高等数学下(修订版)高纯一(复旦出版社) 习题十二答案详解

高等数学下 修订版 高纯一 复旦出版社 高等数学下 修订版 高纯一 复旦出版社 习题十二答案详解习题十二答案详解 1 写出下列级数的一般项 1 111 1 357 2 2 22 42 4 62 4 6 8 xxx xx 3 3579 3579 aaaa 解 1 1 21 n U n 2 2 2 n n x U n 3 21 1 1 21 n n n a U n 2 求下列级数的和 1 1 1 11nxnxnxn 2 1 221 n nnn 3 23 111 555 解 1 1 11 111 211 n u xnxnxn xnxnxnxn 从而 11111 21121223 11 11 111 211 n S xx xxxxxx xnxnxnxn xx xnxn 因此 故级数的和为 1 lim 2 1 n n S xx 1 2 1 xx 2 因为 211 n U nnnn 从而 32433221 5443211 21 12 1 12 21 n S nnnn nn nn 所以 即级数的和为 lim12 n n S 12 3 因为 2 111 555 1 1 1 5 5 1 1 5 1 1 1 4 5 n n n n S 从而 即级数的和为 1 lim 4 n n S 1 4 3 判定下列级数的敛散性 1 1 1 n nn 2 1111 1 66 1111 16 5451nn 3 23 1 33 2222 1 3333 n n n 4 3 1111 5555 n 解 1 32121 1 1 n S nn n 从而 故级数发散 lim n n S 2 11111111 1 5661111165451 11 1 551 n S nn n 从而 故原级数收敛 其和为 1 lim 5 n n S 1 5 3 此级数为的等比级数 且 q 0 取 则当 n N 时 对任何自然数 P 恒有 1 1N 成立 由柯西审敛原理知 级数收敛 12nnnp UUU 1 1 1 n n n 2 对于任意自然数 P 都有 12 12 12 1 coscoscos 12 222 111 222 11 1 22 1 1 2 11 1 22 1 2 nnnp nnnp nnnp np np n UUU xnpxx nn 于是 0 0 N 时 对任意的自然数 P 都有 2 1 log 成立 由柯西审敛原理知 该级数收敛 12nnnp UUU 3 取 P n 则 12 111111 3113123133 213 223 23 11 3113 21 61 1 12 nnnp UUU nnnnnn nn n n 从而取 则对任意的 n N 都存在 P n 所得 由柯 0 1 12 120nnnp UUU 西审敛原理知 原级数发散 5 用比较审敛法判别下列级数的敛散性 1 111 4 65 735nn 2 222 121 31 1 121 31 n n 3 4 1 sin 3n n 3 1 1 2nn 5 6 1 1 0 1 n n a a 1 1 21 n n 解 1 2 11 35 n U n nn 而收敛 由比较审敛法知收敛 2 1 1 n n 1 n n U 2 22 111 1 n nn U nnnn 而发散 由比较审敛法知 原级数发散 1 1 n n 3 sinsin 33 limlim 1 33 nn nn nn 而收敛 故也收敛 1 3n n 1 sin 3n n 4 3 33 2 111 2 n U nn n 而收敛 故收敛 3 1 2 1 n n 3 1 1 2nn 5 当 a 1 时 而收敛 故也收敛 11 1 n nn U aa 1 1 n n a 1 1 1 n n a 当 a 1 时 级数发散 11 limlim0 22 n nn U 当 0 a1 时 原级数收敛 当 0 a 1 时 原级数发散 6 由知而发散 由比较审敛法知发 0 21 limln2 x x x 1 21 limln21 1 n x n 1 1 n n 1 1 21 n n 散 6 用比值判别法判别下列级数的敛散性 1 2 2 13 n n n 1 31 n n n 3 23 23 3333 1 22 23 22 n n n 1 1 2 n n n n n 解 1 2 3 n n n U 2 1 12 31 1 limlim1 33 n n n nn n U n Un 由比值审敛法知 级数收敛 2 1 1 1 31 1 limlim 31 31 lim 1 31 n n n nn n n n n U n Un n 所以原级数发散 3 1 1 1 