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文档简介
1 9 试证明 理想气体在某一过程中的热容量如果是常数 该过程一定 n C 是多方过程 多方指数 假设气体的定压热容量和定容热容量是常 np nV CC n CC 量 解 根据热力学第一定律 有 1 dUQW 对于准静态过程有 WpdV 对理想气体有 V dUC dT 气体在过程中吸收的热量为 n QC dT 因此式 1 可表为 2 nV CCdTpdV 用理想气体的物态方程除上式 并注意可得pVvRT pV CCvR 3 nVpV dTdV CCCC TV 将理想气体的物态方程全式求微分 有 4 dpdVdT pVT 式 3 与式 4 联立 消去 有 dT T 5 0 nVnp dpdV CCCC pV 令 可将式 5 表为 np nV CC n CC 6 0 dpdV n pV 如果和都是常量 将上式积分即得 pV CC n C 常量 7 n pVC 式 7 表明 过程是多方过程 2 8 证明 22 22 p V T VpT C CpV TT VTpT 并由此导出 0 0 2 0 2 2 0 2 V VV V V p pp p p p CCTdV T p CCTdp T 根据以上两式证明 理想气体的定容热容量和定压热容呈只是温度 T 的函数 解 式 2 2 5 给出 1 V V S CT T 以 T V 为状态参量 将上式求对 V 的偏导数 有 2 222 2 V T V CSSS TTT VV TT VT 其中第二步交换了偏导数的求导次序 第三步应用了麦氏关系 2 2 3 由理 想气体的物态方程 pVnRT 知 在 V 不变时 是 T 的线性函数 即p 2 2 0 V p T 所以 0 V T C V 这意味着 理想气体的定容热容量只是温度 T 的函数 在恒定温度下将式 2 积分 得 3 0 2 0 2 V VV V V p CCTdV T 式 3 表明 只要测得系统在体积为时的定容热容量 任意体积下的定容热 0 V 容量都可根据物态方程计算出来 同理 式 2 2 8 给出 4 p p S CT T 以为状态参量 将上式再求对的偏导数 有 Tpp 5 222 2 p pT C SSS TTT pp TT pT 其中第二步交换了求偏导数的次序 第三步应用了麦氏关系 2 2 4 由理想 气体的物态方程 pVnRT 知 在不变时是的线性函数 即pVT 2 2 0 p V T 所以 0 p T C p 这意味着理想气体的定压热容量也只是温度 T 的函数 在恒定温度下将式 5 积分 得 0 2 0 2 p pp p p V CCTdp T 式 6 表明 只要测得系统在压强为时的定压热容量 任意压强下的定压 0 p 热容量都可根据物态方程计算出来 3 12 蒸气与液相达到平衡 以表示在维持两相平衡的条件下 蒸气 m dV dT 体积随温度的变化率 试证明蒸气的两相平衡膨胀系数为 11 1 m m dVL VdTTRT 解 蒸气的两相平衡膨胀系数为 1 11 mmm pmm T dVVVdp VdTVTpdT 将蒸气看作理想气体 则有 m pVRT 2 11 11 m pm m m T V VTT V Vpp 在克拉珀龙方程中略去液相的摩尔体积 因而有 3 2 m dpLLp dTTVRT 将式 2 和式 3 代入式 1 即有 11 1 m m dVL VdTTRT 4 1 若将看作独立变量的函数 试证明 U 1 k T V nn a i i i UU UnV nV b ii i UU uu nV 解 a 多元系的内能是变量的一次齐函 1 k UU T V nn 1 k V nn 数 根据欧勒定理 式 4 1 4 有 1 j i i i T V n UU UnV nV 式中偏导数的下标指全部个组元 指除 组元外的其他全部组元 i nk j ni b 式 4 1 7 已给出 v ii i Vn 2 ii i Unu 其中偏摩尔体积和偏摩尔内能 将式 2 代入式 v jj ii ii T p nT p n VU u nn 1 有 3 v i j iiiii iii T ni T V n UU nunn Vn 上式对的任意取值都成立 故有 i n 4 v i j ii T ni T V n UU u Vn 4 2 证明是的零次齐函数 1 ik T p nn 1 k nn 0 i i i i n n 解 根据式 4 1 9 化学势是 组元的偏摩尔吉布斯函数 i i 1 j i i T p n G n G 是广延量 是的一次齐函数 即 1 k nn 2 11 kk G T pnnG T p nn 将上式对求导 有 1 1 1 k ki i i ik i i G T pnn G T pnnn n nG T pnn n 左方 3 1 iik i nT pnn 1 1 k k G T p nn G T p nn 右边 4 1 iik i nT p nn 令式 3 与式 4 相等 比较可知 5 11 ikik T pnnT p nn 上式说明是的零次齐函数 根据欧勒定理 式 4 1 4 有 i 1 k nn 6 0 i j j i n n 7 13 试证明 单位时间内碰到单位面积器壁上 速率介于 与之间的 d 分子数为 2 3 2 3 2 ded 2 m kT m n kT 解 参照式 7 3 16 单位时间内碰到法线方向沿轴的单位面积器壁上 z 速度在范围内的子数为d dd xyz 1 dd dd zxyz f 用速度空间的球坐标 可以将式 1 表为 2 2 dcossin d d d f 对和积分 从 0 到从 0 到有d d 2 2 2 2 00 sincos dd 因此得单位时间内碰到单位面积器壁上 速率介于 与之间的分子数为 d 3 2 3 2 3 2 d ed 2 m kT m n kT 8 7 计算温度为 T 时 在体积 V 内光子气体的平均总光子数 并据此估算 a 温度为 1000K 的平衡辐射 b 温度为 3K 的宇宙背景辐射中光子的数密度 解 式 8 4 5 和 8 4 6 已给出在体积 V 内 在到的圆频率范 d 围内光子的量子态数为 1 2 23 dd V D c 温度为 T 时平均光子数为 2 d d e1 kT D NT 因此温度为 T 时 在体积 V 内光子气体的平均光子数为 3 2 23 0 d e1 kT V N T c 引入变量 上式可表示为x kT 3 2 23 0 3 3 233 d e1 2 404 x VkTxx N T c k VT c 或 3 3 3 233 2 404 k n TT c 在 1000K 下 有 163 2 10 nm 在 3K 下 有 83 5 5 10 nm 8 14 试求绝对零度下自由电子气体中电子的平均速率 解 根据式 8 5 4 绝对零度下自由电子气体中电子动量 大小 的分 布为 F
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