处命中猎物的概率为 0 5 x P Xx k 所以 从而 0 5 100 100 k P X 50 k 记事件分别为 猎人在 100 米 150 米 200 米处击中猎物 事件 A B C 表示 猎人击中猎物 则D 1111213 2232344 P DP AP ABP ABC 3 3 解 1 四个人血型全不相同的概率为 111 432 0 370 210 08 0 340 0507 CCC 2 四个人血型全部相同的概率为 4444 0 370 210 080 340 0341 4 4 解 设事件为 一颗骰子掷 4 次 至少出现一次 6 点 则为 一颗AA 骰子掷 4 次 不出现一次 6 点 于是 4 5 1 10 5177 6 P AP A 设事件为 两颗骰子掷 24 次 至少出现一次双 6 点 则为 两颗骰BB 子掷 24 次 不出现双 6 点 于是 24 35 1 10 4914 36 P BP B 从结果可以看出 赌徒的感觉是不对的 因为两者的概率相差 0 0263 而 概率相差 0 0263 的两个事件 在实际中仅凭感觉很难发现它们的细小差别 只 有从理论上才能认识到 5 5 解 按题意知 它含有 36 个等可能的样本 6 5 4 3 2 1 CBCB 点 所求的概率为 4 04 22 CBPCBPp 而 2 2 1 3 1 4 1 5 1 6 1 3 2 4 2 5 2 6 2 4 3 4 5 3 6 3 4 4 5 4 6 4 5 5 6 5 5 6 6 6 BC 含有 19 个样本点 所以 19 36 p 同理 而含有两个样本点 所以 2 4 qP BC 2 4 2 1 4 1 BC 21 3618 q 6 6 解 设分别表示 甲不及格 乙不及格 丙不及格 三事件 321 AAA 由题意知相互独立 令表示 恰有 2 位不及格 则 321 AAAA 321321321 AAAAAAAAAA 1 29 0 5 03 06 05 07 04 05 03 04 0 321321321 AAAPAAAPAAAPAP 2 29 15 321321 321321 AP AAAPAAAP AAAAAAAP 7 7 解 记事件为 有一件事不合格品 为 另一件也是不合格品 则AB 112 22 2 2 2 1 1 1 1 mn mm nn m n C CCm nmm m P A CCn n Cm m P AB Cn n 于是所求概率为 1 1 1 2 1 21 1 m m P ABmn n P B A m nmm m P Anm n n 8 8 解 由题设知又因为独立 所有由 1 4 P ABP AB A B 1 4 1 4 P AP A P B P BP A P B 解得 0 5P AP B 9 9 解 将 12 个球随意放入 3 个盒子中 所有的结果共有个 而事件 第一 12 3 个盒子中有 3 个球 可分两步来考虑 第一步 12 个球任取 3 个放在第一个盒 子中 这有种可能 第二步 将余下的 9 个球随意放入第二个和第三个盒 12 3 子中 这有种可能 于是所求概率为 9 2 9 12 12 2 3 0 212 3 1010 解 设共射击 n 次 记事件为 第i次射击命中目标 则 i A1 2 in 由题设条件知 0 2 i P A 12 1 0 8 0 9 n n P AAA 由此得 两边取对数解得所以可满足题0 80 1 n ln0 1 ln0 810 318 n 11n 设条件 1111 解 设Ai 第一次取出的 3 个球中有i个新球 i 0 1 2 3 B 第二次取 出的 3 球均为新球 由全概率公式 有 3 0 ii i P BP B A P A 3312321333 6996896796 33333333 1515151515151515 CCC CCC CCCC CCCCCCCC 0 089 1212 解 设 A 产品确为合格品 B 产品被认为是合格品 由贝叶斯公式得 P A P B AP AB P A B P BP A P B AP A P B A 0 96 0 98 0 998 0 96 0 980 04 0 05 13 解 设 飞机被击落 恰有 人击中飞机 A i Bi0 1 2 3i 由全概率公式 得 3 0 ii i P AP A B P B 0 4 0 5 0 3 0 6 0 5 0 3 0 6 0 5 0 7 0 2 0 4 0 5 0 3 0 4 0 5 0 7 0 6 0 5 0 7 0 6 0 4 0 5 0 7 0 458 1414 解 设甲 乙 丙击中靶子的事件分别为A B C 事件 2 发子弹击中靶子 为D 则所求为 DCP CPCDPCPCDP CPCDP DP DCP DCP 4 3 5 4 CDP 5 3 ABPBAPABBAPCABBAPCDP 20 7 4 1 5 4 4 3 5 1 13 6 3 2 20 7 3 1 5 3 3 1 5 3 DCP 1515 解法一 设事件 L 至 R 是通路 为 A 为事件 接点闭合 i Bi1 2 3 4 5i