32 limlim 23 1 3 lim 2 1 3 1 2 nn n nn nn n n Un U n n n 所以原级数发散 4 1 1 1 2 1 limlim 2 1 lim2 1 12 2lim1 e 1 1 nn n nn nn n n n n n Un n Un n n n n 故原级数收敛 7 用根值判别法判别下列级数的敛散性 1 2 1 5 31 n n n n 1 1 ln 1 n nn 3 21 1 31 n n n n 4 其中 an a n an b a 均为正数 1 n nn b a 解 1 55 limlim1 313 n n nn n U n 故原级数发散 2 1 limlim01 ln 1 n n nn U n 故原级数收敛 3 1 2 1 limlim1 931 n n n nn n U n 故原级数收敛 4 limlim n n nn n n bbb aaa 当 b a 时 a 时 1 原级数发散 当 b a 时 1 无法 b a b a b a 判定其敛散性 8 判定下列级数是否收敛 若收敛 是绝对收敛还是条件收敛 1 2 111 1 234 1 1 1 1 ln 1 n nn 3 234 1 11 11 11 1 5 35 35 35 3 4 5 2 1 1 2 1 n n n n 1 1 1 1 n n R n 6 1 1111 1 23 n n nn 解 1 级数是交错级数 且满足 1 1 1 n n U n 1 n n U 11 1nn 1 lim0 n n 由莱布尼茨判别法级数收敛 又是 P1 时 由级数收敛得原级数绝对收敛 1 1 n n 当 0 1 时 交错级数满足条件 由莱布 1 1 1 1 n n n 11 1 n n 1 lim0 n n 尼茨判别法知级数收敛 但这时发散 所以原级数条件收敛 1 11 11 1 n nn nn 当 0 时 所以原级数发散 lim0 n n U 6 由于 11111 1 23nnn 而发散 由此较审敛法知级数 1 1 n n 发散 1 1111 1 23 n n nn 记 则 1111 1 23 n U nn 12 2 2 111111 1 2311 11111 1 2311 111 111 23111 0 nn UU nnnn nn nn nn nnnn 即 1nn UU 又 0 1111 limlim1 23 11 d n nn n U nn x nx 由 0 1 11 limdlim0 1 t tt t x tx 知 由莱布尼茨判别法 原级数收敛 而且是lim0 n n U 1 1111 1 23 n n nn 条件收敛 9 判别下列函数项级数在所示区间上的一致收敛性 1 x 3 3 2 x 0 1 1 1 n n x n 2 1 n n x n 3 x 4 x 0 N 0 使得当 n N 时 x 有 1 n n V x Vn 1 x Vn 2 x Vn p x 0 N 0 使得当 n N 时 x 有 Un 1 x Un 2 x Un p x Vn 1 x Vn 2 x Vn p x Vn 1 x Vn 2 x Vn p x 因此 级数在区间 上处处收敛 由 x 的任意性和与 x 的无关性 可知 1 n n U x 在 上一致收敛 1 n n U x 11 求下列幂级数的收敛半径及收敛域 1 x 2x2 3x3 nxn 2 1 n n x n n 3 4 21 12 1 n n x n 2 1 1 2 n n x nn 解 1 因为 所以收敛半径收敛区间为 1 1 而 1 1 limlim1 n nn n an an 1 1R 当 x 1 时 级数变为 由知级数发散 所以级数的 1 1 n n n lim 1 0 n xn n 1 1 n n n 收敛域为 1 1 2 因为 1 11 1 11 limlimlimlime 1 1 1 n nn n n nnnn n an nn an nnn 所以收敛半径 收敛区间为 e e 1 eR 当 x e 时 级数变为 应用洛必达法则求得 故有 1 en n n n n 1 0 ee 1 lim 2 x x x x 由拉阿伯判别法知 级数发散 易知 x e 时 级数也发散 故 1 1 1lim1 2 n n n a n a 收敛域为 e e 3 级数缺少偶次幂项 根据比值审敛法求收敛半径 21 1 21 2 2 21 limlim 21 21 lim 21 n n n nn n n U xn U nx n x n x 所以当 x2 1 即 x 1 即 x 1 时 级数发散 故收敛半径 R 1 当 x 1 时 级数变为 