全国各地2016年中考数学试题分类汇编(第2期)专题13-二次函数(含解析)

1 二次函数二次函数 选择题 1 2016 山东省滨州市 3 分 抛物线 y 2x2 2x 1 与坐标轴的交点个数是 A 0B 1C 2D 3 考点 抛物线与 x 轴的交点 专题 二次函数图象及其性质 分析 对于抛物线解析式 分别令 x 0 与 y 0 求出对应 y 与 x 的值 即可确定出抛物线 与坐标轴的交点个数 解答 解 抛物线 y 2x2 2x 1 令 x 0 得到 y 1 即抛物线与 y 轴交点为 0 1 令 y 0 得到 2x2 2x 1 0 即 x 1 2 0 解得 x1 x2 即抛物线与 x 轴交点为 0 则抛物线与坐标轴的交点个数是 2 故选 C 点评 此题考查了抛物线与坐标轴的交点 抛物线解析式中令一个未知数为 0 求出另 一个未知数的值 确定出抛物线与坐标轴交点 2 2016 山东省滨州市 3 分 在平面直角坐标系中 把一条抛物线先向上平移 3 个单 位长度 然后绕原点选择 180 得到抛物线 y x2 5x 6 则原抛物线的解析式是 A y x 2 B y x 2 C y x 2 D y x 2 考点 二次函数图象与几何变换 分析 先求出绕原点旋转 180 的抛物线解析式 求出向下平移 3 个单位长度的解析式 即可 解答 解 抛物线的解析式为 y x2 5x 6 绕原点选择 180 变为 y x2 5x 6 即 y x 2 向下平移 3 个单位长度的解析式为 y x 2 3 x 2 故选 A 点评 本题考查的是二次函数的图象与几何变换 熟知二次函数的图象旋转及平移的法 则是解答此题的关键 3 2016 广西南宁 3 分 二次函数 y ax2 bx c a 0 和正比例函数 y x 的图象如图 所示 则方程 ax2 b x c 0 a 0 的两根之和 2 A 大于 0 B 等于 0 C 小于 0 D 不能确定 考点 抛物线与 x 轴的交点 分析 设 ax2 bx c 0 a 0 的两根为 x1 x2 由二次函数的图象可知 x1 x2 0 a 0 设方程 ax2 b x c 0 a 0 的两根为 a b 再根据根与系数的关 系即可得出结论 解答 解 设 ax2 bx c 0 a 0 的两根为 x1 x2 由二次函数的图象可知 x1 x2 0 a 0 0 设方程 ax2 b x c 0 a 0 的两根为 a b 则 a b a 0 0 a b 0 故选 C 点评 本题考查的是抛物线与 x 轴的交点 熟知抛物线与 x 轴的交点与一元二次方程根 的关系是解答此题的关键 4 2016 贵州毕节 3 分 一次函数 y ax b a 0 与二次函数 y ax2 bx c a 0 在同 一平面直角坐标系中的图象可能是 A B C D 考点 二次函数的图象 一次函数的图象 分析 本题可先由一次函数 y ax b 图象得到字母系数的正负 再与二次函数 y ax2 bx c 的图象相比较看是否一致 解答 解 A 由抛物线可知 a 0 由直线可知 故本选项错误 B 由抛物线可知 a 0 x 0 得 b 0 由直线可知 a 0 b 0 故本选项错 误 C 由抛物线可知 a 0 x 0 得 b 0 由直线可知 a 0 b 0 故本选项正 确 3 D 由抛物线可知 a 0 x 0 得 b 0 由直线可知 a 0 b 0 故本选项错 误 故选 C 5 2016 福建龙岩 4 分 已知抛物线 y ax2 bx c 的图象如图所示 则 a b c 2a b A a bB a 2bC a bD 3a 考点 二次函数图象与系数的关系 分析 观察函数图象找出 a 0 c 0 2a b 0 由此即可得出 a b c a b 2a b 2a b 根据整式的加减法运算即可得出结论 解答 解 观察函数图象 发现 图象过原点 c 0 抛物线开口向上 a 0 抛物线的对称轴 0 a b 2 1 2a b 0 a b c a b 2a b 2a b a b c 2a b a b 2a b 3a 故选 D 6 2016 广西桂林 3 分 已知直线 y 3x 3 与坐标轴分别交于点 A B 点 P 在抛 物线 y x 3 2 4 上 能使 ABP 为等腰三角形的点 P 的个数有 A 3 个 B 4 个 C 5 个 D 6 个 考点 二次函数图象上点的坐标特征 一次函数图象上点的坐标特征 等腰三角形的判 定 分析 以点 B 为圆心线段 AB 长为半径做圆 交抛物线于点 C M N 点 连接 AC BC 由直线 y x 3 可求出点 A B 的坐标 结合抛物线的解析式可得出 ABC 等边三角形 再令抛物线解析式中 y 0 求出抛物线与 x 轴的两交点的坐标 发现该两点与 M N 重合 结 合图形分三种情况研究 ABP 为等腰三角形 由此即可得出结论 解答 解 以点 B 为圆心线段 AB 长为半径做圆 交抛物线于点 C M N 点 连接 AC BC 如图所示 4 令一次函数 y x 3 中 x 0 则 y 3 点 A 的坐标为 0 3 令一次函数 y x 3 中 y 0 则 x 3 解得 x 点 B 的坐标为 0 AB 2 抛物线的对称轴为 x 点 C 的坐标为 2 3 AC 2 AB BC ABC 为等边三角形 令 y x 2 4 中 y 0 则 x 2 4 0 解得 x 或 x 3 点 