课题：圆（一）

1 直线和圆 圆与圆的位置关系直线和圆 圆与圆的位置关系 一 知识点梳理一 知识点梳理 1 点与圆的位置关系 设圆的半径为 r 点 P 到圆心 O 的距离为 d 点 P 在圆 O 的内部 d r 点 P 在圆 O 上 d r 点 P 在圆 O 的外部 d r 2 设圆的半径为 r 圆心 O 到直线 l 的距离为 d 当 d r 时 直线 l 和圆相离 当 d r 时 直线 l 和圆相切 当 d r 时 直线 l 和圆相交 3 设圆 O1 圆 O2 的半径分别是 r1 r2 r1 r2 两圆的圆心之间距离为 d 1 当 d r1 r2 时两圆外离 它们的公切线共有 4 条 2 当 d r1 r2 时两圆外切 它们的公切线共有 3 条 3 当 r1 r2 d r1 r2 时 两圆相交 它们的公切线共有 2 条 4 当 d r1 r2 时两圆内切 它们的公切线共有 1 条 5 当 0 d r1 r2 时 两圆内含 它们没有公切线 4 切线的判定和性质 判定 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 性质 圆的切线垂直于经过切点的半径 5 切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线 那么切线长相等 并且这点与圆心的连线平分 两条切线的夹角 6 1 三角形的内心是三角形三条角平分线的交点 它到三边的距离相等 2 设 ABC 三边长分别是 a b c 内切圆的半径为 r 那么 2 S ABC a b c r 2 1 3 如图圆 O 是 ABC 德内切圆 D E F 是切点 则 AF AE b c a 2 1 BF BD a c b 2 1 CE CD a b c 2 1 7 相交的两圆的连心线垂直平分公共弦 相切两圆的连心线经过切点 二 知识点检测二 知识点检测 例 1 已知 如图 PA 切 O 于 A 弦 AC OP 于 D 求证 PC 于 O 相切 证明 连接 OA OC 弦 AC OP 于 D AD CD 那 DP 为 AC 的中垂线 AP CP 1 2 OA OC 3 4 1 3 2 4 PA 切 O 于 A OAP 1 3 90 OCP 2 4 90 即 OC PC 于 C PC 于 O 相切 点评 切线的判定有 3 种方法 1 定义 直线于圆只有一个交点 2 数量关系 d r 不知点是否在圆上 3 几何图形 切线的判定定理 点在圆上 O F E D C B A PO D C A 3 例 2 如图 AB 是 O 的弦 AB 12 PA 切 O 于 A PO AB 于 C PO 13 求 PA 的长 分析 由已知 AB 12 PO AB 于 C 得 AC AB 6 可利用勾股定理求 PA 则必先 2 1 求 PC 解析 AB 12 PO AB 于 C AC AB 6 2 1 PA 切 O 于 A OA AP 于 A 又 P CAO Rt PAC Rt AOC AC2 OC PC AC PC OC AC PO 13 62 13 PC PC PC 4 或 PC 9 当 PC 4 时 AP 23 当 PC 9 时 AP 313 答 当 PC 4 时 AP 2 当 PC 9 时 AP 3313 点评 本题主要是考虑方程思想 利用切线的性质找出两个三角形相似的条 件 再建立方程 注意学会设未知数 利用线段的和差 减少未知数的个数 使问 题简化 例 3 已知正方形 ABCD 的边长为 5 以 BC 为直径在正方形内作半圆 过 A 作半圆的切线 切半圆于 F 交 DC 于 E 交 BC 延长线于 P 求 CP 长 C B O P A 4 分析 利用正方形的性质 易证 AB 和 CD 为半圆的切线 结合 AP 为切线 可应用切线长定理 得到相等线段 再由正方形性质 得 AD BC 转化为利用比 例求得 CP 长 解析 正方形 ABCD 的边长为 5 AB BC CD BC AD BC AD CD AB 和 CD 为以 BC 为半径的半圆切线 AP 切半圆 F AF AB 5 CE EF 设 CE X 则 EF X DE 5 X AE AF EF 5 X 在 Rt ADE 中 AD2 DE2 AE2 52 5 X 2 5 X 2得 X DE 5 X 4 5 4 15 AD BC CP CE DE CP AD 三 作业三 作业 1 已知两圆半径是方程 X2 4 X 3 0 的两个根 当两圆的圆心距为 2 5 时 求两圆的位置关系 2 求同圆内接正三角形于正六边形的边长之比 3 已知 如图是 Rt ABC 的内切圆 C 90 AC 3 BC 4 求 O 的 半径 r P F E D C B A O C B A 5 4 如图是 ABC 的内切圆 分别于 AB BC AC 切于 D E F A 60 BC 6 ABC