初中数学竞赛题汇编(代数部分2)

初中数学竞赛题汇编初中数学竞赛题汇编 代数部 代数部分分2 江苏省泗阳县李口中学 沈正中 精编 解答 例例 1 已知 a2 b2 6ab 且 a b 0 求 解 解 由已知得 a b 2 8ab a b 2 4ab 所以 2 因 a b 0 所以 a b a b 均为正数 故 例例 2 计算 的值 解 解 因 2 所以 例例 3 已知 求 解 解 由已知得 2 a b 2 ab 即 所以 例例 4 已知 求 解 解 由 得 由 得 所以 1 例例 5 已知若 abc 1 求证 分析 所要求证的等式的左边是三个分母差异很大的式子 因而 变形比较困难 可以充分利用 abc 1 将它们化成同分母 在 的分子 分母上同乘 c 化成 将 1 aab a 1 cca ca cacabc ac 1 111 cca c bbc b aab a 的分母中的 1 换成 abc 得 然后再相 1 bbc b cacabcbbc b 1 1 加即可得证 证明 证明 abc 1 1 例例 6 已知 bc ad 求证 ab c2 d2 a2 b2 cd 证明 证明 因 bc ad 所以 由比例的性质得 得 所以 ab c2 d2 a2 b2 cd ab c2 d2 a2 b2 cd 例例 7 已知 x by cz y cz ax z ax by 且 x y z 0 证明 1 111 c c b b a a 证明 证明 解方程组 3 2 1 byaxz axczy czbyx 2 3 1 得 y z x 2ax 所以 x zyx a x xzy a 2 1 2 则 所以 zyx xzy a a 1 同理可得 zyx yzx b b 1zyx zyx c c 1 所以 1 111 zyx zyx c c b b a a 例例 8 已知 x y z 满足关系式 1 yx z xz y zy x 证明 0 222 yx z xz y zy x 111 cca c bbc b aab a 1 cca ca 1 cca c cac 1 1 1 1 cca cca bd adcdc db cbaba 22 证明 证明 将已知等式分别乘以 x y z 得 x yx xz xz xy zy x 2 y yx yz xz y zy xy 2 z yx z xz yz zy xz 2 得 zyx yx yz yx xz xz yz xz xy zy xz zy xy yx z xz y zy x 222 所以zyxzyx yx z xz y zy x 222 即 0 222 yx z xz y zy x 例例 9 试用关于 x 1 的各次幂表示多项式 32 2435xxx 解 解 设 3232 24352 1 1 1 xxxxa xb xc 因为上式是恒等 式 所以不论x取什么数 两边都应相等 据此可设 1x 代入上式得 4c 0 x 代入上式得 522ab 2x 代入上式得 16 16652 abc 联立上面三个式子解得 2 1 4abc 3232 24352 1 2 1 1 4xxxxxx 这道例题在求待定系数时运用了特殊值法 要尽量减少待定系 数的个数 比如可以断定 3 1 x 的系数是 2 就没有必要再将 3 1 x 项 的系数设为待定系数了 例例 10 化简 解 解 设 2013 为a 则 2014 1 a 2012 1 a 则 1 例例 11 解方程组 解 解 1 原方程组可化为 令 1 代入方程组 得 解得 和 代入 式中 得 和 分别解之 得 和 显然 这些例题运用了换元法就变的简捷了 2 分析 可由 x3 y3 x y 求出 xy 再由基本对称式 求两 个变量 x 和 y x3 y3 x y 3 3xy x y 把 和 代入 得 35 53 15xy xy 6 解方程组 6 5 xy yx 得 或 3 2 y x 2 3 y x 例例 12 求方程 x y xy 的整数解 解 解 x y xy x 1 y 1 1 解之 得 x 1 1 y 1 1 或 x 1 1 y 1 1 x 2 y 2 或 x 0 y 0 例例 13 已知 a b c 0 abc 0 求代数式 222222222 111 bacacbcba 的值 分析 这是含 a b c 的轮换式 化简第一个分式后 其余的 两个分式 可直接写出它的同型式 解 解 222 1 cba 222 1 baba ab2 1 222222222 111 bacacbcba ab2 1 bc2 1 ca2 1 abc bac 2 0 例例 14 己知 a a b c 求证 a2b2c2 1 a c c b b 111 证明 证明 由己知 a b bc bc cb bc 11 ba cb b c ca 同理 ab ca ac ca 11 cb ac ac ba ab bc ca 1 即 a2b2c2 1 ac ba ba cb cb ac 例例 15 己知 ax2 bx c 是一个完全平方式 a b c 是常数 求证 b2 4ac 0 证明 证明 设 ax2 bx c mx n 2 m n 是常数 那么 ax2 bx c m2x2 2mnx n2 根据恒等式的性质 得 2 2 2 nc mnb ma b2 4ac 2mn 2 4m2n2 0 例例 16 已知 x 1 y 求下列代数式的值 2 1 3 13 2 1 x3 x2y xy2 y3 x2 2y 3 y2 2x 3 解 解 含两个变量的对称式都可以用相同变量的基本对称式来表示 先求出 x y xy 3 2 1 x3 x2y xy2 y3 x y 3 2xy x y 3 2 2 33 2 1 3 x2 2y 3 y2 2x 3 2x2y 3x2 2xy2 3y2 3 x2 y2 2xy x y 3 x y 2 2xy 2xy x y 3 2 6 2 1 23 2 2 1 33 例例 17 化简 3 21420 3 21420 解 解 设 x y 3 21420 3 21420 那么 x3 y3 40 xy 2 3 2196400 x3 y3 x y 3 3xy x y 40 x y 3 6 x y 设 x y u 得 u3 6u 40 0 u 4 u2 4u 10 0 u2 4u 10 0 没有实数根 u 4 0 u 4 x y 4 即 4 3 21420 3 21420 例例 18 a 取什么值时 方程 x2 ax a 2 0 的两根差的绝对值最 小 其最小值是什么 解 解 设方程两根为 x1 x2 根据韦达定理 得 2 21 21 axx axx 2 2121 xxxx 21 2 21 4 xxxx 84 2 aa 4 2 2 a 当 a 2 时 有最小值是 2 21 xx 例例 19 若 a b c 0 求 的值 解 解 a b c 0 a b c 2a2 bc a2 bc a b c 例例 20 设 cbacba 1111 证明 a b c 三数中必有两个数之和为零 证明 证明 由得 cbacba 1111 00 1111 cbaabc abccbaabcabc cbacba 即 从已知知 a b c 0 所以 abc 0 且 a b c 0 则 bc ca ab a b c abc 0 bc ca ab a b c abc a bc ca ab b c bc ca ab abc b c bc ca ab abc a2c a2b abc b c bc ca ab a2 b c b c a2 bc ca ab 222 222 222 abc abcbaccab