E 的坐标为 0 点 F 的坐标为 3 0 ABP 为等腰三角形分三种情况 当 AB BP 时 以 B 点为圆心 AB 长度为半径做圆 与抛物线交于 C M N 三点 当 AB AP 时 以 A 点为圆心 AB 长度为半径做圆 与抛物线交于 C M 两点 当 AP BP 时 作线段 AB 的垂直平分线 交抛物线交于 C M 两点 能使 ABP 为等腰三角形的点 P 的个数有 3 个 故选 A 7 2016 广西南宁 3 分 二次函数 y ax2 bx c a 0 和正比例函数 y x 的图象如图 所示 则方程 ax2 b x c 0 a 0 的两根之和 A 大于 0 B 等于 0 C 小于 0 D 不能确定 考点 抛物线与 x 轴的交点 分析 设 ax2 bx c 0 a 0 的两根为 x1 x2 由二次函数的图象可知 x1 x2 0 a 0 设方程 ax2 b x c 0 a 0 的两根为 a b 再根据根与系数的关 系即可得出结论 解答 解 设 ax2 bx c 0 a 0 的两根为 x1 x2 由二次函数的图象可知 x1 x2 0 a 0 5 0 设方程 ax2 b x c 0 a 0 的两根为 a b 则 a b a 0 0 a b 0 故选 C 点评 本题考查的是抛物线与 x 轴的交点 熟知抛物线与 x 轴的交点与一元二次方程根 的关系是解答此题的关键 8 2016 贵州毕节 3 分 一次函数 y ax b a 0 与二次函数 y ax2 bx c a 0 在同 一平面直角坐标系中的图象可能是 A B C D 考点 二次函数的图象 一次函数的图象 分析 本题可先由一次函数 y ax b 图象得到字母系数的正负 再与二次函数 y ax2 bx c 的图象相比较看是否一致 解答 解 A 由抛物线可知 a 0 由直线可知 故本选项错误 B 由抛物线可知 a 0 x 0 得 b 0 由直线可知 a 0 b 0 故本选项错 误 C 由抛物线可知 a 0 x 0 得 b 0 由直线可知 a 0 b 0 故本选项正 确 D 由抛物线可知 a 0 x 0 得 b 0 由直线可知 a 0 b 0 故本选项错 误 故选 C 9 2016 广西南宁 3 分 二次函数 y ax2 bx c a 0 和正比例函数 y x 的图象如图 所示 则方程 ax2 b x c 0 a 0 的两根之和 6 A 大于 0 B 等于 0 C 小于 0 D 不能确定 考点 抛物线与 x 轴的交点 分析 设 ax2 bx c 0 a 0 的两根为 x1 x2 由二次函数的图象可知 x1 x2 0 a 0 设方程 ax2 b x c 0 a 0 的两根为 a b 再根据根与系数的关 系即可得出结论 解答 解 设 ax2 bx c 0 a 0 的两根为 x1 x2 由二次函数的图象可知 x1 x2 0 a 0 0 设方程 ax2 b x c 0 a 0 的两根为 a b 则 a b a 0 0 a b 0 故选 C 点评 本题考查的是抛物线与 x 轴的交点 熟知抛物线与 x 轴的交点与一元二次方程根 的关系是解答此题的关键 10 2016 贵州毕节 3 分 一次函数 y ax b a 0 与二次函数 y ax2 bx c a 0 在同 一平面直角坐标系中的图象可能是 A B C D 考点 二次函数的图象 一次函数的图象 分析 本题可先由一次函数 y ax b 图象得到字母系数的正负 再与二次函数 y ax2 bx c 的图象相比较看是否一致 解答 解 A 由抛物线可知 a 0 由直线可知 故本选项错误 B 由抛物线可知 a 0 x 0 得 b 0 由直线可知 a 0 b 0 故本选项错 误 C 由抛物线可知 a 0 x 0 得 b 0 由直线可知 a 0 b 0 故本选项正 确 D 由抛物线可知 a 0 x 0 得 b 0 由直线可知 a 0 b 0 故本选项错 误 故选 C 11 2016 浙江省绍兴市 4 分 抛物线 y x2 bx c 其中 b c 是常数 过点 A 2 6 且抛物线的对称轴与线段 y 0 1 x 3 有交点 则 c 的值不可能是 7 A 4 B 6 C 8 D 10 考点 二次函数的性质 分析 根据抛物线 y x2 bx c 其中 b c 是常数 过点 A 2 6 且抛物线的对称轴与 线段 y 0 1 x 3 有交点 可以得到 c 的取值范围 从而可以解答本题 解答 解 抛物线 y x2 bx c 其中 b c 是常数 过点 A 2 6 且抛物线的对称轴 与线段 y 0 1 x 3 有交点 解得 6 c 14 故选 A 12 2016 湖北随州 3 分 二次函数 y ax2 bx c a 0 的部分图象如图所示 图象 过点 1 0 对称轴为直线 x 2 下列结论 1 4a b 0 2 9a c 3b 3 8a 7b 2c 0 4 若点 A 3 y1 点 B y2 点 C y3 在该函数图象上 则 y1 y3 y2 5 若方程 a x 1 x 5 3 的两根为 x1和 x2 且 x1 x2 则 x1 1 5 x2 其中正确的结论有 A 2 个 B 3 个 C 4 个 D 5 个 考点 二次函数图象与系数的关系 分析 1 正确 根据对称轴公式计算即可 2 错误 利用 x 3 时 y 0 即可判断 3 正确 由图象可知抛物线经过 1 0 和 5 