勾股定理练习题及答案(共6套)

勾股定理课时练 勾股定理课时练 1 1 在直角三角形 ABC 中 斜边 AB 1 则 AB的值是 222 ACBC A 2 B 4 C 6 D 8 2 如图 18 2 4 所示 有一个形状为直角梯形的零件 ABCD AD BC 斜腰 DC 的长为 10 cm D 120 则该零件另一腰 AB 的长是 cm 结果不取近似值 3 直角三角形两直角边长分别为 5 和 12 则它斜边上的高为 4 一根旗杆于离地面 12处断裂 犹如装有铰链那样倒向地面 旗杆顶落于离旗杆地步m 16 旗杆在断裂之前高多少 mm 5 如图 如下图 今年的冰雪灾害中 一棵大树在离地面 3 米处折断 树的顶端落在离树杆底 部 4 米处 那么这棵树折断之前的高度是 米 6 飞机在空中水平飞行 某一时刻刚好飞到一个男孩子头顶正上方 4000 米处 过了 20 秒 飞机 距离这个男孩头顶 5000 米 求飞机每小时飞行多少千米 7 如图所示 无盖玻璃容器 高 18 底面周长为 60 在外侧距下底 1的点 C 处cmcmcm 有一蜘蛛 与蜘蛛相对的容器的上口外侧距开口 1的 F 处有一苍蝇 试求急于扑货苍蝇充cm 饥的蜘蛛 所走的最短路线的长度 8 一个零件的形状如图所示 已知 AC 3 AB 4 BD 12 求 CD 的长 cmcmcm 9 如图 在四边形 ABCD 中 A 60 B D 90 BC 2 CD 3 求 AB 的长 10 如图 一个牧童在小河的南 4km 的 A 处牧马 而他正位于他的小屋 B 的西 8km 北 7km 处 他想把他的马牵到小河边去饮水 然后回家 他要完成这件事情所走的最短路程是多少 11 如图 某会展中心在会展期间准备将高 5m 长 13m 宽 2m 的楼道上铺地毯 已知地毯平方 米 18 元 请你帮助计算一下 铺完这个楼道至少需要多少元钱 12 甲 乙两位探险者到沙漠进行探险 没有了水 需要寻找水源 为了不致于走散 他们用 两部对话机联系 已知对话机的有效距离为 15 千米 早晨 8 00 甲先出发 他以 6 千米 时的 速度向东行走 1 小时后乙出发 他以 5 千米 时的速度向北行进 上午 10 00 甲 乙二人 相距多远 还能保持联系吗 路 4m 3m 第 2 题图第 5 题图 第 7 题图 第 9 题图 第 8 题 图 5m13m 第 11 题 图 第一课时答案 1 A 提示 根据勾股定理得 所以 AB 1 1 2 1 22 ACBC 222 ACBC 2 4 提示 由勾股定理可得斜边的长为 5 而 3 4 5 2 所以他们少走了 4 步 mm 3 提示 设斜边的高为 根据勾股定理求斜边为 再 13 60 x13169512 22 利用面积法得 13 60 13 2 1 125 2 1 xx 4 解 依题意 AB 16 AC 12 mm 在直角三角形 ABC 中 由勾股定理 222222 201216 ACABBC 所以 BC 20 20 12 32 mm 故旗杆在断裂之前有 32高 m 5 8 6 解 如图 由题意得 AC 4000 米 C 90 AB 5000 米 由勾股定理得 BC 米 300040005000 22 所以飞机飞行的速度为 千米 小时 540 3600 20 3 7 解 将曲线沿 AB 展开 如图所示 过点 C 作 CE AB 于 E 在 R EF 18 1 1 16 90 CEFCEFtcm CE 30 60 2 1 cm 由勾股定理 得 CF 341630 2222 cmEFCE 8 解 在直角三角形 ABC 中 根据勾股定理 得 2543 22222 ABACBC 在直角三角形 CBD 中 根据勾股定理 得 CD2 BC2 BD2 25 122 169 所以 CD 13 9 解 延长 BC AD 交于点 E 如图所示 B 90 A 60 E 30 又 CD 3 CE 6 BE 8 设 AB 则 AE 2 由勾股定理 得xx3 3 8 8 2 222 xxx 10 如图 作出 A 点关于 MN 的对称点 A 连接 A B 交 MN 于点 P 则 A B 就是最短路线 在 Rt A DB 中 由勾股定理求得 A B 17km 11 解 根据勾股定理求得水平长为 m12513 22 地毯的总长 为 12 5 17 m 地毯的面积为 17 2 34 2 m 铺完这个楼道至少需要花为 34 18 612 元 12 解 如图 甲从上午 8 00 