课题学习：最短路径问题教学设计

1 课题学习 最短路径问题 1 教学设计 哈尔滨市第一 七中学校 唐 宏 2 课题学习最短路径问题课题学习最短路径问题 1 1 教学设计教学设计 学 科 数学任课教师唐宏上课时间2016 年 9 月 28 日 课题课题学习 最短路径问题课时第 1 课时 教 学 目 标 知识与技能 利用轴对称解决两点之间最短路径问题 过程与方法 通过问题解决培养学生转化问题能力 情感价值观 数学来源实际服务生活 培养数学学习兴趣 教学 重点 难点 解析 教学重点 利用轴对称解决两点之间最短路径问题 教学难点 如何把问题转化为 两点之间 线段最短 教学方法 创设情境 主体探究 合作交流 应用提高 教学 准备 多媒体投影 教学过程预设 一 要点回顾 1 如图 阿凡提骑着小毛驴从 A 地到 B 地有三条路可供选择 他走哪条路最近 两点之间 线段最短 设计意图 让学生回顾两点之间线段最短 F E D C B A 3 A B L 2 如图 阿凡提和小毛驴的家在 A 地 每天他们要去公路 L 上的 P 地取报纸再送往 公路 L 的另一侧的 B 地 报亭 P 建在公路 L 上的什么位置 可以使得他们每天走的 路程最短 即 PA PB 最小 设计意图 让学生体会当两点在直线异侧时 利用两点之间 线段最短 为什么这样做就能得到最短距离呢 两点之间线段最短 线段垂直平分线上的点与线段两个端点的距离相等 三角形两边的和大于第三边 垂线段最短 二 情境感知 问题 1 有一天 阿凡提骑着小毛驴出来玩 打算从 A 地出发前往 B 地 可倔强的 小毛驴非要去河边 L 饮水后再去 B 地 聪明的同学们你知道小毛驴到河边什么地方 饮水可使它所走的路线全程最短 设计意图 激发学生学习热情 让学生感受情境 三 尝试讨论 4 追问 1 这是一个实际问题 你能用自己的语言说明这个问题的意思 并把它抽象为 数学问题吗 1 从A 地出发 到河边l 饮水 然后到B 地 2 在河边饮水的地点有无穷多处 把这些地点与A B 连接起来的两条线段的长 度之和 就是从A 地到饮水地点 再回到B 地的路程之和 3 现在的问题是怎样找出使两条线段长度之和为最短的直线l上的点 设C 为 直线上的一个动点 上面的问题就转化为 当点C 在l 的什么位置时 AC 与CB 的和最小 如图 B A l C 设计意图 帮助学生逐步分析两点在直线同侧时 如何寻找最短路径 问题 2 如图 点A B 在直线l 的同侧 点C 是直 线上的一个动点 当点C 在 l 的什么位置时 AC 与CB 的和最小 B l A 追问 1 对于问题 2 如何将点B 移 到l 的另一侧B 处 满足直线l 上的任 意一点C 都保持CB 与CB 的长度相等 追问 2 你能利用轴对称的有关知识 找到上问中符合条件的点B 吗 作法 5 1 作点B 关于直线l 的对称点B 2 连接AB 与直线l 相交于点C 则点C 即为所求 问题 3 你能用所学的知识证 B l A B C B l A B C C 明AC BC最短吗 证明 如图 在直线l 上任取一点C 与点C 不重合 连接AC BC B C 由轴对称的性质知 BC B C BC B C AC BC AC B C AB AC BC AC B C 在 AB C 中 AB AC B C AC BC AC BC 即 AC BC 最短 追问 1 证明AC BC 最短时 为什么要在直线l上 任取一点C 与点C 不重合 证明AC BC AC BC 这里的 C 的作用是什么 若直线l 上任意一点 与点C 不重合 与A B 两点的距离和都大于AC BC 就 说明AC BC 最小 追问 2 回顾前面的探究过程 我们是通过怎样的过程 借助什么解决问题的 谈谈大家本节课的收获吧 设计意图 让学生利用轴对称知识和三角形三边关系 去证明最短路径 6 四 自我检测 1 话说灰太狼从羊村回家的途中 不小心掉进茅厕 为了不让红太狼看见自己不堪 的样子 灰太狼决定先去河边洗澡 冲掉身上的赃物 然后再回家 如图所示 请 你设计一种路线 教教可怜的灰太狼 告诉他走哪条路线回家最近 设计意图 本题和刚讲过的例题是同一个类型不同 让学生体会从实际问题中建立 出数学模型 2 如图 在 ABC 中 BAC 的平分线交 BC 于 D 点 M 为 AD 上的动点 若 N 是 AB 上的定点 要使 BM MN 的和最小 此时 M 应在何处 设计意图 此题巧妙的运用了等腰三角形的三线合一性质 点 B 关于 AD 的对称点 恰巧在 AC 上 五 拓展延伸 3 在锐角 ABC 中 AB 8 BAC 30 BAC 的平分线交 BC 于 D 点 M 为 AD 上的 动点 2 若 N 是 AB 上的动点 则 BM MN 最小值是 N A B D C