0 列出方程组求出 a b 即可判 断 4 错误 利用函数图象即可判断 5 正确 利用二次函数与二次不等式关系即可解决问题 解答 解 1 正确 2 4a b 0 故正确 2 错误 x 3 时 y 0 9a 3b c 0 9a c 3b 故 2 错误 3 正确 由图象可知抛物线经过 1 0 和 5 0 解得 8 8a 7b 2c 8a 28a 10a 30a a 0 8a 7b 2c 0 故 3 正确 4 错误 点 A 3 y1 点 B y2 点 C y3 2 2 点 C 离对称轴的距离近 y3 y2 a 0 3 2 y1 y2 y1 y2 y3 故 4 错误 5 正确 a 0 x 1 x 5 3 a 0 即 x 1 x 5 0 故 x 1 或 x 5 故 5 正确 正确的有三个 故选 B 13 2016 四川南充 抛物线 y x2 2x 3 的对称轴是 A 直线 x 1 B 直线 x 1C 直线 x 2D 直线 x 2 分析 先把一般式化为顶点式 然后根据二次函数的性质确定抛物线的对称轴方程 解答 解 y x2 2x 3 x 1 2 2 抛物线的对称轴为直线 x 1 故选 B 点评 本题考查了二次函数的性质 对于二次函数 y ax2 bx c a 0 它的顶点坐标 是 对称轴为直线 x 14 2016 四川泸州 已知二次函数y ax2 bx 2 a 0 的图象的顶点在第 四象限 且过点 1 0 当 a b 为整数时 ab 的值为 9 A 或 1 B 或 1 C 或D 或 考点 二次函数的性质 分析 首先根据题意确定a b 的符号 然后进一步确定a 的取值范围 根 据 a b 为整数确定a b 的值 从而确定答案 解答 解 依题意知a 0 0 a b 2 0 故 b 0 且 b 2 a a b a 2 a 2a 2 于是 0 a 2 2 2a 2 2 又 a b 为整数 2a 2 1 0 1 故 a 1 b 1 ab 或 1 故选 A 15 2016 四川攀枝花 如图 二次函数 y ax2 bx c a 0 图象的顶点为 D 其图象 与 x 轴的交点 A B 的横坐标分别为 1 和 3 则下列结论正确的是 A 2a b 0 B a b c 0 C 3a c 0 D 当 a 时 ABD 是等腰直角三角形 考点 二次函数图象与系数的关系 分析 由于抛物线与 x 轴的交点 A B 的横坐标分别为 1 3 得到对称轴为直线 x 1 则 1 即 2a b 0 得出 选项 A 错误 当 x 1 时 y 0 得出 a b c 0 得出选项 B 错误 当 x 1 时 y 0 即 a b c 0 而 b 2a 可得到 a 与 c 的关系 得出选项 C 错误 由 a 则 b 1 c 对称轴 x 1 与 x 轴的交点为 E 先求出顶点 D 的坐标 由三 角形边的关系得出 ADE 和 BDE 都为等腰直角三角形 得出选项 D 正确 即可得出结论 解答 解 抛物线与 x 轴的交点 A B 的横坐标分别为 1 3 10 抛物线的对称轴为直线 x 1 则 1 2a b 0 选项 A 错误 当自变量取 1 时 对应的函数图象在 x 轴下方 x 1 时 y 0 则 a b c 0 选项 B 错误 A 点坐标为 1 0 a b c 0 而 b 2a a 2a c 0 3a c 0 选项 C 错误 当 a 则 b 1 c 对称轴 x 1 与 x 轴的交点为 E 如图 抛物线的解析式为 y x2 x 把 x 1 代入得 y 1 2 D 点坐标为 1 2 AE 2 BE 2 DE 2 ADE 和 BDE 都为等腰直角三角形 ADB 为等腰直角三角形 选项 D 正确 故选 D 点评 本题考查了二次函数 y ax2 bx c 的图象与系数的关系 当 a 0 抛物线开口向 上 抛物线的对称轴为直线 x 抛物线与 y 轴的交点坐标为 0 c 16 2016 黑龙江齐齐哈尔 3 分 如图 抛物线 y ax2 bx c a 0 的对称轴为直线 x 1 与 x 轴的一个交点坐标为 1 0 其部分图象如图所示 下列结论 4ac b2 方程 ax2 bx c 0 的两个根是 x1 1 x2 3 3a c 0 当 y 0 时 x 的取值范围是 1 x 3 当 x 0 时 y 随 x 增大而增大 其中结论正确的个数是 11 A 4 个 B 3 个 C 2 个 D 1 个 考点 二次函数图象与系数的关系 分析 利用抛物线与 x 轴的交点个数可对 进行判断 利用抛物线的对称性得到抛物线 与 x 轴的一个交点坐标为 3 0 则可对 进行判断 由对称轴方程得到 b 2a 然后 根据 x 1 时函数值为负数可得到 3a c 0 则可对 进行判断 根据抛物线在 x 轴上方 所对应的自变量的范围可对 进行判断 根据二次函数的性质对 进行判断 解答 解 抛物线与 x 轴有 2 个交点 b2 4ac 0 所以 正确 抛物线的对称轴为直线 x 1 而点 1 0 关于直线 x 1 的对称点的坐标为 3 0 方程 ax2 bx c 0 的两个根是 x1 1 x2 3 所以 正确 x 1 即 b 2a 而 x 1 时 y 0 即 a b c 0 a 2a c 0 所以 错误 抛物线与 x 轴的两点坐标为 1 0 3 0 当 1 x 3 时 y 0 所以 错误 抛物线的对称轴为直线 x 1 当 x 1 时 y 随 x 