高一数学必修一函数知识点总结

第 1 页 共 7 页 二 函数的有关概念二 函数的有关概念 1 函数的概念 设 A B 是非空的数集 如果按照某个确定的对应关系 f 使对于集合 A 中的任 意一个数 x 在集合 B 中都有唯一确定的数 f x 和它对应 那么就称 f A B 为从集合 A 到集 合 B 的一个函数 记作 y f x x A 其中 x 叫做自变量 x 的取值范围 A 叫做函数的定 义域 与 x 的值相对应的 y 值叫做函数值 函数值的集合 f x x A 叫做函数的值域 注意 1 定义域 能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域 求函数的定义域时列不等式组的主要依据是 1 分式的分母不等于零 2 偶次方根的被开方数不小于零 3 对数式的真数必须大于零 4 指数 对数式的底必须大于零且不等于 1 5 如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的 那么 它的定义域是使各部分都有意 义的x的值组成的集合 6 指数为零底不可以等于零 7 实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义 相同函数的判断方法 表达式相同 与表示自变量和函数值的字母无关 定义 域一致 两点必须同时具备 见课本 21 页相关例 2 2 值域 先考虑其定义域 1 观察法 2 配方法 3 代换法 3 函数图象知识归纳 1 定义 在平面直角坐标系中 以函数 y f x x A 中的x为横坐标 函数值y为纵坐标 的点 P x y 的集合 C 叫做函数 y f x x A 的图象 C 上每一点的坐标 x y 均满足函数 关系y f x 反过来 以满足y f x 的每一组有序实数对x y为坐标的点 x y 均在 C 上 2 画法 A 描点法 B 图象变换法 常用变换方法有三种 1 平移变换 2 伸缩变换 3 对称变换 4 区间的概念 1 区间的分类 开区间 闭区间 半开半闭区间 2 无穷区间 3 区间的数轴表示 5 映射 一般地 设 A B 是两个非空的集合 如果按某一个确定的对应法则 f 使对于集合 A 中的任意 一个元素 x 在集合 B 中都有唯一确定的元素 y 与之对应 那么就称对应 f AB 为从集合 A 到集合 B 的一个映射 记作 f 对应关系 A 原象 B 象 对于映射f A B来说 则应满足 第 2 页 共 7 页 1 集合A中的每一个元素 在集合B中都有象 并且象是唯一的 2 集合A中不同的元素 在集合B中对应的象可以是同一个 3 不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象 6 分段函数 1 在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数 2 各部分的自变量的取值情况 3 分段函数的定义域是各段定义域的交集 值域是各段值域的并集 补充 复合函数 如果 y f u u M u g x x A 则 y f g x F x x A 称为 f g 的复合函数 二 函数的性质 1 函数的单调性 局部性质 1 增函数 设函数 y f x 的定义域为 I 如果对于定义域 I 内的某个区间 D 内的任意两个自变量 x1 x2 当 x1 x2时 都有 f x1 f x2 那么就说 f x 在区间 D 上是增函数 区间 D 称为 y f x 的单调 增区间 如果对于区间 D 上的任意两个自变量的值 x1 x2 当 x1 x2 时 都有 f x1 f x2 那么就说 f x 在这个区间上是减函数 区间 D 称为 y f x 的单调减区间 注意 函数的单调性是函数的局部性质 2 图象的特点 如果函数y f x 在某个区间是增函数或减函数 那么说函数y f x 在这一区间上具有 严格的 单调性 在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的 减函数的图象从左到右是下降的 3 函数单调区间与单调性的判定方法 A 定义法 任取 x1 x2 D 且 x11 且 axn xannnN 负数没有偶次方根 0 的任何次方根都是 0 记作 00 n 当是奇数时 当是偶数时 naa nn n 0 0 a a a a aa nn 2 分数指数幂 正数的分数指数幂的意义 规定 1 0 nNnmaaa nm n m 1 0 11 nNnma a a a nm n m n m 0 的正分数指数幂等于 0 0 的负分数指数幂没有意义 3 实数指数幂的运算性质 1 r a srr aa 0 Rsra 2 rssr aa 0 Rsra 3 srr aaab 0 Rsra 二 指数函数及其性质 1 指数函数的概念 一般地 函数叫做指数函数 其中 x 是自变量 函 1 0 aaay x 且 数的定义域为 R 注意 指数函数的底数的取值范围 底数不能是负数 零和 1 2 指数函数的图象和性质 a 10 a10 a0 a0 函数 y ax与 y loga x 的图象只能是 第 7 页 共 7 页 2 计算 64log 2log 27 3 3log4 2 2 2log227log 55 3 1 25 2 1 3 4 3 1 01 0 16 2 8 7 064 0 75 0 30 3 函数 y log 2x2 3x 1 的递减区间为 2 1 4 若函数在区间上的最大值是最小值的 3 倍 则 a 10 log axxf a 2 aa 5 已知 1 求的定义域 2 求使的的取值范围 1 log 01 1 a x f xaa x 且 f x 0f x x 第三章 函数的应用 一 方程的根与函数的零点 1 函数零点的概念 对于函数 把使成立的实数叫做函数 Dxxfy 0 xfx 的零点 Dxxfy 2 函数零点的意义 函数的零点就是方程实数根 亦即函数的图 xfy 0 xf xfy 象与轴交点的横坐标 x 即 方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点 0 xf xfy x xfy 3 函数零点的求法 代数法 求方程的实数根 1 0 xf 几何法 对于不能用求根公式的方程 可以将它与函数的图象联系起来 并利 2 xfy 用函数的性质找出零点 4 二次函数的零点 二次函数 0 2 acbxaxy 1 方程有两