当 x 1 时 级数变为 由 1 1 21 n n 1 1 21 n n 知 发散 从而也发散 故原级数的收敛域为 1 1 21 lim0 1 2 n n n 1 1 21 n n 1 1 21 n n 1 1 4 令 t x 1 则级数变为 因为 2 1 2 n n t nn 2 1 2 2 limlim1 2 11 n nn n ann a nn 所以收敛半径为 R 1 收敛区间为 1 x 1 1 即 0 x 2 当 t 1 时 级数收敛 当 t 1 时 级数为交错级数 由莱布尼茨判 3 1 1 2 n n 3 1 1 1 2 n n n 别法知其收敛 所以 原级数收敛域为 0 x 2 即 0 2 12 利用幂级数的性质 求下列级数的和函数 1 2 2 1 n n nx 22 02 1 n n x n 解 1 由知 当 x 1 时 原级数收敛 而当 x 1 时 的 3 2 1 lim n n n x n x nx 2 1 n n nx 通项不趋于 0 从而发散 故级数的收敛域为 1 1 记 易知的收敛域为 1 1 记 231 11 nn nn Snxxnx x 1 1 n n nx 1 1 1 n n Snx x 则 1 0 1 1 x n n x Sx x x 于是 所以 12 1 11 x S x xx 3 2 1 1 x S xx x 2 由知 原级数当 x 1 时收敛 而当 x 1 时 原级数发散 故原 24 2 22 21 lim 23 n n n xn x nx 级数的收敛域为 1 1 记 易知级数收敛域为 2221 00 2121 nn nn xx Sx x nn 21 02 1 n n x n 1 1 记 则 21 1 02 1 n n x S x n 2 1 2 0 1 1 n n Sx x x 故 即 所以 1 0 11 dln 21 x x Sx x x 11 11 ln 0 21 x SS x x 1 0 0 S 1 1 ln1 21 xx SxS xxx x 13 将下列函数展开成 x 的幂级数 并求展开式成立的区间 1 f x ln 2 x 2 f x cos2x 3 f x 1 x ln 1 x 4 2 2 1 x f x x 5 6 2 3 x f x x 1 ee 2 xx f x 7 f x excosx 8 2 1 2 f x x 解 1 lnln2ln2ln11 2 22 xx f xx 由于 1 x 1 0 ln1 1 1 n n n x x n 故 2 x 2 1 1 0 ln 11 22 1 n n n n xx n 因此 2 x 2 1 1 0 lnln2 21 2 1 n n n n x x n 2 2 1 cos2 cos 2 x fx x 由 x 2 0 cos 1 2 n n n x x n 得 22 00 4 2 cos2 11 22 nnn nn nn x x x nn 所以 x 2 2 0 11 coscos2 22 114 1 22 2 nn n n f xxx x n 3 f x 1 x ln 1 x 由 1 x 1 1 0 ln1 1 1 n n n x x n 所以 1 x 1 1 0 12 00 11 1 11 1 1 1 1 1 1 11 1 11 11 11 1 111 1 1 1 n n n nn nn nn nn nn nn nn n n n n n x f xx n xx nn xx x nn n n xx nn xx nn 4 2 2 22 1 11 x fx x xx 由于 1 x 1 2 2 1 1 21 1 1 21 nn n n x nx 故 22 1 21 1 1 2 nn n n xfx x n 1 x 1 22 1 1 21 1 2 n n n n xx n 5 2 2 0 21 1 0 1 3 1 3 1 3 3 13 3 n n n n n n n x f x x x x x x 6 由 x 0 e n x n x n 得 x 0 1 e nn x n x n 所以 00 0 21 0 1 ee 2 1 1 2 1 1 1 2 21 xx nnn nn n n n n n f x xx nn x n x x n 7 因为为的实部 e cos x x 1 e cossin xx i e xix 而 1 0 0 0 2 0 1 1 1 2 cossin 44 2cossin 44 n x i n n n n n n n nn n ex i n x i n x i n xnn i n 取上式的实部 得 x 2 0 2 cos 4 cos n xn n n