增大而增大 所以 正确 故选 B 17 2016 湖北黄石 3 分 以 x 为自变量的二次函数 y x2 2 b 2 x b2 1 的图象不 经过第三象限 则实数 b 的取值范围是 A b B b 1 或 b 1 C b 2 D 1 b 2 分析 由于二次函数 y x2 2 b 2 x b2 1 的图象不经过第三象限 所以抛物线在 x 轴的上方或在 x 轴的下方经过一 二 四象限 根据二次项系数知道抛物线开口方向向上 由此可以确定抛物线与 x 轴有无交点 抛物线与 y 轴的交点的位置 由此即可得出关于 b 的不等式组 解不等式组即可求解 解答 解 二次函数 y x2 2 b 2 x b2 1 的图象不经过第三象限 抛物线在 x 轴的上方或在 x 轴的下方经过一 二 四象限 当抛物线在 x 轴的上方时 二次项系数 a 1 抛物线开口方向向上 b2 1 0 2 b 2 2 4 b2 1 0 解得 b 12 当抛物线在 x 轴的下方经过一 二 四象限时 设抛物线与 x 轴的交点的横坐标分别为 x1 x2 x1 x2 2 b 2 0 b2 1 0 2 b 2 2 4 b2 1 0 b 2 0 b2 1 0 由 得 b 由 得 b 2 此种情况不存在 b 故选 A 点评 此题主要考查了二次函数的图象和性质 解题的关键是会根据图象的位置得到关 于 b 的不等式组解决问题 18 2016 湖北荆门 3 分 若二次函数 y x2 mx 的对称轴是 x 3 则关于 x 的方程 x2 mx 7 的解为 A x1 0 x2 6 B x1 1 x2 7 C x1 1 x2 7 D x1 1 x2 7 考点 二次函数的性质 解一元二次方程 因式分解法 分析 先根据二次函数 y x2 mx 的对称轴是 x 3 求出 m 的值 再把 m 的值代入方程 x2 mx 7 求出 x 的值即可 解答 解 二次函数 y x2 mx 的对称轴是 x 3 3 解得 m 6 关于 x 的方程 x2 mx 7 可化为 x2 6x 7 0 即 x 1 x 7 0 解得 x1 1 x2 7 故选 D 19 2016 青海西宁 3 分 如图 在 ABC 中 B 90 tan C AB 6cm 动点 P 从点 A 开始沿边 AB 向点 B 以 1cm s 的速度移动 动点 Q 从点 B 开始沿边 BC 向点 C 以 2cm s 的速度移动 若 P Q 两点分别从 A B 两点同时出发 在运动过程中 PBQ 的最大 面积是 A 18cm2B 12cm2C 9cm2D 3cm2 考点 解直角三角形 二次函数的最值 分析 先根据已知求边长 BC 再根据点 P 和 Q 的速度表示 BP 和 BQ 的长 设 PBQ 的面 积为 S 利用直角三角形的面积公式列关于 S 与 t 的函数关系式 并求最值即可 解答 解 tan C AB 6cm BC 8 13 由题意得 AP t BP 6 t BQ 2t 设 PBQ 的面积为 S 则 S BP BQ 2t 6 t S t2 6t t2 6t 9 9 t 3 2 9 P 0 t 6 Q 0 t 4 当 t 3 时 S 有最大值为9 即当 t 3 时 PBQ 的最大面积为 9cm2 故选 C 20 2016 陕西 3 分 已知抛物线 y x2 2x 3 与 x 轴交于 A B 两点 将这条抛物 线的顶点记为 C 连接 AC BC 则 tan CAB 的值为 A B C D 2 考点 抛物线与 x 轴的交点 锐角三角函数的定义 分析 先求出 A B C 坐标 作 CD AB 于 D 根据 tan ACD 即可计算 解答 解 令 y 0 则 x2 2x 3 0 解得 x 3 或 1 不妨设 A 3 0 B 1 0 y x2 2x 3 x 1 2 4 顶点 C 1 4 如图所示 作 CD AB 于 D 在 RT ACD 中 tan CAD 2 故答案为 D 21 2016 四川眉山 3 分 若抛物线 y x2 2x 3 不动 将平面直角坐标系 xOy 先沿水 平方向向右平移一个单位 再沿铅直方向向上平移三个单位 则原抛物线图象的解析式应 变为 A y x 2 2 3 B y x 2 2 5 C y x2 1 D y x2 4 分析 思想判定出抛物线的平移规律 根据左加右减 上加下减的规律即可解决问题 解答 解 将平面直角坐标系 xOy 先沿水平方向向右平移一个单位 再沿铅直方向向上 平移三个单位 这个相当于把抛物线向左平移有关单位 再向下平移 3 个单位 y x 1 2 2 原抛物线图象的解析式应变为 y x 1 1 2 2 3 x2 1 故答案为 C 点评 本题考查二次函数图象的平移 解题的关键是理解坐标系的平移和抛物线的平移 是反方向的 记住左加右减 上加下减的规律 属于中考常考题型 14 填空题 1 2016 山东省菏泽市 3 分 如图 一段抛物线 y x x 2 0 x 2 记为 C1 它与 x 轴交于两点 O A1 将 C1绕 A1旋转 180 得到 C2 交 x 轴于 A2 将 C2绕 A2旋转 180 得到 C3 交 x 轴于 A3 如此进行下去 直至得到 C6 若点 P 11 m 在第 6 段抛 物线 C6上 则 m 1 考点 二次函数图象与几何变换 抛物线与 x 轴的交点 专题 规律型 分析 将这段抛物线 C1通过配方法求出顶点坐标及抛物线与 