《圆周运动的案例分析》 教案

学案学案3 3 圆周运动的案例分析圆周运动的案例分析 学习目标定位 1 知道向心力由一个力或几个力的合力提供 会分析具体问题中的 向心力来源 2 能用匀速圆周运动规律分析 处理生产和生活中的实例 3 知道向心力 向 心加速度公式也适用于变速圆周运动 会求变速圆周运动中物体在特殊点的向心力和向心 加速度 知识储备区知识储备区 一 过山车问题 1 向心力 过山车到轨道顶部A时 如图1所示 人与车作为一个整体 所受到的向心 力是重力mg跟轨道对车的弹力N的合力 即F向 N mg 如图所示 过山车在最低点B 向心 力F向 N1 mg 图1 2 临界速度 当N 0时 过山车通过圆形轨道顶部时的速度最小 v临界 gR 1 v v临界时 重力恰好等于过山车做圆周运动的向心力 车不会脱离轨道 2 vv临界时 弹力和重力的合力提供向心力 车子不会掉下来 二 转弯问题 1 自行车在水平路面转弯 地面对车的作用力与重力的合力提供转弯所需的向心力 2 汽车在水平路面转弯 所受静摩擦力提供转弯所需的向心力 3 火车转弯时外轨高于内轨 如图2所示 向心力由支持力和重力的合力提供 图2 学习探究区学习探究区 一 分析游乐场中的圆周运动 问题设计 游乐场中的过山车能从高高的圆形轨道顶部轰然而过 车与人却掉不下来 这主要是 因为过山车的车轮镶嵌在轨道的槽内 人被安全带固定的原因吗 答案 不是 要点提炼 竖直平面内的 绳杆模型 的临界问题 1 轻绳模型 如图3所示 图3 1 绳 内轨道 施力特点 只能施加向下的拉力 或压力 2 在最高点的动力学方程T mg m v2 R 3 在最高点的临界条件T 0 此时mg m 则v v2 RgR v 时 拉力或压力为零 gR v 时 小球受向下的拉力或压力 gR vv0时 F向 F 即所需向心力大于支持力和重力的合力 这时外轨对车轮有侧压 力 以弥补向心力不足的部分 当v v0时 F向 F 即所需向心力小于支持力和重力的合力 这时内轨对车轮有侧压 力 以抵消向心力过大的部分 说明 火车转弯时受力情况和运动特点与圆锥摆类似 典例精析典例精析 一 竖直面内的 绳杆模型 的临界问题 例1 如图5所示 在内壁光滑的平底试管内放一个质量为1 g的小球 试管的开口端与 水平轴O连接 试管底与O相距5 cm 试管在转轴带动下在竖直平面内做匀速圆周运动 求 图5 1 转轴的角速度达到多大时 试管底所受压力的最大值等于最小值的3倍 2 转轴的角速度满足什么条件时 会出现小球与试管底脱离接触的情况 g取10 m s 2 解析 1 当试管匀速转动时 小球在最高点对试管的压力最小 在最低点对试管的压 力最大 在最高点 F1 mg m 2R 在最低点 F2 mg m 2R F2 3F1 联立以上方程解得 20 rad s 2g R 2 小球随试管转到最高点时 当mg m 2R时 小球会与试管底脱离 即 g R 答案 见解析 例2 如图6所示 质量为m的小球固定在长为l的细轻杆的一端 绕轻杆的另一端O在竖 直平面内做圆周运动 球转到最高点时 线速度的大小为 此时 gl 2 图6 A 杆受到mg的拉力 1 2 B 杆受到mg的压力 1 2 C 杆受到mg的拉力 3 2 D 杆受到mg的压力 3 2 解析 以小球为研究对象 小球受重力和沿杆方向杆的弹力 设小球所受弹力方向竖 直向下 则N mg 将v 代入上式得N mg 即小球在A点受杆的弹力方向向 mv2 l gl 2 1 2 上 大小为mg 由牛顿第三定律知杆受到mg的压力 1 2 1 2 答案 B 二 交通工具的转弯问题 例3 铁路在弯道处的内 外轨道高度是不同的 已知内 外轨道平面与水平面的夹角 为 如图7所示 弯道处的圆弧半径为R 若质量为m的火车转弯时速度等于 gRtan 则 图7 A 内轨对内侧车轮轮缘有挤压 B 外轨对外侧车轮轮缘有挤压 C 