含参不等式的解法举例

第 1 页 共 7 页 含参不等式专题 淮阳中学 含参不等式专题 淮阳中学 编写 孙宜俊编写 孙宜俊 当在一个不等式中含有了字母 则称这一不等式为含参数的不等式 那么 此时的参数可以从以下两个方面来影响不等式的求解 首先是对不等式的类型 即是那一种不等式 的影响 其次是字母对这个不等式的解的大小的影响 我们必须通过分类讨论才可解决上述两个问题 同时还要注意是参数的选取确 定了不等式的解 而不是不等式的解来区分参数的讨论 解参数不等式一直是 高考所考查的重点内容 也是同学们在学习中经常遇到但又难以顺利解决的问 题 下面举例说明 以供同学们学习 解含参的一元二次方程的解法 在具体问题里面 按分类的需要有讨论如解含参的一元二次方程的解法 在具体问题里面 按分类的需要有讨论如 下四种情况 下四种情况 1 1 二次项的系数 二次项的系数 2 2 判别式 判别式 3 3 不等号方向 不等号方向 4 4 根的大小 根的大小 1 含参数的一元二次不等式的解法 含参数的一元二次不等式的解法 1 1 二次项系数为常数 能分解因式先分解因式 不能得先考虑 二次项系数为常数 能分解因式先分解因式 不能得先考虑 0 例例 1 1 解关于的不等式 x0 1 2 axax 解 0 1 2 xax 为方程的两个根1 0 1 xaxxax令 因为与 1 的大小关系不知 所以要分类讨论 a 1 当时 不等式的解集为1 a 1 axxx 或 2 当时 不等式的解集为1 a 1 xaxx或 3 当时 不等式的解集为1 a 1 xx 综上所述 1 当时 不等式的解集为1 a 1 axxx 或 2 当时 不等式的解集为1 a 1 xaxx或 3 当时 不等式的解集为1 a 1 xx 变题 1 解不等式 0 1 2 axax 第 2 页 共 7 页 2 解不等式 0 322 axaax 小结 讨论两个根的大小关系 尤其是变题 2 中 2 个根都有参数的要加强 讨论 例例 2 2 解关于的不等式x02 2 kkxx 分析 此不等式为含参数 k 的不等式 当 k 值不同时相应的二次方程的判 别式的值也不同 故应先从讨论判别式入手 解 8 8 2 kkkk 1 当有两个不相等的实根 02 08 0 2 kkxxkk方程时或既 所以不等式 的解集是02 2 kkxx 4 8 4 8 kkk x kkk x 2 当有两个相等的实根 02 080 2 kkxxkk方程时或即 所以不等式 即 4 02 2 k kkxx的解集是 0 2 3 当无实根02 08 0 2 kkxxk方程时即 所以不等式解集为 的02 2 kkxx 说明 一元二次方程 一元二次不等式 一元二次函数有着密切的联系 要注意数形结合研究问题 小结 讨论 即讨论方程根的情况 2 2 二次项系数含参数 先对二次项系数讨论 分大于 等于或小于 二次项系数含参数 先对二次项系数讨论 分大于 等于或小于 0 0 然后能 然后能 分解因式先分解因式 不能得先考虑分解因式先分解因式 不能得先考虑 0 例例 3 3 解关于的不等式 x 0 1 1 2 xaax 解 若 原不等式0 a 1 01 xx 若 原不等式原不等式或0 a a xx a x 1 0 1 1 1 x 第 3 页 共 7 页 若 原不等式 0 a 0 1 1 x a x 其解的情况应由与 1 的大小关系决定 故 a 1 1 当时 式的解集为 1 a 2 当时 式 1 a 1 1 x a 3 当时 式 10 a a x 1 1 综上所述 当时 解集为 0 a1 1 x a xx且 当时 解集为 0 a1 xx 当时 解集为 10 a a xx 1 1 当时 解集为 当时 解集为 1 a 1 a1 1 x a x 例例 4 4 解关于的不等式 x 0 1 2 axax 解 0 1 2 axax 1 时 0 a 01 Rx 2 时 则或 0 a004 2 aaa4 a 此时两根为 a aaa x 2 4 2 1 a aaa x 2 4 2 2 当时 0 a0 x a aaa 2 4 2 a aaa 2 4 2 当时 04 a0 Rx 当时 4 a0 2 1 xRx且 当时 4 a0 且 a aaa x 2 4 2 a aaa x 2 4 2 综上 可知当时 解集为 0 a a aaa 2 4 2 a aaa 2 4 2 第 4 页 共 7 页 当时 解集为 04 aR 当时 解集为 4 a 2 1 2 1 当时 解集为 4 a a aaa 2 4 2 2 4 2 a aaa 例例 5 5 解关于的 x 不等式 2 1 410 mxxmR 分析 当 m 1 0 时 它是一个关于 x 的一元一次不等式 当 m 11 时 还 需对 m 1 0 及 m 1 0 来分类讨论 并结合判别式及图象的开口方向进行分类 讨论 当 m0 图象开口向下 与 x 轴有两个不同 交点 不等式的解集取两边 当 1 m0 图象开口向 上 与 x 轴有两个不同交点 不等式的解集取中间 当 m 3 时 4 3 m 0 图象开口向上 与 x 轴只有一个公共点 不等式的解为方程 的根 当 m 3 时 4 3 m 3 时 原不等式的解集为 小结 解含参数的一元二次不等式可先分解因式再讨论求解 若不易分 解 也可对判别式分类讨论 利用函数图象必须明确 图象开口方向 判别式确定解的存在范围 两根大小 二次项的取值 如取 0 取正值 取负值 对不等式实际解的影响 牛刀小试 解关于 x 的不等式 0 04 1 2 2 axaax 思路点拨 先将左边分解因式 找出两根 然后就两根的大小关系写出解 集 具体解答请同学们自己完成 第 5 页 共 7 页 二 含参数的分式不等式的解法 二 含参数的分式不等式的解法 例例 1 解关于 x 的不等式0 2 1 2 xx ax 分析 解此分式不等式先要等价转化为整式不等式 再对 ax 1 中的 a 进行 分类讨论求解 还需用到序轴标根法 解 原不等式等价于0 1 2 1 xxax 当 0 时 原不等式等价于a0 1 2 xx 解得 此时原不等式得解集为 x 21 x21 x 当 0 时 原不等式等价于 a0 1 2 1 xx a x 则 当原不等式的解集为 2 1时 a 21 xxx且 当 0 原不等式的解集为 2 1时 a 21 1 x a xx或 当原不等式的解集为 2 1时 a 2 1 1 x a xx或 当1aa 和 1 分为两类 再在 1 的情况下 又要按两根与 2 的大小关系分为aa 1 2 a a 三种情况 有很多同学找不到分类的依据 缺乏分类讨论100 0 aaa和 的意识