x 轴的交点 由旋转的性质 可以知道 C1与 C2的顶点到 x 轴的距离相等 且 OA1 A1A2 照此类推可以推导知道点 P 11 m 为抛物线 C6的顶点 从而得到结果 解答 解 y x x 2 0 x 2 配方可得 y x 1 2 1 0 x 2 顶点坐标为 1 1 A1坐标为 2 0 C2由 C1旋转得到 OA1 A1A2 即 C2顶点坐标为 3 1 A2 4 0 照此类推可得 C3顶点坐标为 5 1 A3 6 0 C4顶点坐标为 7 1 A4 8 0 C5顶点坐标为 9 1 A5 10 0 C6顶点坐标为 11 1 A6 12 0 m 1 故答案为 1 点评 本题考查了二次函数的性质及旋转的性质 解题的关键是求出抛物线的顶点坐 标 2 2016 黑龙江哈尔滨 3 分 二次函数 y 2 x 3 2 4 的最小值为 4 考点 二次函数的最值 分析 题中所给的解析式为顶点式 可直接得到顶点坐标 从而得出解答 解答 解 二次函数 y 2 x 3 2 4 的开口向上 顶点坐标为 3 4 所以最小值为 4 故答案为 4 3 2016 河南 已知 A 0 3 B 2 3 是抛物线 y x2 bx c 上两点 该抛物线的 顶点坐标是 1 4 考点 二次函数的性质 二次函数图象上点的坐标特征 分析 把 A B 的坐标代入函数解析式 即可得出方程组 求出方程组的解 即可得出解 析式 化成顶点式即可 解答 解 A 0 3 B 2 3 是抛物线 y x2 bx c 上两点 15 代入得 解得 b 2 c 3 y x2 2x 3 x 1 2 4 顶点坐标为 1 4 故答案为 1 4 点评 本题考查了二次函数的性质 二次函数图象上点的坐标特征的应用 能求出函数 的解析式是解此题的关键 4 2016 四川南充 已知抛物线 y ax2 bx c 开口向上且经过点 1 1 双曲线 y 经过点 a bc 给出下列结论 bc 0 b c 0 b c 是关于 x 的一元二次方 程 x2 a 1 x 0 的两个实数根 a b c 3 其中正确结论是 填写序 号 分析 根据抛物线 y ax2 bx c 开口向上且经过点 1 1 双曲线 y 经过点 a bc 可以得到 a 0 a b c 的关系 然后对 a b c 进行讨论 从而可以判断 是否 正确 本题得以解决 解答 解 抛物线 y ax2 bx c 开口向上且经过点 1 1 双曲线 y 经过点 a bc bc 0 故 正确 a 1 时 则 b c 均小于 0 此时 b c 0 当 a 1 时 b c 0 则与题意矛盾 当 0 a 1 时 则 b c 均大于 0 此时 b c 0 故 错误 x2 a 1 x 0 可以转化为 x2 b c x bc 0 得 x b 或 x c 故 正确 b c 是关于 x 的一元二次方程 x2 a 1 x 0 的两个实数根 a b c a b c a a 1 2a 1 当 a 1 时 2a 1 3 当 0 a 1 时 1 2a 1 3 故 错误 故答案为 点评 本题考查二次函数与图象的关系 解题的关键是明确题意 找出所求问题需要的 16 条件 利用数形结合的思想解答问题 5 2016 四川泸州 若二次函数y 2x2 4x 1 的图象与 x 轴交于 A x1 0 B x2 0 两点 则 的值为 考点 抛物线与 x 轴的交点 分析 设 y 0 则对应一元二次方程的解分别是点A 和点 B 的横坐标 利用 根与系数的关系即可求出 的值 解答 解 设 y 0 则 2x2 4x 1 0 一元二次方程的解分别是点A 和点 B 的横坐标 即x1 x2 x1 x2 2 x1 x2 原式 故答案为 6 2016 四川内江 二次函数y ax2 bx c的图象如图 11 所示 且 P 2a b 3b 2c Q 2a b 3b 2c 则P Q的大小关系是 答案 P Q 考点 二次函数的图象及性质 解析 抛物线的开口向下 a 0 2 b a 1 b 0 且a 2 b 2a b 0 2a b b 2a 抛物线与y轴的正半轴相交 c 0 3b 2c 3b 2c 由图象可知当x 1 时 y 0 即a b c 0 2 b b c 0 即 3b 2c 0 3b 2c 3b 2c P 0 3b 2c 3b 2c 0 Q b 2a 3b 2c b 2c 0 P Q 故答案为 P Q 7 2016 湖北荆州 3 分 若函数 y a 1 x2 4x 2a 的图象与 x 轴有且只有一个交 点 则 a 的值为 1 或 2 或 1 分析 直接利用抛物线与 x 轴相交 b2 4ac 0 进而解方程得出答案 解答 解 函数 y a 1 x2 4x 2a 的图象与 x 轴有且只有一个交点 当函数为二次函数时 b2 4ac 16 4 a 1 2a 0 17 解得 a1 1 a2 2 当函数为一次函数时 a 1 0 解得 a 1 故答案为 1 或 2 或 1 点评 此题主要考查了抛物线与 x 轴的交点 正确得出关于 a 的方程是解题关键 解答题 1 2016 湖北随州 9 分 九年级 3 班数学兴趣小组经过市场调查整理出某种商品 在第 x 天 1 x 90 且 x 为整数 的售价与销售量的相关信息如下 已知商品的进价为 30 元 件 设该商品的售价为 y 单位 元 件 每天的销售量为 p 单位 件 每天的 销售利润为 w 单位 元 时间 