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正多边形的有关计算正多边形的有关计算 教学目标 教学目标 1 会将正多边形的边长 半径 边心距和中心角 周长 面积等有关的计算问题转化 为解直角三角形的问题 2 巩固学生解直角三角形的能力 培养学生正确迅速的运算能力 3 通过正多边形有关计算公式的推导 激发学生探索和创新 教学重点教学重点 把正多边形的有关计算问题转化为解直角三角形的问题 教学难点教学难点 正确地将正多边形的有关计算问题转化为解直角三角形的问题解决 综合运用几何知识准 确计算 教学教学活动活动设计设计 一 创设情境 观察 分析 归纳结论 1 情境一 给出图形 问题 1 正 n 边形内角的规律 观察 在图形中 应用以有的知识 多边形内角和定理 多边形的每个内角都相等 得出 新结论 教师组织学生自主观察 学生回答 正 n 边形的每个内角都等于 2 情境二 给出图形 问题 2 每个图形的半径 分别将它们分割成什么样的三角形 它们有什么规律 教师引导学生观察 学生回答 观察 三角形的形状 三角形的个数 归纳 正 n 边形的 n 条半径分正 n 边形为 n 个全等的等腰三角形 3 情境三 给出图形 问题 3 作每个正多边形的边心距 又有什么规律 观察 归纳 这些边心距又把这 n 个等腰三角形分成了个直角三角形 这些直角三角 形也是全等的 二 定理 理解 应用 1 定理 定理 正正 n 边形的半径和边心距把正边形的半径和边心距把正 n 边形分成边形分成 2n 个全等的直角三角形 个全等的直角三角形 2 理解 定理的实质是把正多边形的问题向直角三角形转化 由于这些直角三角形的斜边都是正 n 边形的半径 R 一条直角边是正 n 边形的边心距 rn 另一条直角边是正 n 边形边长 an的一半 一个锐角是正 n 边形中心角 的一半 即 所以 根据上面定理就可以把正 n 边形的有关计算归结为解直角三角形问题 3 应用 例 1 已知正六边形 ABCDEF 的半径为 R 求这个正六边形的边长 周长 P6和面积 S6 教师引导学生分析解题思路 n 6 30 又半径为 R a6 r6 P6 S6 学生完成解题过程 并关注学生解直角三角形的能力 解 作半径 OA OB 作 OG AB 垂足为 G 得 Rt OGB GOB a6 2 Rsin30 R P6 6 a6 6R r6 Rcos30 归纳 如果用 Pn表示正 n 边形的周长 由例 1 可知 正 n 边形的面积 S6 Pn rn 4 研究 应用例 1 的方法进一步研究 问题 已知圆的半径为 R 求它的内接正三角形 正方形的边长 边心距及面积 学生以小组进行研究 并初步归纳 上述公式是运用解直角三角形的方法得到的 通过上式六公式看出 只要给定两个条件 则正多边形就完全确定了 例如 1 圆的半径 或边数 2 圆的半径和边心距 3 边长及边心距 就可以确定正多边形的其它元素 三 小节 知识 定理 正三角形 正方形 正六边形的元素的计算问题 思想 转化思想 能力
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