到上午 10 00 一共走了 2 小时 走了 12 千米 即 OA 12 乙从上午 9 00 到上午 10 00 一共走了 1 小时 走了 5 千米 即 OB 5 在 Rt OAB 中 AB2 122十 52 169 AB 13 因此 上午 10 00 时 甲 乙两人相距 13 千米 15 13 甲 乙两人还能保持联系 A B D PN A M 第 10 题图 OA B 勾股定理的逆定理 2 一 选择题 1 下列各组数据中 不能作为直角三角形三边长的是 A 9 12 15 B C 0 2 0 3 0 4 D 40 41 9 4 3 1 4 5 2 满足下列条件的三角形中 不是直角三角形的是 A 三个内角比为 1 2 1 B 三边之比为 1 2 5 C 三边之比为 2 D 三个内角比为 1 2 335 3 已知三角形两边长为 2 和 6 要使这个三角形为直角三角形 则第三边的长为 A B C D 以上都不对210210224或 4 五根小木棒 其长度分别为 7 15 20 24 25 现将他们摆成两个直角三角形 其中正确 的是 7 15 24 25 20 7 15 20 24 25 15 7 2520 24 25 720 24 15 A B C D A B C D 二 填空题 5 ABC 的三边分别是 7 24 25 则三角形的最大内角的度数是 6 三边为 9 12 15 的三角形 其面积为 7 已知三角形 ABC 的三边长为满足 则此三角形为 三角cba 18 10 abba 8 c 形 8 在三角形 ABC 中 AB 12 AC 5 BC 13 则 BC 边上的高为 AD cmcmcmcm 三 解答题 9 如图 已知四边形 ABCD 中 B 90 AB 3 BC 4 CD 12 AD 13 求四边形 ABCD 的面积 10 如图 E F 分别是正方形 ABCD 中 BC 和 CD 边上的点 且 AB 4 CE 4 1 BC F 为 CD 的 中点 连接 AF AE 问 AEF 是什么三角形 请说明理由 11 如图 AB 为一棵大树 在树上距地面 10m 的 D 处有两只猴子 它们同时发现地面上的 C 处有一筐水果 一只猴子从 D 处上爬到树顶 A 处 利用拉在 A 处的滑绳 AC 滑到 C 处 另一 只猴子从 D 处滑到地面 B 再由 B 跑到 C 已知两猴子所经路程都是 15m 求树高 AB 12 如图 为修通铁路凿通隧道 AC 量出 A 40 B 50 AB 5 公里 BC 4 公里 若每 天凿隧道 0 3 公里 问几天才能把隧道 AB 凿通 第 9 题图 F E A CB D 第 10 题 图 B A C D 第 11 题 图 18 2 勾股定理的逆定理答案 勾股定理的逆定理答案 一 1 C 2 C 3 C 提示 当已经给出的两边分别为直角边时 第三边为斜边 当 6 为斜边时 第三边为直角边 4 C 10262 22 2426 22 二 5 90 提示 根据勾股定理逆定理得三角形是直角三角形 所以最大的内角为 90 6 54 提示 先根基勾股定理逆定理得三角形是直角三角形 面积为7 直 54129 2 1 角 提示 2222222 864182100 1002 100 cbaabbaba 得 8 提示 先根据勾股定理逆定理判断三角形是直角三角形 再利用面积法求得 13 60 AD 13 2 1 512 2 1 三 9 解 连接 AC 在 Rt ABC 中 AC2 AB2 BC2 32 42 25 AC 5 在 ACD 中 AC2 CD2 25 122 169 而 AB2 132 169 AC2 CD2 AB2 ACD 90 故 S四边形 ABCD S ABC S ACD AB BC AC CD 3 4 5 12 6 30 36 2 1 2 1 2 1 2 1 10 解 由勾股定理得 AE2 25 EF2 5 AF2 20 AE2 EF2 AF2 AEF 是直角三角形 11 设 AD x 米 则 AB 为 10 x 米 AC 为 15 x 米 BC 为 5 米 x 10 2 52 15 x 2 解得 x 2 10 x 12 米 12 解 第七组 1131112 112 17 72 15172 cba 第组 n1 1 2 1 2 12 nncnnbna 勾股定理的逆定理勾股定理的逆定理 3 3 一 基础一 基础 巩固巩固 1 满足下列条件的三角形中 不是直角三角形的是 A 三内角之比为 