重视和发掘习题的潜功能

重重视视和和发发掘掘习题习题的潜功能的潜功能 洪湖市第一中学 付祖雄 已知 a b c 是 ABC 的三条边 比较大小 a b c 2 4 ab bc ca 这道题的解答可以用特殊值法 取 a b c 1 得 a b c 2 9 4 ab bc ca 12 所以 a b c 2 4 ab bc ca 将这道题稍微变形 就是全日制普通高级中学教科书 实验修订本 必修 数学第二册 上 第 31 页 B 组题的第 6 题 设 a b c 为 ABC 的三边 求证 a2 b2 c2 2 ab bc ca 这道题的解法紧紧围绕三角形的边的特征 依据不同的思维 不同的入口结合不等式证明的不同方法 可以得到不同的证法 并且依据已经证明的结论 还可以进行引申 1 常常规规思思维维法法 不等式的不等式的证证明最基本的方法就是求差比明最基本的方法就是求差比较较法 法 2 基于此 有如下的解法 基于此 有如下的解法 证法一 a2 b2 c2 2 ab bc ca a2 2ab b2 c2 2ac a2 c2 2bc b2 a2 b2 c2 a b 2 c a 2 c b 2 a2 b2 c2 a b 2 c2 c a 2 b2 c b 2 a2 a b c a b c c a b c a b c b a c b a 又 a b c 为 ABC 的三边 a b c 0 a b c 0 c a b 0 c a b 0 c b a 0 c b a 0 a b c a b c c a b c a b c b a c b a 0 a2 b2 c2 2 ab bc ca 利用不同的组合 然旧利用求差比较法可以得到 证法二 a2 b2 c2 2 ab bc ca a2 ab ca b2 ab bc c2 bc ac a a b c b b a c c c b a a b c a b a c b c b a c 又 a b c 为 ABC 的三边 a 0 b 0 c 0 且 a b c a c b b c a 利用同向正则不等式可以相乘 得到 a b c a b a c b c b a c 0 a b c a b a c b c b a c 0 a2 b2 c2 2 ab bc ca 2 利用分析法 利用分析法 结结合三角形的合三角形的边边角关系和同向正角关系和同向正则则不等式不等式 可以相乘的性可以相乘的性质质可以得到可以得到 证法三 a b c 为 ABC 的三边 a 0 b 0 c 0 且 a b c a c b b c a 利用同向正则不等式可以相乘 得到 a b c a2 b a c b2c a b c2 又 2 ab bc ca ab ac bc ba bc ac a b c b a c c a b a2 b2 c2 a2 b2 c2 2 ab bc ca 在讨论题目的证明过程中 有的同学想到了这样的证明方法 证法四 a b c 为 ABC 的三边 a b c b c a a c b a b 2 c2 b c 2 a2 a c 2 b2 上述三个不等式相得 a b b c 2 a c 2 a2 b 即 a2 b2 c2 2 ab bc ca 这种证明简明扼要 非常优秀 说明学生的思维是非常敏捷的 只是在三角形中由 a b c b c a a c b 就一定推出 a b 2 c2 b c 2 a2 a c 2 b2的推理不严谨 师生共同改进证明方法可以得到下列优秀证法 证明 a b c 为 ABC 的三边 a b c b c a a c b a b 2 c2 b c 2 a2 a c 2 b2 上述三个同向不等式相得 a b b c 2 a c 2 a2 b2 c2 即 a2 b2 c2 2 ab bc ca 题目证明完成后 进一步引申 可以得到下面的命题 已知 a b c 为 ABC 的三边 求证关于 x 的不等式 x2 a b c x ab ac bc 0 的解集为 R 证明 a b c 为 ABC 的三边 x2 a b c x ab ac b x 2 ab ac bc 2 cba 2 2 cba x 2 4 ab bc ac a b c 2 2 cba 4 1 由前面的命题可知 a b c 2 4 ab ac bc a2 b2 c2 2 ab bc ca a2 ab ca b2 ab bc c2 bc ac a a b c b b a c c c b a a b c a b a c b c b a c 0 4 ab bc ac a b c 2 0 又 x 2 0 2 cba x 2 4 ab bc ac a b c 2 0