exx n 8 由于 x 1 1 2 0 1 1 n n nx x 而 所以 2 11 4 1 2 f x x x 2 1 1 1 00 1 422 n n n nn n xx fn x 14 将展开成 x 4 的幂级数 2 1 32 f x xx 解 2 111 3212xxxx 而 0 1 0 11 13 4 11 4 3 1 3 144 1 333 4 71 3 n n n n n x x x xx x x 又 0 1 0 11 22 4 11 4 2 1 2 144 1 222 4 62 2 n n n n n x x x xx x x 所以 2 11 00 11 0 1 32 44 32 11 462 23 nn nn nn n nn n f x xx xx xx 15 将函数展开成 x 1 的幂级数 3 fx x 解 因为 2111 1 111 1 2 mn mmm mmmn xxx xx n 所以 3 3 2 2 1 1 333333 3 1121 222222 2 1 111 1 2 n fx x x n xxx n 1 x 10 使 n2Un M 2 lim n n n U 即 n2 Un M Un 2 M n 而收敛 故绝对收敛 2 1n M n 1 n n U 20 证明 若收敛 则绝对收敛 2 1 n n U 1 n n U n 证 2 2 2 2 1 1111 222 n n nn U U n UU nnn 而由收敛 收敛 知 2 1 n n U 2 1 1 n n 收敛 故收敛 2 2 1 111 22 n n U n 1 n n U n 因而绝对收敛 1 n n U n 21 若级数与都绝对收敛 则函数项级数在 R 上一 1 n n a 1 n n b 1 cossin nn n anxbnx 致收敛 证 Un x ancosnx bnsinnx x R 有 cossincossin nnnnnnn Uanxbnxanxbnxab x 由于与都绝对收敛 故级数收敛 1 n n a 1 n n b 1 nn n ab 由魏尔斯特拉斯判别法知 函数项级数在 R 上一致收敛 1 cossin nn n anxbnx 22 计算下列级数的收敛半径及收敛域 1 2 1 31 1 n n n n x n 1 sin 1 2 n n n x 3 2 1 1 2 n n n x n 解 1 1 1 1 lim 1 331 lim 31 2 331131 1 limlimlim 22 31 3 ee3 n n n nn n n n nnn a a n n n n nn n nn n 13 3 R 又当时 级数变为 3 3 x 11 31333 1 1333 nnn n nn nn nn 因为 3 3 3 33 lim0 33 n n n e n 所以当 级数发散 故原级数的收敛半径 收敛域 3 3 x 3 3 R 3 3 3 3 2 11 1 sin 1 22 limlimlim 2 sin 22 nn n nnn n nn a a 故 1 2R 又 sin 2 limsin2lim 0 2 2 n n n nn n 所以当 x 1 2 时 级数发散 1 sin 1 2 n n n x 从而原级数的收敛域为 2 x 1 2 即 3 x 1 即 3 1 3 2 1 21 21 limlim 22 1 n n n nn n an a n 收敛区间 2 x 1 2 即 1 x2 时 有 2n n nn x 由知级数收敛 由魏尔斯特拉斯判别法知 级数在 2 1 1 1 2 lim1 2 2 n n n n n 12 n n n 1 n n n x 上一致收敛 3 x R 有 222 24322 1 11 n nn xnnnxn nn 而收敛 由魏尔斯特拉斯判别法知 级数在 上 3 1 1 n n 2 2 22 11n n xxn n 一致收敛 25 求下列级数的和函数 1 2 2 1 1 1 21 n n n x n 21 02 1 n n x n 3 4 1 1 1 n n n x n 11 n n x nn 解 1 可求得原级数的收敛半径 R 1 且当 x 1 时 级数是收敛的交错 1 1 1 1 21 n n n 级数 故收敛域为 1 1 记 221 11 1 11 11 2121 nn nn nn xx SxxS xx nn 则 S1 0 0 122 1 2 1 1 1 1 nn n Sx x x 所以 11 2 0 1 darctan 0 1 x SSxx x x 即 S1 x arctanx 所以 S x xarctanx x 1 1 