1 2 3 B 三边长的平方之比为 1 2 3 C 三边长之比为 3 4 5 D 三内角之比为 3 4 5 2 如图 18 2 4 所示 有一个形状为直角梯形的零件 ABCD AD BC 斜腰 DC 的长为 10 cm D 120 则该零件另一腰 AB 的长是 cm 结果不取近似值 图 18 图 18 2 5 图 18 2 6 3 如图 18 2 5 以 Rt ABC 的三边为边向外作正方形 其面积分别为 S1 S2 S3 且 S1 4 S2 8 则 AB 的长为 4 如图 18 2 6 已知正方形 ABCD 的边长为 4 E 为 AB 中点 F 为 AD 上的一点 且 AF AD 试判断 EFC 的形状 4 1 5 一个零件的形状如图 18 2 7 按规定这个零件中 A 与 BDC 都应为直角 工人师傅量得 零件各边尺寸 AD 4 AB 3 BD 5 DC 12 BC 13 这个零件符合要求吗 图 18 2 7 6 已知 ABC 的三边分别为 k2 1 2k k2 1 k 1 求证 ABC 是直角三角形 二 综合二 综合 应用应用 7 已知 a b c 是 Rt ABC 的三边长 A1B1C1的三边长分别是 2a 2b 2c 那么 A1B1C1是 直角三角形吗 为什么 8 已知 如图 18 2 8 在 ABC 中 CD 是 AB 边上的高 且 CD2 AD BD 求证 ABC 是直角三角形 图 18 2 8 9 如图 18 2 9 所示 在平面直角坐标系中 点 A B 的坐标分别为 A 3 1 B 2 4 OAB 是直角三角形吗 借助于网格 证明你的结论 图 18 2 9 10 已知 在 ABC 中 A B C 的对边分别是 a b c 满足 a2 b2 c2 338 10a 24b 26c 试判断 ABC 的形状 12 已知 如图 18 2 10 四边形 ABCD AD BC AB 4 BC 6 CD 5 AD 3 求 四边 形 ABCD 的面积 图 18 2 10 参考答案参考答案 一 基础一 基础 巩固巩固 1 满足下列条件的三角形中 不是直角三角形的是 A 三内角之比为 1 2 3 B 三边长的平方之比为 1 2 3 C 三边长之比为 3 4 5 D 三内角之比为 3 4 5 思路分析 思路分析 判断一个三角形是否是直角三角形有以下方法 有一个角是直角或两锐角互 余 两边的平方和等于第三边的平方 一边的中线等于这条边的一半 由 A 得有一个角是直角 B C 满足勾股定理的逆定理 所以 应选 D 答案 答案 D 2 如图 18 2 4 所示 有一个形状为直角梯形的零件 ABCD AD BC 斜腰 DC 的长为 10 cm D 120 则该零件另一腰 AB 的长是 cm 结果不取近似值 图 18 2 4 解 过 D 点作 DE AB 交 BC 于 E 则 DEC 是直角三角形 四边形 ABED 是矩形 AB DE D 120 CDE 30 又 在直角三角形中 30 所对的直角边等于斜边的一半 CE 5 cm 根据勾股定理的逆定理得 DE cm 35510 22 AB cm 35510 22 3 如图 18 2 5 以 Rt ABC 的三边为边向外作正方形 其面积分别为 S1 S2 S3 且 S1 4 S2 8 则 AB 的长为 图 18 2 5 图 18 2 6 思路分析 思路分析 因为 ABC 是 Rt 所以 BC2 AC2 AB2 即 S1 S2 S3 所以 S3 12 因为 S3 AB2 所以 AB 3212 3 S 答案 答案 32 4 如图 18 2 6 已知正方形 ABCD 的边长为 4 E 为 AB 中点 F 为 AD 上的一点 且 AF AD 试判断 EFC 的形状 4 1 思路分析 思路分析 分别计算 EF CE CF 的长度 再利用勾股定理的逆定理判断即可 解 E 为 AB 中点 BE 2 CE2 BE2 BC2 22 42 20 同理可求得 EF2 AE2 AF2 22 12 5 CF2 DF2 CD2 32 42 25 CE2 EF2 CF2 EFC 是以 CEF 为直角的直角三角形 5 一个零件的形状如图 18 2 7 按规定这个零件中 A 与 BDC 都应为直角 工人师傅量得 零件各边尺寸 AD 4 AB 3 BD 5 DC 12 BC 13 这个零件符合要求吗 图 18 2 7 思路分析 思路分析 要检验这个零件是否符合要求 只要判断 ADB 和 DBC 