角的平分线(基础)知识讲解

角的平分线 基础 角的平分线 基础 学习目标学习目标 1 掌握角平分线的性质 理解三角形的三条角平分线的性质 2 掌握角平分线的判定及角平分线的画法 3 熟练运用角的平分线的性质解决问题 要点梳理要点梳理 要点一 角的平分线的性质要点一 角的平分线的性质 角的平分线的性质 角的平分线上的点到角两边的距离相等 要点诠释 要点诠释 用符号语言表示角的平分线的性质定理 若 CD 平分 ADB 点 P 是 CD 上一点 且 PE AD 于点 E PF BD 于点 F 则 PE PF 要点二 角的平分线的逆定理要点二 角的平分线的逆定理 角平分线的判定 角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上 要点诠释 要点诠释 用符号语言表示角的平分线的判定 若 PE AD 于点 E PF BD 于点 F PE PF 则 PD 平分 ADB 要点三 角的平分线的尺规作图要点三 角的平分线的尺规作图 角平分线的尺规作图 1 以 O 为圆心 适当长为半径画弧 交 OA 于 D 交 OB 于 E 2 分别以 D E 为圆心 大于DE 的长为半径画弧 两弧在 AOB 内部交于点 C 1 2 3 画射线 OC 射线 OC 即为所求 要点四 轨迹要点四 轨迹 把符合某些条件的所有点的集合叫做点的轨迹 和线段两个端点距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线 在一个角的内部 包括顶点 且到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线 到定点的距离等于定长的点的轨迹是以这个定点为圆心 定长为半径的圆 典型例题典型例题 类型一 角的平分线的性质类型一 角的平分线的性质 高清课堂 角平分线的性质 例高清课堂 角平分线的性质 例 2 2 1 如图 ACB 90 BD 平分 ABC 交 AC 于 D DE AB 于 E ED 的延长线交 BC 的 延长线于 F 求证 AE CF 答案与解析答案与解析 证明 BD 平分 ABC DE AB DC BF DE DC 角的平分线上的点到角两边的距离相等 在 ADE 和 FDC 中 DEADCF DEDC ADEFDC ADE FDC ASA AE CF 总结升华总结升华 利用角平分线的性质可得 DE DC 为证明三角形全等提供了条件 2 如图 ABC 中 C 90 AC BC AD 平分 CAB 交 BC 于 D DE AB 于 E 且 AB 6 则 DEB 的周长为 cm A 4B 6C 10D 以上都不对cmcmcm 答案答案 B 解析解析 由角平分线的性质 DC DE DEB 的周长 BD DE BE BD DC BE AC BE AE BE AB 6 总结升华总结升华 将 DEB 的周长用相等的线段代换是关键 举一反三 举一反三 变式 已知 如图 AD 是 ABC 的角平分线 且 则 ABD 与 ACD 3 2AB AC 的面积之比为 A 3 2 B C 2 3 D 3 22 3 答案答案 B 提示 AD 是 ABC 的角平分线 点 D 到 AB 的距离等于点 D 到 AC 的距离 又 则 ABD 与 ACD 的面积之比为 3 2AB AC 3 2 3 如图 OC 是 AOB 的角平分线 P 是 OC 上一点 PD OA 交于点 D PE OB 交于点 E F 是 OC 上除点 P O 外一点 连接 DF EF 则 DF 与 EF 的关系如何 证明你的 结论 答案与解析答案与解析 解 DF EF 理由如下 OC 是 AOB 的角平分线 P 是 OC 上一点 PD OA 交于点 D PE OB 交于点 E PD PE 由 HL 定理易证 OPD OPE OPD OPE DPF EPF 在 DPF 与 EPF 中 PDPE DPFEPF PFPF DPF EPF DF EF 总结升华总结升华 此题综合运用了角平分线的性质 全等三角形的判定及性质 由角平分线的 性质得到线段相等 是证明三角形全等的关键 类型二 角的平分线的判定类型二 角的平分线的判定 高清课堂 角平分线的性质 例高清课堂 角平分线的性质 例 3 3 4 已知 如图 CE AB BD AC B C BF CF 求证 AF 为 BAC 的平分线 答案与解析答案与解析 证明 CE AB BD AC 已知 CDF BEF 90 DFC BFE 对顶角相等 BF CF 已知 DFC EFB AAS DF EF 全等三角形对应边相等 FE AB FD AC 已知 点 F 在 BAC 的平分线上 到一个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上 即 AF 为 BAC 的平分线 总结升华总结升华 应用角平分线性质及判定时不要遗漏了 垂直 的条件 如果遗漏了说明没有 认识到 垂直 条件在证明结论的必要性 举一反三 举一反三 变式 如图 在 ABC 中 D 是 BC 的中点 DE AB DF AC 垂足分别是 E F BE CF 求证 AD 是 ABC 的角平分线 答案答案 证明 DE AB DF AC Rt BDE 和 Rt CDF 是直角三角形 BDDC BECF Rt BDE Rt CDF HL DE DF DE AB DF AC AD 是角平分线 类型三 点的轨迹类型三 点的轨迹 5 过已知点 A 且半径为 3