方程的根与函数的零点

方程的根与函数的零点方程的根与函数的零点 教学设计教学设计 一 教学内容解析一 教学内容解析 本节课的主要内容有函数零点的的概念 函数零点存在性判定定理 本节课的主要内容有函数零点的的概念 函数零点存在性判定定理 课本选取探究具体的一元二次方程的根与其对应的二次函数的图象与课本选取探究具体的一元二次方程的根与其对应的二次函数的图象与 x x 轴的交点的横坐标轴的交点的横坐标 之间的关系作为本节内容的入口 其意图是让学生从熟悉的环境中发现新知识 使新知识之间的关系作为本节内容的入口 其意图是让学生从熟悉的环境中发现新知识 使新知识 与原有知识形成联系与原有知识形成联系 本节设计特点是由特殊到一般 由易到难 这符合学生的认知规律 本节设计特点是由特殊到一般 由易到难 这符合学生的认知规律 本节体现的数学思想是 本节体现的数学思想是 数形结合数形结合 思想和思想和 转化转化 思想思想 本节充分体现了函数图象和性本节充分体现了函数图象和性 质的应用质的应用 另外 本节也是传统数学方法与现代多媒体完美结合的产物另外 本节也是传统数学方法与现代多媒体完美结合的产物 二 教学目标二 教学目标 1 1 结合具体的问题 并从特殊推广到一般 使学生领会函数与方程之间的内在联系 从而 结合具体的问题 并从特殊推广到一般 使学生领会函数与方程之间的内在联系 从而 了解函数的零点与方程根的联系 了解函数的零点与方程根的联系 2 2 通过本节学习让学生掌握通过本节学习让学生掌握 由特殊到一般由特殊到一般 的认知规律 在今后学习中利用这一规律探的认知规律 在今后学习中利用这一规律探 索更多的未知世界索更多的未知世界 3 3 通过本节学习不仅让学生学会数学知识和认知规律 还要让学生充分体验通过本节学习不仅让学生学会数学知识和认知规律 还要让学生充分体验 数学语言数学语言 的严谨性 的严谨性 数学思想方法数学思想方法 的科学性的科学性 体会这些给他们带来的快乐体会这些给他们带来的快乐 三 教学重难点 三 教学重难点 重点 函数零点的的概念 函数零点存在性定理 重点 函数零点的的概念 函数零点存在性定理 难点 对零点存在性定理的理解难点 对零点存在性定理的理解 2 2 结合函数图象 通过观察分析特殊函数的零点存在的特点 通过问题 理解连续函数在 结合函数图象 通过观察分析特殊函数的零点存在的特点 通过问题 理解连续函数在 某个区间上存在零点的判定方法 并能由此方法判定函数在某个区间上存在零点 了解定某个区间上存在零点的判定方法 并能由此方法判定函数在某个区间上存在零点 了解定 理应用的前提条件 应用的局限性 及定理的准确结论 四 教学过程设计理应用的前提条件 应用的局限性 及定理的准确结论 四 教学过程设计 一一 创设情景 揭示课题创设情景 揭示课题 函数是中学数学的核心内容 它不仅在生活中有着大量的应用 与其他数学知识有着千丝函数是中学数学的核心内容 它不仅在生活中有着大量的应用 与其他数学知识有着千丝 万缕的联系 若能抓住这一联系 你就拥有了一把解决问题的金钥匙 万缕的联系 若能抓住这一联系 你就拥有了一把解决问题的金钥匙 1 1 函数零点的概念 函数零点的概念 对于函数 把使成立的实数叫做函数的零点 对于函数 把使成立的实数叫做函数的零点 学生活动 画出熟悉的几个函数图像 理解函数零点的概念 为揭示方程的根与函数的零学生活动 画出熟悉的几个函数图像 理解函数零点的概念 为揭示方程的根与函数的零 点作准备 点作准备 二 二 互动交流互动交流 研讨新知研讨新知 2 2 对零点概念的理解 对零点概念的理解 案例案例 2 2 观察图象问题 观察图象问题 1 1 此图象是否能表示函数 此图象是否能表示函数 问题问题 2 2 你能从中分析函数有哪些零点吗 你能从中分析函数有哪些零点吗 问题问题 3 3 从函数图象的角度 你能对函数的零点换一种说法吗 从函数图象的角度 你能对函数的零点换一种说法吗 结论 函数的零点就是方程实数根 亦即函数的图象与轴交点的横坐标 即 结论 函数的零点就是方程实数根 亦即函数的图象与轴交点的横坐标 即 方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点 方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点 设计意图 进一步掌握函数的核心概念 同时通过图象进行一步完善对函数零点的全面理设计意图 进一步掌握函数的核心概念 同时通过图象进行一步完善对函数零点的全面理 解 