北师大版八年级数学下册讲义--等腰三角形中四种常用作辅助线的方法

专训 4 等腰三角形中四种常用作辅助线的方法 名师点睛 几何图形中添加辅助线 往往能把分散的条件集中 使隐蔽的条件显露 将 复杂的问题简单化 例如 作三线 中的 一线 作平行线构造等腰 边 三角形 利 用截长补短法证线段和 差关系或求角的度数 利用加倍折半法证线段的倍分关系 方法方法 1 作作 三线三线 中的中的 一线一线 1 如图 ABC 中 AB AC D 是 BC 的中点 过 A 点的直线 EF BC 且 AE AF 求证 DE DF 解答 证明 如图 连接 AD ABC 中 AB AC D 是 BC 的中点 AD BC EF BC AD EF 又 AE AF AD 垂直平分 EF DE DF 方法方法 2 作平行线法作平行线法 2 如图 在 ABC 中 AB AC 点 P 从点 B 出发沿线段 BA 移动 同时 点 Q 从点 C 出 发沿线段 AC 的延长线移动 已知点 P Q 移动的速度相同 PQ 与直线 BC 相交于点 D 1 如图 当点 P 为 AB 的中点时 求证 PD QD 2 如图 过点 P 作直线 BC 的垂线 垂足为 E 当点 P Q 在移动的过程中 线段 BE DE CD 中是否存在长度保持不变的线段 请说明理由 解答 1 过 P 点作 PF AC 交 BC 于 F 点 P 和点 Q 同时出发 且速度相同 BP CQ PF AQ PFB ACB DPF DQC AB AC B ACB B PFB BP PF PF CQ PDF QDC PF CQ DPF DQC PFD QCD PD QD 2 ED 的长度保持不变 理由如下 由 1 知 PB PF PE BF BE EF 由 1 知 PFD QCD FD DC ED EF FD BE DC BC 2 1 ED 为定值 方法方法 3 截长补短法截长补短法 3 已知 如图 在 ABC 中 AB AC D 是 ABC 外一点 且 ABD 60 ACD 60 求证 BD DC AB 解答 证明 延长 BD 到 F 使 BF BA 连接 AF CF ABD 60 度 ABF 为等边三角形 AF AB AC BF AFB 60 ACF AFC 又 ACD 60 AFB ACD 60 DFC DCF DC DF BD DC BD DF BF AB 即 BD DC AB 4 如图 在 ABC 中 BAC 120 AD BC 于 D 且 AB BD DC 求 C 解答 在 DC 上截取 DE BD 连接 AE 如图所示 AD BC ADB ADE 90 在 ABD 和 AED 中 AD AD ADB ADE DB DE ABD AED SAS AB AE B AEB 又 AB BD CD DE BD AB DE CD 而 CD DE EC AB EC AE EC 故设 EAC C x AEB 为 AEC 的外角 AEB EAC C 2x B 2x BAE 180 2x 2x 180 4x BAC 120 BAE EAC 120 即 180 4x x 120 解得 x 20 则 C 20 方法方法 4 加倍折半法加倍折半法 5 如图 CE CB 分别是 ABC 与 ADC 的中线 且 ACB ABC 求证 CD 2CE 解答 证明 过 B 作 BF AC 交 CE 的延长线于 F CE 是中线 BF AC AE BE A ABF ACE F 在 ACE 和 BFE 中 A ABF ACE F AE BE ACE BFE AAS CE EF AC BF CF 2CE 又 ACB ABC CB 是 ADC 的中线 AC AB BD BF D