韦达定理及其应用竞赛题

韦达定理及其应用韦达定理及其应用 66 韦达定理及其应用韦达定理及其应用 内容综述内容综述 设一元二次方程有二实数根 则 这两个式子反映了一元二次方程的两根之积与两根之和同系数 a b c 的关系 称之 为韦达定理 其逆命题也成立 韦达定理及其逆定理作为一元二次方程的重要理论在初中 数学竞赛中有着广泛的应用 本讲重点介绍它在五个方面的应用 要点讲解要点讲解 1 求代数式的值 应用韦达定理及代数式变换 可以求出一元二次方程两根的对称式的值 例例 1 若 a b 为实数 且 求的值 思路 注意 a b 为方程的二实根 隐含 解 1 当 a b 时 2 当时 由已知及根的定义可知 a b 分别是方程的两根 由 韦达定理得 ab 1 说明 此题易漏解 a b 的情况 根的对称多项式 等都可以 用方程的系数表达出来 一般地 设 为方程的二根 则有递推关系 其中 n 为自然数 由此关系可解一批竞赛题 附加 本题还有一种最基本方法即分别解出 a b 值进而求出所求多项式值 但计算量 较大 例例 2 若 且 试求代数式的值 思路 此例可用上例中说明部分的递推式来求解 也可以借助于代数变形来完成 解 因为 由根的定义知 m n 为方程的二不等实根 再由韦达定 理 得 韦达定理及其应用韦达定理及其应用 67 2 构造一元二次方程 如果我们知道问题中某两个字母的和与积 则可以利用韦达定理构造以这两个字母为 根的一元二次方程 例例 3 设一元二次方程的二实根为和 1 试求以和为根的一元二次方程 2 若以和为根的一元二次方程仍为 求所有这样的一元二次 方程 解 1 由韦达定理知 所以 所求方程为 2 由已知条件可得 解之可得由 得 分别讨论 p q 0 0 1 0 0 0 1 2 1 1 或 0 1 2 1 于是 得以下七个方程 其中无实数根 舍去 其余六个方程均为所求 01x2x2 01x2 01x2 3 证明等式或不等式 根据韦达定理 或逆定理 及判别式 可以证明某些恒等式或不等式 例例 4 已知 a b c 为实数 且满足条件 求证 a b 证明 由已知得 根据韦达定理的逆定理知 以 a b 为根的关于 x 的实系数一元二次方程为 韦达定理及其应用韦达定理及其应用 68 由 a b 为实数知此方程有实根 故 c 0 从而 这表明 有两个相等实根 即有 a b 0c2 说明 由 不等导出相等 是一种独特的解题技巧 另外在求得 c 0 后 由恒等式 可得 即 a b 此方法较第一种烦琐 且需 一定的跳跃性思维 4 研究方程根的情况 将韦达定理和判别式定理相结合 可以研究二次方程根的符号 区间分布 整数性等 关于方程 的实根符号判定有下述定理 方程有二正根 ab0 方程有二负根 ab 0 ac 0 方程有异号二根 ac 0 方程两根均为 0 b c 0 例例 5 设一元二次方程的根分别满足下列条件 试求实数 a 的范围 二根均大于 1 一根大于 1 另一根小于 1 思路 设方程二根分别为 则二根均大于 1 等价于和同时为正 一 根大于 1 另一根小于是等价于和异号 解 设此方程的二根为 则 方程二根均大于 1 的条件为 解之得 3a7 方程二根中一个大于 1 另一个小于 1 的条件为 0 1 a2 a6 1x 1x 0 a6 4a4 21 2 解之得 7a 说明 此例属于二次方程实根的分布问题 注意命题转换的等价性 解题过程中涉及二 韦达定理及其应用韦达定理及其应用 69 次不等式的解法 请参照后继相关内容 此例若用二次函数知识求解 则解题过程极为简 便 5 求参数的值与解方程 韦达定理及其逆定理在确定参数取值及解方程 组 中也有着许多巧妙的应用 例例 6 解方程 解 原方程可变形为 令 则 由韦达定理逆定理知 以 a 为根的一元二次方程是b 解得 即 a 或 a 9 8 或通过求解 x 结果相同 且严谨 舍去 解之得 此种方法应检验 是或否成立 强化训练强化训练 A A 级级 1 若 k 为正整数 且方程有两个不等的正整数根 则 k 的值为 2 若 则 3 已知和是方程的二实根 则 4 已知方程 m 为整数 有两个不等的正整数根 求 m 的值 韦达定理及其应用韦达定理及其应用 70 级 级 5 已知 和为方程及方程的实根 其 中 n 为正奇数 且 求证 是方程的实根 6 已知关于 x 的方程的二实根和满足 试求 k 的 值 参考答案参考答案 1 2 提示 原方程即 所以 由 知 k 1 2 3 5 11 由知 k 2 3 4 7 所以 k 2 3 但 k 3 时原方 程有二相等正整数根 不合题意 故 k 2 2 提示 由 x y 为方程的二根 知 于 3 21 提示 由 知 4 设二个不等的正整数根为 由韦达定理 有 消去 m 得 即 则且 韦达定理及其应用韦达定理及其应用 71 故 5 由