为下面借助图象探究零点存在性定理作好一定的铺垫 解 为下面借助图象探究零点存在性定理作好一定的铺垫 2 2 零点存在定理的探究案例零点存在定理的探究案例 3 3 下表是三次函数的部分对应值表 下表是三次函数的部分对应值表 问题问题 1 1 你能从表中找出函数的零点吗 你能从表中找出函数的零点吗 问题问题 2 2 结合图象与表格 你能发现此函数零点的附近函数值有何特点 结合图象与表格 你能发现此函数零点的附近函数值有何特点 生 两边的函数值异号 生 两边的函数值异号 问题问题 3 3 如果一个函数 如果一个函数 f f x x 满足 满足 f f a a f f b b 0 0 在区间在区间 a b a b 上是否一定存在着函数的上是否一定存在着函数的 零点零点 注意注意 函数在区间上必须是连续的函数在区间上必须是连续的 图象能一笔画图象能一笔画 从而引出从而引出 零点存在性定理零点存在性定理 如果函数如果函数 y f x y f x 在区间在区间 a a b b 上的图象是连续不断的一条曲线 并且有上的图象是连续不断的一条曲线 并且有 f a f b 0f a f b 0 那么函数那么函数 y f x y f x 在区间 在区间 a ba b 内有零点 即存在 内有零点 即存在 c c a a b b 使得 使得 f c 0f c 0 这个 这个 c c 也就也就 是方程是方程 f x 0f x 0 的根的根 3 3 加深对定理的理解 加深对定理的理解 问题问题 4 4 有位同学画了一个图有位同学画了一个图 认为定理不一定成立认为定理不一定成立 你的看法呢你的看法呢 思考思考 4 4 如果函数如果函数 y f x y f x 在区间在区间 a a b b 上的图象是间断的 上述原理适应吗 上的图象是间断的 上述原理适应吗 思考思考 5 5 将定理反过来 若连续函数将定理反过来 若连续函数 f x f x 有零点 是否一定有有零点 是否一定有 f a f b 0 f a f b 0 只有一个零点只有一个零点 呢 思考呢 思考 6 6 你能改变定理的条件或结论你能改变定理的条件或结论 得到一些新的命题吗得到一些新的命题吗 如如 1 1 加强定理的结论加强定理的结论 若在区间若在区间 a a b b 上连续函数上连续函数 f f x x 满足 满足 f a f b 0 f a f b 0 是否意味着函是否意味着函 数数 f x f x 在在 a b a b 上恰有一个零点上恰有一个零点 如如 2 2 将定理反过来将定理反过来 若连续函数若连续函数 f x f x 在在 a b a b 上有一个零点上有一个零点 是否一定有是否一定有 f a f b 0 f a f b 0 如如 3 3 一般化一般化 一个函数的零点是否都可由上述的定理进行判断一个函数的零点是否都可由上述的定理进行判断 反例反例 同号零点同号零点 如案例如案例 2 2 中的零点中的零点 2 2 设计意图 通过表格 是为了进一步巩固对函数这一概念的全面认识 并为观察零点存在设计意图 通过表格 是为了进一步巩固对函数这一概念的全面认识 并为观察零点存在 性定理中函数值的异号埋下伏笔 通过教师的设问让学生进一步全面深入地领悟定理的内性定理中函数值的异号埋下伏笔 通过教师的设问让学生进一步全面深入地领悟定理的内 容 而鼓励学生提问 是培养学生学习主动性和创造能力必要的过程 容 而鼓励学生提问 是培养学生学习主动性和创造能力必要的过程 三 巩固深化 发展思维 三 巩固深化 发展思维 例例 1 1 求函数 求函数 f x xf x x 2x2x 6 6 的零点个数 的零点个数 设计问题 设计问题 1 1 你可以想到什么方法来判断函数零点 你可以想到什么方法来判断函数零点 2 2 你是如何来确定零点所在的区间的 请各自选择 你是如何来确定零点所在的区间的 请各自选择 3 3 零点是唯一的吗 为什么 零点是唯一的吗 为什么 设计意图 对所学内容巩固 可以借助设计意图 对所学内容巩固 可以借助 画出函数画出函数 f x f x 的图象观察的图象观察 也可借助也可借助 列出函数值表观察 列出函数值表观察 本题可以使学生意识对零点的区间是不唯一的 为下一节二分法求方程的近似解奠定基础 本题可以使学生意识对零点的区间是不唯一的 为下一节二分法求方程的近似解奠定基础 让学生进一步领悟 零点的唯一性需要借助函数的单调性 让学生进一步领悟 零点的唯一性需要借助函数的单调性 四 归纳整理 整体认识 四 归纳整理 整体认识 请回顾本节课所学知识内容有哪些 请回顾本节课所学知识内容有哪些 所涉及到