x 天 1306090 每天销售量 p 件 1981408020 1 求出 w 与 x 的函数关系式 2 问销售该商品第几天时 当天的销售利润最大 并求出最大利润 3 该商品在销售过程中 共有多少天每天的销售利润不低于 5600 元 请直接写出结 果 考点 二次函数的应用 一元一次不等式的应用 分析 1 当 0 x 50 时 设商品的售价 y 与时间 x 的函数关系式为 y kx b 由点的 坐标利用待定系数法即可求出此时 y 关于 x 的函数关系式 根据图形可得出当 50 x 90 时 y 90 再结合给定表格 设每天的销售量 p 与时间 x 的函数关系式为 p mx n 套入数 据利用待定系数法即可求出 p 关于 x 的函数关系式 根据销售利润 单件利润 销售数量即 可得出 w 关于 x 的函数关系式 2 根据 w 关于 x 的函数关系式 分段考虑其最值问题 当 0 x 50 时 结合二次函数 的性质即可求出在此范围内 w 的最大值 当 50 x 90 时 根据一次函数的性质即可求出 在此范围内 w 的最大值 两个最大值作比较即可得出结论 3 令 w 5600 可得出关于x 的一元二次不等式和一元一次不等式 解不等式即可得出 x 的取值范围 由此即可得出结论 解答 解 1 当 0 x 50 时 设商品的售价 y 与时间 x 的函数关系式为 y kx b k b 为常数且 k 0 y kx b 经过点 0 40 50 90 解得 售价 y 与时间 x 的函数关系式为 y x 40 当 50 x 90 时 y 90 售价 y 与时间 x 的函数关系式为 y 18 由书记可知每天的销售量 p 与时间 x 成一次函数关系 设每天的销售量 p 与时间 x 的函数关系式为 p mx n m n 为常数 且 m 0 p mx n 过点 60 80 30 140 解得 p 2x 200 0 x 90 且 x 为整数 当 0 x 50 时 w y 30 p x 40 30 2x 200 2x2 180 x 2000 当 50 x 90 时 w 90 30 2x 200 120 x 12000 综上所示 每天的销售利润 w 与时间 x 的函数关系式是 w 2 当 0 x 50 时 w 2x2 180 x 2000 2 x 45 2 6050 a 2 0 且 0 x 50 当 x 45 时 w 取最大值 最大值为 6050 元 当 50 x 90 时 w 120 x 12000 k 120 0 w 随 x 增大而减小 当 x 50 时 w 取最大值 最大值为 6000 元 6050 6000 当 x 45 时 w 最大 最大值为 6050 元 即销售第 45 天时 当天获得的销售利润最大 最大利润是 6050 元 3 当 0 x 50 时 令 w 2x2 180 x 2000 5600 即 2x2 180 x 3600 0 解得 30 x 50 50 30 1 21 天 当 50 x 90 时 令 w 120 x 12000 5600 即 120 x 6400 0 解得 50 x 53 x 为整数 50 x 53 53 50 3 天 综上可知 21 3 24 天 故该商品在销售过程中 共有 24 天每天的销售利润不低于 5600 元 2 2016 湖北随州 12 分 已知抛物线 y a x 3 x 1 a 0 与 x 轴从左至右依 次相交于 A B 两点 与 y 轴相交于点 C 经过点 A 的直线 y x b 与抛物线的另一个 交点为 D 1 若点 D 的横坐标为 2 求抛物线的函数解析式 2 若在第三象限内的抛物线上有点 P 使得以 A B P 为顶点的三角形与 ABC 相似 求点 P 的坐标 3 在 1 的条件下 设点 E 是线段 AD 上的一点 不含端点 连接 BE 一动点 Q 从点 B 出发 沿线段 BE 以每秒 1 个单位的速度运动到点 E 再沿线段 ED 以每秒个单位的 速度运动到点 D 后停止 问当点 E 的坐标是多少时 点 Q 在整个运动过程中所用时间最少 19 考点 二次函数综合题 分析 1 根据二次函数的交点式确定点 A B 的坐标 求出直线的解析式 求出点 D 的 坐标 求出抛物线的解析式 2 作 PH x 轴于 H 设点 P 的坐标为 m n 分 BPA ABC 和 PBA ABC 根据 相似三角形的性质计算即可 3 作 DM x 轴交抛物线于 M 作 DN x 轴于 N 作 EF DM 于 F 根据正切的定义求出 Q 的运动时间 t BE EF 时 t 最小即可 解答 解 1 y a x 3 x 1 点 A 的坐标为 3 0 点 B 两的坐标为 1 0 直线 y x b 经过点 A b 3 y x 3 当 x 2 时 y 5 则点 D 的坐标为 2 5 点 D 在抛物线上 a 2 3 2 1 5 解得 a 则抛物线的解析式为 y x 3 x 1 x2 2x 3 2 作 PH x 轴于 H 设点 P 的坐标为 m n 当 BPA ABC 时 BAC PBA tan BAC tan PBA 即 即 n a m 1 解得 m1 4 m2 1 不合题意 舍去 当 m 4 时 n 5a BPA ABC 即 AB2 AC PB 42 20 解得 a1 不合题意 舍去 a2 则 n 5a 点 P 的坐标为 4 当 PBA ABC 