这时铁轨对火车的支持力等于 mg cos D 这时铁轨对火车的支持力大于 mg cos 解析 由牛顿第二定律F合 m 解得F合 mgtan 此时火车受重力和铁路轨道的 v2 R 支持力作用 如图所示 Ncos mg 则N 内 外轨道对火车均无侧向压力 mg cos 故C正确 A B D错误 答案 C 课堂要点小结课堂要点小结 学案学案4 4 习题课 圆周运动习题课 圆周运动 学习目标定位 1 熟练掌握圆周运动各物理量的关系以及向心力 向心加速度的公式 2 会分析圆周运动所需向心力来源 3 会分析圆锥摆在水平面内的圆周运动 4 会分析汽车过 拱 凹 形桥问题 知识储备区知识储备区 1 描述圆周运动的各物理量之间的关系 1 线速度v 角速度 以及周期T之间的关系 v R 2 R T 2 角速度 与转速n的关系 2 n 注 n的单位为r s 2 匀速圆周运动的特点 1 线速度的大小不变 方向时刻改变 2 向心力大小不变 方向始终指向圆心 3 向心加速度大小不变 方向始终指向圆心 3 向心力 1 来源 向心力是根据力的效果命名的 它可以是弹力 可以是摩擦力 也可以是几 个力的合力或某个力的分力 2 大小 F m m 2R m 2R v2 R 2 T 4 向心加速度的大小 a 2R 2R v2 R 2 T 学习探究区学习探究区 一 描述圆周运动的各物理量间的关系 描述圆周运动的物理量有线速度 角速度 周期 转速等 它们之间的关系为 2 n v R R 2 Rn 这些关系不仅在物体做匀速圆周运动时适用 在变速 2 T 2 T 圆周运动中也适用 此时关系式中各量是瞬时对应的 例1 如图1所示 光滑的水平面上固定着一个半径逐渐减小的螺旋形光滑水平轨道 一个小球以一定速度沿轨道切线方向进入轨道 下列物理量中数值将减小的是 图1 A 周期B 线速度 C 角速度D 向心加速度 解析 轨道对小球的支持力与速度方向垂直 轨道的支持力只改变速度的方向不改变 速度的大小 即小球的线速度大小不变 故B错误 根据v r 线速度大小不变 转动半 径减小 故角速度变大 故C错误 根据T 角速度增大 故周期减小 故A正确 根 2 据a 转动半径减小 故向心加速度增加 故D错误 v2 r 答案 A 二 向心力的来源分析 向心力可以是弹力 摩擦力 也可以是物体受到的合外力或某个力的分力 但只有在 匀速圆周运动中 向心力才等于物体所受的合外力 在变速圆周运动中 向心力不等于物 体所受的合外力 例2 如图2所示 在粗糙水平板上放一个物块 使水平板和物块一起在竖直平面内沿 逆时针方向做匀速圆周运动 ab为水平直径 cd为竖直直径 在运动中木板始终保持水平 物块相对于木板始终静止 则 图2 A 物块始终受到三个力作用 B 物块受到的合外力始终指向圆心 C 在c d两个位置 支持力N有最大值 摩擦力f为零 D 在a b两个位置摩擦力提供向心力 支持力N mg 解析 物块在竖直平面内做匀速圆周运动 受到的重力与支持力在竖直方向上 c d 两点的向心力可以由重力和支持力的合力提供 其他时候要受到摩擦力的作用 故A错误 物块在竖直平面内做匀速圆周运动 匀速圆周运动的向心力指向圆心 故B正确 设物块做匀速圆周运动的线速度为v 物块在c d两位置摩擦力f为零 在c点有Nc mg 在d点有Nd mg 故在d位置N有最大值 C错误 mv2 R mv2 R 在b位置受力如图 因物块做匀速圆周运动 故只有向心加速度 所以有N mg f mv2 R 同理a位置也如此 故D正确 答案 BD 三 汽车过桥问题 1 汽车过拱形桥 如图3 图3 汽车在最高点满足关系 mg N m 即N mg m v2 R v2 R 1 当v 时 N 0 gR 2 当0 v 时 0时 汽车将脱离桥面做平抛运动 发生危险 gR 2 汽车过凹形桥 如图4 图4 汽车在最低点满足关系 N mg 即N mg mv2 