是否为直角三角形 即可 这样勾股定理的逆定理就可派上用场了 解 在 ABD 中 AB2 AD2 32 42 9 16 25 BD2 所以 ABD 为直角三角形 A 90 在 BDC 中 BD2 DC2 52 122 25 144 169 132 BC2 所以 BDC 是直角三角形 CDB 90 因此这个零件符合要求 6 已知 ABC 的三边分别为 k2 1 2k k2 1 k 1 求证 ABC 是直角三角形 思路分析 思路分析 根据题意 只要判断三边之间的关系符合勾股定理的逆定理即可 证明 k2 1 k2 1 k2 1 2k k 1 2 0 即 k2 1 2k k2 1 是最长边 k2 1 2 2k 2 k4 2k2 1 4k2 k4 2k2 1 k2 1 2 ABC 是直角三角形 二 综合二 综合 应用应用 7 已知 a b c 是 Rt ABC 的三边长 A1B1C1的三边长分别是 2a 2b 2c 那么 A1B1C1是 直角三角形吗 为什么 思路分析 思路分析 如果将直角三角形的三条边长同时扩大一个相同的倍数 得到的三角形还是直 角三角形 例 2 已证 解 略 8 已知 如图 18 2 8 在 ABC 中 CD 是 AB 边上的高 且 CD2 AD BD 求证 ABC 是直角三角形 图 18 2 8 思路分析 思路分析 根据题意 只要判断三边符合勾股定理的逆定理即可 证明 AC2 AD2 CD2 BC2 CD2 BD2 AC2 BC2 AD2 2CD2 BD2 AD2 2AD BD BD2 AD BD 2 AB2 ABC 是直角三角形 9 如图 18 2 9 所示 在平面直角坐标系中 点 A B 的坐标分别为 A 3 1 B 2 4 OAB 是直角三角形吗 借助于网格 证明你的结论 图 18 2 9 思路分析 思路分析 借助于网格 利用勾股定理分别计算 OA AB OB 的长度 再利用勾股定理 的逆定理判断 OAB 是否是直角三角形即可 解 OA2 OA12 A1A2 32 12 10 OB2 OB12 B1B2 22 42 20 AB2 AC2 BC2 12 32 10 OA2 AB2 OB2 OAB 是以 OB 为斜边的等腰直角三角形 10 阅读下列解题过程 已知 a b c 为 ABC 的三边 且满足 a2c2 b2c2 a4 b4 试判断 ABC 的形状 解 a2c2 b2c2 a4 b4 A c2 a2 b2 a2 b2 a2 b2 B c2 a2 b2 C ABC 是直角 三角形 问 上述解题过程是从哪一步开始出现错误的 请写出该步的代号 错误的原因是 本题的正确结论是 思路分析 思路分析 做这种类型的题目 首先要认真审题 特别是题目中隐含的条件 本题错在忽 视了 a 有可能等于 b 这一条件 从而得出的结论不全面 答案 答案 B 没有考虑 a b 这种可能 当 a b 时 ABC 是等腰三角形 ABC 是等 腰三角形或直角三角形 11 已知 在 ABC 中 A B C 的对边分别是 a b c 满足 a2 b2 c2 338 10a 24b 26c 试判断 ABC 的形状 思路分析 思路分析 1 移项 配成三个完全平方 2 三个非负数的和为 0 则都为 0 3 已知 a b c 利用勾股定理的逆定理判断三角形的形状为直角三角形 解 由已知可得 a2 10a 25 b2 24b 144 c2 26c 169 0 配方并化简得 a 5 2 b 12 2 c 13 2 0 a 5 2 0 b 12 2 0 c 13 2 0 a 5 0 b 12 0 c 13 0 解得 a 5 b 12 c 13 又 a2 b2 169 c2 ABC 是直角三角形 12 已知 如图 18 2 10 四边形 ABCD AD BC AB 4 BC 6 CD 5 AD 3 求 四边形 ABCD 的面积 图 18 2 10 思路分析 思路分析 1 作 DE AB 连结 BD 则可以证明 ABD EDB ASA 2 DE AB 4 BE AD 3 EC EB 3 3 在 DEC 中 3 4 5 为勾股数 DEC 为直角 三角形 DE BC 4 利用梯形面积公式 或利用三角形的面积可解 解 作 DE AB 连结 BD 则可以证明 ABD EDB ASA DE AB 4 BE AD 3 BC 6 EC EB 3 DE2 CE2 32 42 25 CD2 DEC 为直角三角形 又 EC EB 3 DBC 为等腰三角形 