时 CBA PBA tan CBA tan PBA 即 即 n 3a m 1 解得 m1 6 m2 1 不合题意 舍去 当 m 6 时 n 21a PBA ABC 即 AB2 BC PB 42 解得 a1 不合题意 舍去 a2 则点 P 的坐标为 6 综上所述 符合条件的点 P 的坐标为 4 和 6 3 作 DM x 轴交抛物线于 M 作 DN x 轴于 N 作 EF DM 于 F 则 tan DAN DAN 60 EDF 60 DE EF Q 的运动时间 t BE EF 当 BE 和 EF 共线时 t 最小 则 BE DM y 4 21 3 2016 湖北武汉 10 分 某公司计划从甲 乙两种产品中选择一种生产并销售 每 年产销x件 已知产销两种产品的有关信息如下表 产品每件售价 万元 每件成本 万元 每年其他费用 万元 每年最大产销量 件 甲 6a20200 乙 2010 40 0 05x2 80 其中a为常数 且 3 a 5 1 若产销甲 乙两种产品的年利润分别为y1万元 y2万元 直接写出y1 y2与x的 函数关系式 2 分别求出产销两种产品的最大年利润 3 为获得最大年利润 该公司应该选择产销哪种产品 请说明理由 考点 二次函数的应用 一次函数的应用 答案 1 y1 6 a x 20 0 x 200 y2 0 05x 10 x 40 0 x 80 2 产 销甲种产品的最大年利润为 1180 200a 万元 产销乙种产品的最大年利润为 440 万元 3 当 3 a 3 7 时 选择甲产品 当a 3 7 时 选择甲乙产品 当 3 7 a 5 时 选择 乙产品 解析 解 1 y1 6 a x 20 0 x 200 y2 0 05x 10 x 40 0 x 80 2 甲产品 3 a 5 6 a 0 y1随x的增大而增大 当 x 200 时 y1max 1180 200a 3 a 5 乙产品 y2 0 05x 10 x 40 0 x 80 当 0 x 80 时 y2随x的增大而增大 当 x 80 时 y2max 440 万元 产销甲种产品的最大年利润为 1180 200a 万元 产销乙种产品的最大年利润为 440 万元 3 1180 200 440 解得 3 a 3 7 时 此时选择甲产品 1180 200 440 解得a 3 7 时 此时选择甲乙产品 22 1180 200 440 解得 3 7 a 5 时 此时选择乙产品 当 3 a 3 7 时 生产甲产品的利润高 当a 3 7 时 生产甲乙两种产品的利润相同 当 3 7 a 5 时 上产乙产品的利润高 4 2016 湖北武汉 12 分 抛物线y ax2 c与x轴交于A B两点 顶点为C 点P 为抛物线上 且位于x轴下方 1 如图 1 若P 1 3 B 4 0 求该抛物线的解析式 若D是抛物线上一点 满足 DPO POB 求点D的坐标 2 如图 2 已知直线PA PB与y轴分别交于E F两点 当点P运动时 OC OFOE 是 否为定值 若是 试求出该定值 若不是 请说明理由 xx yy P F E AB C OO C BA 考点 二次函数综合 考查了待定系数法求函数解析式 平行线的判定 函数值相等的 点关于对称轴对称 答案 1 y 1 5 x2 16 5 点D的坐标为 1 3 或 11 4 27 16 2 是定值 等于 2 解析 解 1 将P 1 3 B 4 0 代入y ax2 c得 160 0 ac ac 解得 1 5 16 5 a c 抛物线的解析式为 2 116 55 yx 如图 由 DPO POB得DP OB D与P关于y轴对称 P 1 3 得D 1 3 如图 D在P右侧 即图中D2 则 D2PO POB 延长PD2交x轴于Q 则QO QP 设Q q 0 则 q 1 2 32 q2 解得 q 5 Q 5 0 则直线PD2为 315 44 yx 23 再联立 2 315 44 116 55 yx yx 得 x 1 或 11 4 D2 1127 416 点 D 的坐标为 1 3 或 1127 416 2 设B b 0 则A b 0 有ab2 c 0 b2 c a 过点P x0 y0 作 PH AB 有 2 0 yaxc 易证 PAH EAO 则 OEPH OAHA 即 0 0 yOE bxb 0 0 by OE xb 同理得 OFPH OBBH 0 0 yOF bbx 0 0 by OF bx 则OE OF 0 00 11 by bxbx 2 0 0 22 0 0 2 2 2 c y b y a OEOFc ycc bx aa 又OC c 2 2 OEOFc OCc OC OFOE 是定值 等于 2 5 2016 吉林 10 分 如图 在等腰直角三角形 ABC 中 BAC 90 AC 8cm AD BC 于点 D 点 P 从点 A 出发 沿 A C 方向以cm s 的速度运动到点 C 停止 在运动过程中 过点 P 作 PQ AB 交 BC 于点 Q 以线段 PQ 为边作等腰直角三角形 PQM 且 PQM 90 点 M C 位于 PQ 异侧 设点 P 的运动时间为 x s PQM 与 ADC 重叠部分的面积为 y cm2 1 当点 M 落在 AB 上时 x 4 24 2 当点 M 落在 AD 上时 x 3 求 y 关于 x 的函数解析式 并写出自变量 x 的取值范围 考点 