解题思路的探索与解题过程的改进一例中学数学杂志1999年第6期

解题思路的探索与解题过程的改进一例 题目 给定函数是方程的两个不 1 3 2sin 3 xxf 0 xf 等实根 且 求的值 0 tan 1 解题思路的探索 分析 1 是方程的根 如果能够求出的值 那么及 0 xf 均可求出 tan 解法 1 方程可整理为 由于 0 xf 3 1 3 2sin x 0 所以 所以 3 2 3 2 3 3 2 3 1 arcsin 3 2 取 所以 3 1 arcsin2 3 2 3 1 arcsin 2 1 3 3 1 arcsin 2 1 6 5 所以 所以 6 7 tan 3 3 分析 2 由于 若能求出或 tan tantan1 tantan tan tan 则能求出 那么就必须把 tantan tantan tan 转化为的方程 而万能公式可以办到 0 xfxtan 解法 2 方程可化为 0 xf0 3 2 2sin2cos3 xx 不满足方程 所以 由于0cos x0cos x tan1 tan1 2cos 2 2 x x x 代入方程整理得 x x x 2 tan1 tan2 2sin 0233tan6tan 332 2 xx 由于是方程在上的两个根 所以是关于 0 xf 0 tan tan 的一元二次方程的两根 从而 xtan tantan 332 6 所以 tantan 332 233 tan tantan1 tantan 3 3 2 解题过程的改进 思考一 对解法 1 的过程如下两点思考 1 是否一定要解方程 0 xf 2 解方程后 中的在中相消是否为一种巧合 于问题 3 1 arcsin 的本质是否有关 分析 既然在中消去 说明它是非本质的 事实上要求的是整体 3 1 arcsin 的正切值 也就可以考虑直接求 而不必解方程 如何从两个孤立的量 中探求呢 于是从方程组入手 0 0 ff 解法 3 因是的两根 整理得 0 xf0 ff 即 3 2sin 0 3 2sin 由0 sin 3 cos 且知 所以 故有 0 00 sin 即所以0 3 cos cos 2 1 0 sin 2 3 tan 3 3 思考二 对解法 2 是否一定要将转化为关于的方程呢 0 xfxtan 分析 由于解法 2 是运用万能公式转化为的方程 事实上也可xtan0 xf 转化为关于的方程 从而得到一种解法 6 tan x 解法 4 方程即 运用万能公式整理得关于 3 1 3 2sin x 的方程 6 tan x01 6 tan 6 6 tan 2 xx 由于是方程在上的两个不等实根 所以 0 xf 0 6 tan 是关于的方程的二不等实根 由韦达定理知 6 tan 6 tan x 且 所以 6 tan 6 tan 6 6 tan 6 tan 1 且 6 tan 0 6 tan 0 6 tan 6 cot 又 所以 从而 0 6 2 6 6 所以 所以 2 3 6 6 7 tan 3 3 3 解题过程的再改进 纵观解法 1 至解法 4 都是从方程根的数量特征进行分析探索而产生的 那么方程的根 在其几何形式上有什么样的解释呢 事实上由于方程的根的几何意义 又有下面的解决方 法 分析 1 的根 3 1 3 2sin x 实质上是函数的图像 3 2sin xy 与的交点的横坐标 因此从图像 3 1 y 上观察可以得到一种直观解法 图 1 解法 5 作函数及在上的图像 于是它们有两 3 2sin xy 3 1 y 0 个不同的交点 A B 依题可知 显然这两点关于直线 3 1 3 1 BA 对称 从而 如图 1 所以 12 7 x 6 7 tan 3 3 分析 2 本题既然是考察三 角函数值 而三角函数值又可以用 单位圆中的有向线段表示 所以可 以考虑用单位圆解决 图 2 解法 6 方程即为 由于是方程0 xf 3 1 3 2sin x 在上的两个不等实根 所以 0 xf 0 3 2 是的在内的两个不等的实根 如图 2 3 2 3 1 sin t 3 2 3 分别为 的终边 显然关于 y 轴负半轴对称 所OBOA 3 2 3 2 OBOA 以 即 所以 3 2 3 2 2 3 2 6 7 tan 3 3 分析 3 既然可以整理成关于的方程0 xfxx2cos 2sin 0 3 2 2sin2cos3 xx 若用新变量替换ts xx2cos 2sin 则方程为它 0 3 2 3 ts 表示直角坐标平面内的一条直 图 3sot 线 而则表示单位圆 于是可以用直线与圆的位置关系来解 1 22 ts 解法 7 可整理成 令0 xf0 3 2 2sin2cos3 xx 则 且 于是直线xtxs2sin 2cos 0 3 2 3 ts1 22 ts 与单位圆有二不同的交点且分别为0 3 2 3 ts1 22 ts BAOBOA 的终边 如图 3 过中点作的垂线交单位圆于 那么