2 可求得原级数的收敛半径 R 1 且当 x 1 时 原级数发散 记则 21 02 1 n n x S x n 2 2 0 1 1 n n Sx x x 即 S 0 0 2 00 111 ddln 121 xx x Sxx x xx 11 ln 0 21 x SS x x 所以 x 1 11 ln 21 x S x x 3 由知收敛域为 记则 1 1 limlim0 1 n n nn n a n n a n 1 1 1 n n n Sx x n 所以 1 0 11 de 11 nn x x nn xx Sxxx x nn x e 1e x x S xxx 4 由知收敛半径 R 1 当 x 1 时 级数变为 由 1 12 lim1 1 1 n nn nn 1 1 1n nn 知级数收敛 当 x 1 时 级数变为是收敛的交错级数 故收 2 11 1 nn n 1 1 1 n n nn 敛域为 1 1 记则 S 0 0 11 n n x S x nn 1 11 n n x xS x nn x 1 1 1 1 1 n n xxS x x 所以 0 dln 1 x xS xxx 即 ln 1xS xx 00 dln 1d1ln 1 xx xS xxxxxxx 即 1ln 1xS xxxx 当 x 0 时 又当 x 1 时 可求得 S 1 1 1 11 ln 1S xx x 1 limlim 11 1 nn S x n 综上所述 0 0 1 1 1 11 ln 1 1 00 1 x S xx xx x 26 设 f x 是周期为 2 的周期函数 它在 上的表达式为 3 2 0 0 x f x xx 试问 f x 的傅里叶级数在 x 处收敛于何值 解 所给函数满足狄利克雷定理的条件 x 是它的间断点 在 x 处 f x 的傅里叶级 数收敛于 33 11 22 222 ff 27 写出函数的傅里叶级数的和函数 2 1 0 0 x f x xx 解 f x 满足狄利克雷定理的条件 根据狄利克雷定理 在连续点处级数收敛于 f x 在间 断点 x 0 x 处 分别收敛于 001 22 ff 2 1 22 ff 综上所述和函数 2 1 22 ff 2 2 1 0 0 1 0 2 1 2 x xx S x x x 28 写出下列以 2 为周期的周期函数的傅里叶级数 其中 f x 在 上的表达式为 1 0 4 0 4 x f x x 2 2 x f xx 3 22 22 22 x f xxx x 4 cos 2 x f xx 解 1 函数 f x 满足狄利克雷定理的条件 x n n z 是其间断点 在间断占处 f x 的傅 里叶级数收敛于 在 x n 有 00 44 0 22 ff 0 0 11 1 cosdcosdcosd0 4 4 n af xnx xnx xnx x 0 0 11 1 sindsindsind 4 4 0 2 4 6 1 1 3 5 n bf xnx xnx xnx x n n n 于是 f x 的傅里叶级数展开式为 x n 1 1 sin 21 21 n f xnx n 2 函数 f x 在 上连续 故其傅里叶级数在 上收敛于 f x 注意到 f x 为偶 函数 从而 f x cosnx 为偶函数 f x sinnx 为奇函数 于是 1 sind0 n bf xnx x 2 2 0 12 d 3 axx n 1 2 2 2 0 124 cosdcosd1 n n af xnx xxnx x n 所以 f x 的傅里叶级数展开式为 x 2 2 1 4 1cos 3 n n f xnx n 3 函数在 x 2n 1 n z 处间断 在间断点处 级数收敛于 0 当 x 2n 1 时 由 f x 为 奇函数 有 an 0 n 0 1 2 2 00 2 2 22 sindsindsind 2 12 1sin1 2 2 n n bf xnx xxnx xnx x n n nn 所以 x 2n 1 n z 1 2 1 12 1sinsin 2 n n n f xnx nn 4 因为作为以 2 为周期的函数时 处处连续 故其傅里叶级数收敛于 f x cos 2 x f x 注意到 f x 为偶函数 有 bn 0 n 1 2 0 0 0 1 2 12 coscosdcoscosd 2 2 111 coscosd 22 11 sinsin 122 11 22 41 10 1 2 41 n n xx anx xnx x nxnxx nxnx nn n n 所以 f x 的傅里叶级数展开式为 x 1 2 1 24cos 1 41 n n nx f x n 29 将下列函数 f x 