三角形综合题 分析 1 当点 M 落在 AB 上时 四边形 AMQP 是正方形 此时点 D 与点 Q 重合 由此即 可解决问题 2 如图 1 中 当点 M 落在 AD 上时 作 PE QC 于 E 先证明 DQ QE EC 由 PE AD 得 由此即可解决问题 3 分三种情形 当 0 x 4 时 如图 2 中 设 PM PQ 分别交 AD 于点 E F 则重叠部 分为 PEF 当 4 x 时 如图 3 中 设 PM MQ 分别交 AD 于 E G 则重叠部分为四 边形 PEGQ 当 x 8 时 如图 4 中 则重合部分为 PMQ 分别计算即可解决问题 解答 解 1 当点 M 落在 AB 上时 四边形 AMQP 是正方形 此时点 D 与点 Q 重合 AP CP 4 所以 x 4 故答案为 4 2 如图 1 中 当点 M 落在 AD 上时 作 PE QC 于 E MQP PQE PEC 都是等腰直角三角形 MQ PQ PC DQ QE EC PE AD AC 8 PA x 故答案为 3 当 0 x 4 时 如图 2 中 设 PM PQ 分别交 AD 于点 E F 则重叠部分为 PEF 25 AP x EF PE x y S PEF PE EF x2 当 4 x 时 如图 3 中 设 PM MQ 分别交 AD 于 E G 则重叠部分为四边形 PEGQ PQ PC 8 x PM 16 2x ME PM PE 16 3x y S PMQ S MEG 8 x 2 16 3x 2 x2 32x 64 当 x 8 时 如图 4 中 则重合部分为 PMQ y S PMQ PQ2 8 x 2 x2 16x 64 综上所述 y 6 2016 吉林 10 分 如图 1 在平面直角坐标系中 点 B 在 x 轴正半轴上 OB 的长 度为 2m 以 OB 为边向上作等边三角形 AOB 抛物线 l y ax2 bx c 经过点 O A B 三点 1 当 m 2 时 a 当 m 3 时 a 26 2 根据 1 中的结果 猜想 a 与 m 的关系 并证明你的结论 3 如图 2 在图 1 的基础上 作 x 轴的平行线交抛物线 l 于 P Q 两点 PQ 的长度为 2n 当 APQ 为等腰直角三角形时 a 和 n 的关系式为 a 4 利用 2 3 中的结论 求 AOB 与 APQ 的面积比 考点 二次函数综合题 分析 1 由 AOB 为等边三角形 AB 2m 得出点 A B 坐标 再由点 A B O 在抛物 线上建立方程组 得出结论 最后代 m 2 m 3 求值即可 2 同 1 的方法得出结论 3 由 APQ 为等腰直角三角形 PQ 的长度为 2n 设 A e d n P e n d Q e n d 建立方程组求解即可 4 由 2 3 的结论得到 m n 再根据面积公式列出式子 代入化简即可 解答 解 1 如图 1 点 B 在 x 轴正半轴上 OB 的长度为 2m B 2m 0 以 OB 为边向上作等边三角形 AOB AM m OM m A m m 抛物线 l y ax2 bx c 经过点 O A B 三点 27 当 m 2 时 a 当 m 3 时 a 故答案为 2 a 理由 如图 1 点 B 在 x 轴正半轴上 OB 的长度为 2m B 2m 0 以 OB 为边向上作等边三角形 AOB AM m OM m A m m 抛物线 l y ax2 bx c 经过点 O A B 三点 a 3 如图 2 APQ 为等腰直角三角形 PQ 的长度为 2n 设 A e d n P e n d Q e n d P Q A O 在抛物线 l y ax2 bx c 上 28 化简得 2ae an b 1 化简得 2ae an b 1 化简得 an 1 a 故答案为 a 4 OB 的长度为 2m AM m S AOB OB AM 2m m m2 由 3 有 AN n PQ 的长度为 2n S APQ PQ AN 2m n n2 由 2 3 有 a a m n AOB 与 APQ 的面积比为 3 1 7 2016 江西 12 分 设抛物线的解析式为 y ax2 过点 B1 1 0 作 x 轴的垂线 交 抛物线于点 A1 1 2 过点 B2 0 作 x 轴的垂线 交抛物线于点 A2 过点 Bn n 1 0 n 为正整数 作 x 轴的垂线 交抛物线于点 An 连接 AnBn 1 得 Rt AnBnBn 1 1 求 a 的值 2 直接写出线段 AnBn BnBn 1的长 用含 n 的式子表示 3 在系列 Rt AnBnBn 1中 探究下列问题 当 n 为何值时 Rt AnBnBn 1是等腰直角三角形 设 1 k m n k m 均为正整数 问 是否存在 Rt AkBkBk 1与 Rt AmBmBm 1相似 若 存在 求出其相似比 若不存在 说明理由 考点 二次函数综合题 分析 1 直接把点 A1的坐标代入 y ax2求出 a 的值 2 由题意可知 A1B1是点 A1的纵坐标 则 A1B1 2 12 2 A2B2是点 A2的纵坐标 则 A2B2 2 2 则 AnBn 2x2 2 n 1 2 29 B1B2 1 B2B3 BnBn 1 3 因为 Rt AkBkBk 1与 Rt AmBmBm 1是直角三角形 所以分两种情况讨论 根据 2 的 结论代入所得的对应边的比列式 计算求出 k 与 m 的关系