R mv2 R 由此可知 汽车对桥面的压力大于其自身重力 故凹形桥易被压垮 因而实际中拱形 桥多于凹形桥 例3 如图5所示 质量m 2 0 104 kg的汽车以不变的速率先后驶过凹形桥面和凸形 桥面 两桥面的圆弧半径均为20 m 如果桥面承受的压力不得超过3 0 105 N g取10 m s 2 则 图5 1 汽车允许的最大速度是多少 2 若以所求速度行驶 汽车对桥面的最小压力是多少 解析 1 汽车在凹形桥最低点时存在最大允许速度 由牛顿第二定律得 N mg m v2 R 代入数据解得v 10 m s 2 汽车在凸形桥最高点时对桥面有最小压力 由牛顿第二定律得 mg FN1 mv2 R 代入数据解得FN1 1 105 N 由牛顿第三定律知汽车对桥面的最小压力等于105 N 答案 1 10 m s 2 1 105 N 四 水平面内的圆周运动的常见模型 圆锥摆 1 运动特点 如图6所示在水平面内做匀速圆周运动 图6 2 向心力分析 绳的拉力和重力的合力 或者说绳的拉力在水平方向的分力 提供向心 力F mgtan 3 类似的装置 如图7 图7 例4 如图8所示 固定的锥形漏斗内壁是光滑的 内壁上有两个质量相等的小球A和B 在不同的水平面内做匀速圆周运动 以下物理量大小关系正确的是 图8 A 速度vA vB B 角速度 A B C 向心力FA FB D 向心加速度aA aB 解析 如图所示 设漏斗的顶角为2 则小球的合力为F合 由F向 F合 mg tan m 2R m ma 知向心力FA FB 向心加速度aA aB 选项C D错误 因RA RB mg tan v2 R 又由于v 和 知vA vB A B 故A正确 B错误 gR tan g Rtan 答案 A 自我检测区自我检测区 1 圆周运动各物理量的关系 如图9所示 靠摩擦传动匀速转动的大 小两轮接触面 互不打滑 大轮的半径是小轮的2倍 A B分别为大小两轮边缘上的点 则轮上A B两点 图9 A 线速度的大小相等 B 角速度相等 C 向心加速度相等 D 周期相等 答案 A 解析 两轮子靠摩擦传动 线速度大小相等 故A正确 线速度大小相等 大轮的半径 是小轮的2倍 根据v r 可知小轮的角速度是大轮的2倍 故B错误 线速度大小相等 大轮的半径是小轮的2倍 根据a 可知 小轮的向心加速度是大轮的2倍 故C错误 线 v2 r 速度大小相等 大轮的半径是小轮的2倍 根据v 可知 大轮的周期是小轮的2倍 故 2 r T D错误 2 向心力来源分析 如图10所示 在双人花样滑冰运动中 有时会看到被男运动员拉 着的女运动员离开地面在空中做圆锥摆运动的精彩场面 目测体重为G的女运动员做圆锥摆 运动时和水平冰面的夹角约为30 重力加速度为g 估算该女运动员 图10 A 受到的拉力约为G 3 B 受到的拉力约为2G C 向心加速度约为3g D 向心加速度约为2g 答案 B 解析 女运动员做圆锥摆运动 女运动员受到重力 男运动员对女运动员的拉力F 竖 直方向合力为零 由Fsin 30 G 解得F 2G 故A错误 B正确 水平方向的合力提供匀速圆周运动的向心力 有Fcos 30 ma即2mgcos 30 ma 所以a g 故C D错误 3 3 汽车过拱形桥 如图11所示 当汽车通过拱桥顶点的速度为10 m s时 车对桥顶的 压力为车重力的 如果要使汽车在桥面上行驶至桥顶时不受摩擦力作用 则汽车通过桥顶 3 4 的速度大小应为 图11 A 15 m s B 20 m s C 25 m s D 30 m s 答案 B 解析 当汽车通过拱桥顶点时 汽车受重力和桥的支持力mg mg 求得R 40 m 3 4 mv2 R 汽车在粗糙桥面行驶时不受摩擦力就是汽车不受桥对它的支持力 即汽车的重力提供向心 力 由mg 得v 20 m s mv 2 R 4 圆锥摆模型 长为L的细线 拴一质量为m的小球 一端