展开为傅里叶级数 1 42 x f xx 2 sin02 f xxx 解 1 0 11 cosdd 422 x af xnx xx 1 11 cosdcosdxcosd 4242 1 sin001 2 4 n x anx xnx xnx x nxn n 1 11 sindsindxsind 4242 1 1 n n x bnx xnx xnx x n 故 x 1 sin 1 4 n n nx f x n 2 所给函数拓广为周期函数时处处连续 因此其傅里叶级数在 0 2 上收敛于 f x 注意 到 f x 为偶函数 有 bn 0 0 0 11 cos0 dsind 24 sin d af xx xx x x x 0 0 2 2 22 cosdsin cosd 1 sin1sin1d 2 11 1 0 1 3 5 4 2 4 6 1 n n af xnx xxnx x nxnxx n n n n 所以 0 x 2 2 1 24cos2 41 n nx f x n 30 设 f x x 1 0 x 试分别将 f x 展开为正弦级数和余弦级数 解 将 f x 作奇延拓 则有 an 0 n 0 1 2 00 22 sind1 sind 111 2 n n bf xnx xxnx x n 从而 0 x 1 111 2 sin n n f xnx n 若将 f x 作偶延拓 则有 bn 0 n 1 2 00 2 22 cosd1 cosd 0 2 4 6 4 1 3 5 n af xnx xxnx x n n n 0 0 12 d1 d 2 af xxxx 从而 0 x 2 1 cos 21 24 2 21n nx f x n 31 将 f x 2 x 1 x 1 展开成以 2 为周期的傅里叶级数 并由此求级数的和 2 1 1 n n 解 f x 在 内连续 其傅里叶级数处处收敛 由 f x 是偶函数 故 bn 0 n 1 2 11 0 10 d22d5af xxxx 11 10 2 cosd22cosd 0 2 4 6 4 1 3 5 n af xnx xxnx x n n n 所以 x 1 1 22 1 cos 21 54 2 21n nx f x n 取 x 0 得 故 2 2 1 1 8 21nn 2 2222 1111 11111 48 212nnnn nn nn 所以 2 1 1 6 n n 32 将函数 f x x 1 0 x 2 展开成周期为 4 的余弦级数 解 将 f x 作偶延拓 作周期延拓后函数在 上连续 则有 bn 0 n 1 2 3 22 0 20 1 d1 d0 2 af xxxx 22 20 22 22 1 cosd1 cosd 222 4 11 0 2 4 6 8 1 3 5 n n n xn x af xxxx n n n n 故 0 x 2 22 1 21 81 cos 2 21n nx f x n 33 设 x 其中 0 1 1 0 2 cos 12 22 1 2 n n xx a f xs xan x xx 求 1 0 2cos d n af xn x x 5 2 s 解 先对 f x 作偶延拓到 1 1 再以 2 为周期延拓到 将 f x 展开成余弦级数而得 到 s x 延拓后 f x 在处间断 所以 5 2 x 5155111 2222222 1 13 1 2 24 sffff 34 设函数 f x x2 0 x 1 而 x 其中 1 sin n n s xbn x n 1 2 3 求 1 0 2sin d n bf xn x x 1 2 s 解 先对 f x 作奇延拓到 1 1 再以 2 为周期延拓到 并将 f x 展开成正弦级数 得到 s x 延拓后 f x 在处连续 故 1 2 x 2 1111 2224 sf 35 将下列各周期函数展开成为傅里叶级数 它们在一个周期内的表达式分别为 1 f x 1 x2 11 22 x 2 21 30 1 03 xx f x x 解 1 f x 在 上连续 故其傅里叶级数在每一点都收敛于 f x 由于 f x 为偶 函数 有 bn 0 n 1 2 3 11 2 22 10 0 2 11 2d41d 6 af xxxx 11 2 22 1 0 2 1 22 2cos2n d41cos2n d 1 1 2 n n af xx xxx x n n 所以 x 1 22 1 1111 cos2 12 n n f xn x n 2 303 0 330 11 d21 dd1 33 af xxxxx 3 3 03 30 22 1 cosd 33 1 1 21 cosdcosd 3333 6 11 1