DB DC 5 在 BDA 中 AD2 AB2 32 42 25 BD2 BDA 是直角三角形 它们的面积分别为 S BDA 3 4 6 S DBC 6 4 12 2 1 2 1 S四边形 ABCD S BDA S DBC 6 12 18 C B A D 勾股定理的应用 勾股定理的应用 4 4 1 三个半圆的面积分别为 S1 4 5 S2 8 S3 12 5 把三个半圆拼成如图所示的图形 则 ABC 一定是直角三角形吗 说明理由 2 求知中学有一块四边形的空地 ABCD 如下图所示 学校计划在空地上种植草皮 经测量 A 90 AB 3m BC 12m CD 13m DA 4m 若每平方米草皮需要 200 天 问学校需要投入多 少资金买草皮 3 12 分 如图所示 折叠矩形的一边 AD 使点 D 落在 BC 边上的点 F 处 已知 AB 8cm BC 10cm 求 EC 的长 4 如图 一个牧童在小河的南 4km 的 A 处牧马 而他正位于他的小屋 B 的西 8km 北 7km 处 他想把他的马牵到小河边去饮水 然后回家 他要完成这件事情所走的最短路程是多少 5 8 分 观察下列各式 你有什么发现 32 4 5 52 12 13 72 24 25 92 40 41 这到底是巧合 还是有什么规律蕴涵其中 呢 1 填空 132 2 请写出你发现的规律 3 结合勾股定理有关知识 说明你的结论的正确性 6 如图 在 Rt ABC 中 ACB 90 CD AB BC 6 AC 8 求 AB CD 的长 D C B A 7 在数轴上画出表示的点 不写作法 但要保留画图痕迹 17 8 已知如图 四边形 ABCD 中 B 90 AB 4 BC 3 CD 12 AD 13 求这个四边形的面积 9 如图 每个小方格的边长都为 1 求图中格点四边形 ABCD 的面积 D C B A A B 小 河 东 北 牧 童 小 屋 A B C D 勾股定理复习题 勾股定理复习题 5 5 一 一 填空 选择题题 3 有一个边长为 5 米的正方形洞口 想用一个圆盖去盖住这个洞口 圆的直径至少为 米 4 一旗杆离地面 6 米处折断 旗杆顶部落在离旗杆底部 8 米处 则旗杆折断之前的高度是 米 6 在 ABC 中 C 90 AB 10 1 若 A 30 则 BC AC 2 若 A 45 则 BC AC 8 在 ABC 中 C 90 AC 0 9cm BC 1 2cm 则斜边上的高 CD m 11 三角形的三边 a b c 满足 则此三角形是 三角形 22 2abcab 12 小明向东走 80 米后 沿另一方向又走了 60 米 再沿第三个方向走 100 米回到原地 小明 向东走 80 米后又向 方向走的 13 中 AB 13cm BC 10cm BC 边上的中线 AD 12cm 则 AC 的长为 cmABC 14 两人从同一地点同时出发 一人以 3 米 秒的速度向北直行 一人以 4 米 秒的速度向东直 行 5 秒钟后他们相距 米 15 写出下列命题的逆命题 这些命题的逆命题成立吗 两直线平行 内错角相等 如果两个实数相等 那么它们的平方相等 若 则 a b 22 ab 全等三角形的对应角相等 角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上 16 下列各组线段组成的三角形不是直角三角形的是 A a 15 b 8 c 17 B a b c 1 23 C a 2 b c D a 13 b 14 c 15 6 5 8 5 17 若一个三角形的三边长为 6 8 x 则使此三角形是直角三角形的 x 的值是 A 8 B 10 C D 10 或2828 18 下列各命题的逆命题不成立的是 A 两直线平行 同旁内角互补 B 若两个数的绝对值相等 则这两个数相等 C 对顶角相等 D 如果 a b 或 a b 0 那么 22 ab 二 解答题 19 有一个水池 水面是一个边长为 10 尺的正方形 在水池正中央有一根芦苇 它高出水面 1 尺 如果把这根芦苇拉向水池一边的中点 它的顶端恰好到达池边的水面 水的深度与这根 芦苇的长度分别是多少 20 一根竹子高 1 丈 折断后竹子顶端落在离竹子底端 3 尺处 折断处离地面的高度是多少 其中丈 尺是长度单位 1 丈 10 尺 21 某港口位于东西方向的海岸线上 远航 号 海天 号轮船同时离开港口 各自沿一固 定方向航行 远航 号每小时航行 16 海